Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredlem1 Structured version   Unicode version

Theorem trpredlem1 29228
Description: Technical lemma for transitive predecessors properties. All values of the transitive predecessors' underlying function are subsets of the base set. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
trpredlem1  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
Distinct variable groups:    A, a,
y    R, a, y    X, a
Allowed substitution hints:    A( i)    B( y, i, a)    R( i)    X( y, i)

Proof of Theorem trpredlem1
Dummy variables  e 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 6719 . . 3  |-  ( i  e.  om  ->  (
i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j ) )
2 fr0g 7113 . . . . . 6  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
3 predss 29169 . . . . . 6  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  A
42, 3syl6eqss 3559 . . . . 5  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  C_  A )
5 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) ) )
65sseq1d 3536 . . . . 5  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A  <->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  C_  A )
)
74, 6syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( i  =  (/)  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
) )
8 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a Pred ( R ,  A ,  X )
9 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a
j
10 nfmpt1 4542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ a
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) )
1110, 8nfrdg 7092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ a rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )
12 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ a om
1311, 12nfres 5281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ a
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )
1413, 9nffv 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ a
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )
15 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ a Pred ( R ,  A ,  e )
1614, 15nfiun 4359 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a U_ e  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )
17 predeq3 29166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  e  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
e ) )
1817cbviunv 4370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A ,  e )
1918mpteq2i 4536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) )  =  ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A , 
e ) )
20 rdgeq1 7089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) )  =  ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A , 
e ) )  ->  rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A ,  e ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
21 reseq1 5273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A ,  e ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  -> 
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A , 
e ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) )
2219, 20, 21mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ e  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  e )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
23 iuneq1 4345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  U_ e  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  e )  =  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e ) )
248, 9, 16, 22, 23frsucmpt 7115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  om  /\  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  e )  e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  =  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  e )
)
25 iunss 4372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  e )  C_  A  <->  A. e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  C_  A
)
26 predss 29169 . . . . . . . . . . . 12  |-  Pred ( R ,  A , 
e )  C_  A
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  Pred ( R ,  A ,  e )  C_  A )
2825, 27mprgbir 2831 . . . . . . . . . 10  |-  U_ e  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  C_  A
2924, 28syl6eqss 3559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  e )  e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  C_  A
)
308, 9, 16, 22, 23frsucmptn 7116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  =  (/) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  om  /\  -.  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  e.  _V )  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) )
32 0ss 3819 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  C_  A
3331, 32syl6eqss 3559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  -.  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  e.  _V )  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  C_  A )
3429, 33pm2.61dan 789 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  C_  A
)
3534adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  om  /\  i  =  suc  j )  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  C_  A )
36 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )
3736sseq1d 3536 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A  <->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  C_  A )
)
3837adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  om  /\  i  =  suc  j )  ->  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A  <->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  C_  A )
)
3935, 38mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  om  /\  i  =  suc  j )  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A )
4039rexlimiva 2955 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  om  i  =  suc  j  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
4140a1d 25 . . . 4  |-  ( E. j  e.  om  i  =  suc  j  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
) )
427, 41jaoi 379 . . 3  |-  ( ( i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j )  -> 
( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A ) )
431, 42syl 16 . 2  |-  ( i  e.  om  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
) )
44 nfvres 5902 . . . 4  |-  ( -.  i  e.  om  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  =  (/) )
4544, 32syl6eqss 3559 . . 3  |-  ( -.  i  e.  om  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
4645a1d 25 . 2  |-  ( -.  i  e.  om  ->  (
Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A ) )
4743, 46pm2.61i 164 1  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   (/)c0 3790   U_ciun 4331    |-> cmpt 4511   suc csuc 4886    |` cres 5007   ` cfv 5594   omcom 6695   reccrdg 7087   Predcpred 29161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-pred 29162
This theorem is referenced by:  trpredss  29230  trpredtr  29231  trpredmintr  29232  trpredrec  29239
  Copyright terms: Public domain W3C validator