Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem trpredlem1 30539
 Description: Technical lemma for transitive predecessors properties. All values of the transitive predecessors' underlying function are subsets of the base set. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
trpredlem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem trpredlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 6736 . . 3
2 fr0g 7171 . . . . . 6
3 predss 5394 . . . . . 6
42, 3syl6eqss 3468 . . . . 5
5 fveq2 5879 . . . . . 6
65sseq1d 3445 . . . . 5
74, 6syl5ibr 229 . . . 4
8 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
9 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
10 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . 15
1110, 8nfrdg 7150 . . . . . . . . . . . . . 14
12 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
1311, 12nfres 5113 . . . . . . . . . . . . 13
1413, 9nffv 5886 . . . . . . . . . . . 12
15 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15nfiun 4297 . . . . . . . . . . 11
17 predeq3 5391 . . . . . . . . . . . . . 14
1817cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . . 13
1918mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . 12
20 rdgeq1 7147 . . . . . . . . . . . 12
21 reseq1 5105 . . . . . . . . . . . 12
2219, 20, 21mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
23 iuneq1 4283 . . . . . . . . . . 11
248, 9, 16, 22, 23frsucmpt 7173 . . . . . . . . . 10
25 iunss 4310 . . . . . . . . . . 11
26 predss 5394 . . . . . . . . . . . 12
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11
2825, 27mprgbir 2771 . . . . . . . . . 10
2924, 28syl6eqss 3468 . . . . . . . . 9
308, 9, 16, 22, 23frsucmptn 7174 . . . . . . . . . . 11
3130adantl 473 . . . . . . . . . 10
32 0ss 3766 . . . . . . . . . 10
3331, 32syl6eqss 3468 . . . . . . . . 9
3429, 33pm2.61dan 808 . . . . . . . 8
3534adantr 472 . . . . . . 7
36 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
3736sseq1d 3445 . . . . . . . 8
3837adantl 473 . . . . . . 7
3935, 38mpbird 240 . . . . . 6
4039rexlimiva 2868 . . . . 5
4140a1d 25 . . . 4
427, 41jaoi 386 . . 3
431, 42syl 17 . 2
44 nfvres 5909 . . . 4
4544, 32syl6eqss 3468 . . 3
4645a1d 25 . 2
4743, 46pm2.61i 169 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wrex 2757  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  ciun 4269   cmpt 4454   cres 4841  cpred 5386   csuc 5432  cfv 5589  com 6711  crdg 7145 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146 This theorem is referenced by:  trpredss  30541  trpredtr  30542  trpredmintr  30543  trpredrec  30550
 Copyright terms: Public domain W3C validator