Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredmintr Structured version   Unicode version

Theorem trpredmintr 27859
Description: The transitive predecessors form the smallest class transitive in  R and  A. That is, if  B is another  R,  A transitive class containing  Pred ( R ,  A ,  X ), then  TrPred ( R ,  A ,  X )  C_  B (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredmintr  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  B )
Distinct variable groups:    y, A    y, R    y, X    y, B

Proof of Theorem trpredmintr
Dummy variables  a 
c  d  i  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrpred2 27847 . 2  |-  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  U_ i  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )
2 fveq2 5802 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) ) )
32sseq1d 3494 . . . . . . 7  |-  ( j  =  (/)  ->  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  B  <->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  C_  B )
)
43imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  (/)  ->  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  B
)  <->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  C_  B )
) )
5 fveq2 5802 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) )
65sseq1d 3494 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  B  <->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) )
76imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  B
)  <->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) ) )
8 fveq2 5802 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  suc  k  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  k ) )
98sseq1d 3494 . . . . . . 7  |-  ( j  =  suc  k  -> 
( ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j ) 
C_  B  <->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  k
)  C_  B )
)
109imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  suc  k  -> 
( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  B
)  <->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  k )  C_  B
) ) )
11 fveq2 5802 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  i  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )
1211sseq1d 3494 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  (
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  B  <->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  B
) )
1312imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  (
( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  B
)  <->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  B
) ) )
14 setlikespec 27812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
15 fr0g 7004 . . . . . . . . 9  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
1716adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
18 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
)
1917, 18eqsstrd 3501 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  C_  B )
20 fvex 5812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )  e.  _V
21 trpredlem1 27855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  A
)
2214, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  A
)
2322sseld 3466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )  ->  y  e.  A
) )
24 setlikespec 27812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
2524expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R Se  A  ->  ( y  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  A  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  e. 
_V ) )
2723, 26syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  e.  _V ) )
2827ralrimiv 2828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)  ->  A. y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
30 iunexg 6666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  e.  _V  /\ 
A. y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )  ->  U_ y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
3120, 29, 30sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)  ->  U_ y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
32 nfcv 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a Pred ( R ,  A ,  X )
33 nfcv 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a
k
34 nfcv 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a U_ y  e.  (
( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )
35 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
36 predeq3 27793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  d  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
d ) )
3736cbviunv 4320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ d  e.  a  Pred ( R ,  A ,  d )
38 iuneq1 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  c  ->  U_ d  e.  a  Pred ( R ,  A ,  d )  =  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) )
3937, 38syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  c  ->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) )
4039cbvmptv 4494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) )  =  ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) )
41 rdgeq1 6980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) )  =  ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) )  ->  rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
42 reseq1 5215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  -> 
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )  =  ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) )
4340, 41, 42mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( c  e. 
_V  |->  U_ d  e.  c 
Pred ( R ,  A ,  d )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
4443fveq1i 5803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )  =  ( ( rec ( ( c  e. 
_V  |->  U_ d  e.  c 
Pred ( R ,  A ,  d )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )
4544eqeq2i 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )  <-> 
a  =  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k ) )
46 iuneq1 4295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( c  e. 
_V  |->  U_ d  e.  c 
Pred ( R ,  A ,  d )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )  ->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y ) )
4745, 46sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )  ->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y ) )
4832, 33, 34, 35, 47frsucmpt 7006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  om  /\  U_ y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )
Pred ( R ,  A ,  y )  e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  k )  =  U_ y  e.  ( ( rec ( ( c  e. 
_V  |->  U_ d  e.  c 
Pred ( R ,  A ,  d )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )
Pred ( R ,  A ,  y )
)
4931, 48sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  k )  =  U_ y  e.  ( ( rec ( ( c  e. 
_V  |->  U_ d  e.  c 
Pred ( R ,  A ,  d )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )
Pred ( R ,  A ,  y )
)
5044sseq1i 3491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B  <->  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)
5150anbi2i 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)  <->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) )
52 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y ( X  e.  A  /\  R Se  A )
53 nfra1 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B
54 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y
Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
5553, 54nfan 1866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
)
5652, 55nfan 1866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )
57 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
5856, 57nfan 1866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)
59 ssel 3461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B  ->  ( y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  ->  y  e.  B ) )
60 rsp 2894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  ->  ( y  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B ) )
6160ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  (
y  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B ) )
6259, 61sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)  ->  ( y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B
) )
6358, 62ralrimi 2823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)  ->  A. y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B
)
6463adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) )  ->  A. y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B
)
6551, 64sylan2b 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) )  ->  A. y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B
)
66 iunss 4322 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ y  e.  ( ( rec ( ( c  e. 
_V  |->  U_ d  e.  c 
Pred ( R ,  A ,  d )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )
Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  <->  A. y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B
)
6765, 66sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) )  ->  U_ y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B
)
6849, 67eqsstrd 3501 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  k )  C_  B
)
6968exp32 605 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k ) 
C_  B  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  k )  C_  B
) ) )
7069a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)  ->  ( (
( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  k )  C_  B
) ) )
714, 7, 10, 13, 19, 70finds 6615 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  B
) )
7271com12 31 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  (
i  e.  om  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  B
) )
7372ralrimiv 2828 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  A. i  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  B )
74 iunss 4322 . . 3  |-  ( U_ i  e.  om  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  B  <->  A. i  e.  om  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  B
)
7573, 74sylibr 212 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  U_ i  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  B )
761, 75syl5eqss 3511 1  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   (/)c0 3748   U_ciun 4282    |-> cmpt 4461   Se wse 4788   suc csuc 4832    |` cres 4953   ` cfv 5529   omcom 6589   reccrdg 6978   Predcpred 27788   TrPredctrpred 27845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-pred 27789  df-trpred 27846
This theorem is referenced by:  trpredelss  27860  dftrpred3g  27861  trpredpo  27863
  Copyright terms: Public domain W3C validator