Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem trpredlem1 30480
Description: Technical lemma for transitive predecessors properties. All values of the transitive predecessors' underlying function are subsets of the base set. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
trpredlem1  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
Distinct variable groups:    A, a,
y    R, a, y    X, a
Allowed substitution hints:    A( i)    B( y, i, a)    R( i)    X( y, i)

Proof of Theorem trpredlem1
Dummy variables  e 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 6722 . . 3  |-  ( i  e.  om  ->  (
i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j ) )
2 fr0g 7158 . . . . . 6  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
3 predss 5390 . . . . . 6  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  A
42, 3syl6eqss 3484 . . . . 5  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  C_  A )
5 fveq2 5870 . . . . . 6  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) ) )
65sseq1d 3461 . . . . 5  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A  <->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  C_  A )
)
74, 6syl5ibr 225 . . . 4  |-  ( i  =  (/)  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
) )
8 nfcv 2594 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a Pred ( R ,  A ,  X )
9 nfcv 2594 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a
j
10 nfmpt1 4495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ a
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) )
1110, 8nfrdg 7137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ a rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )
12 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ a om
1311, 12nfres 5110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ a
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )
1413, 9nffv 5877 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ a
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )
15 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ a Pred ( R ,  A ,  e )
1614, 15nfiun 4309 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a U_ e  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )
17 predeq3 5387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  e  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
e ) )
1817cbviunv 4320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A ,  e )
1918mpteq2i 4489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) )  =  ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A , 
e ) )
20 rdgeq1 7134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) )  =  ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A , 
e ) )  ->  rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A ,  e ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
21 reseq1 5102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A ,  e ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  -> 
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ e  e.  a  Pred ( R ,  A , 
e ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) )
2219, 20, 21mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ e  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  e )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
23 iuneq1 4295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  U_ e  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  e )  =  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e ) )
248, 9, 16, 22, 23frsucmpt 7160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  om  /\  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  e )  e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  =  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  e )
)
25 iunss 4322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  e )  C_  A  <->  A. e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  C_  A
)
26 predss 5390 . . . . . . . . . . . 12  |-  Pred ( R ,  A , 
e )  C_  A
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  Pred ( R ,  A ,  e )  C_  A )
2825, 27mprgbir 2754 . . . . . . . . . 10  |-  U_ e  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  C_  A
2924, 28syl6eqss 3484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  e )  e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  C_  A
)
308, 9, 16, 22, 23frsucmptn 7161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  =  (/) )
3130adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  om  /\  -.  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  e.  _V )  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) )
32 0ss 3765 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  C_  A
3331, 32syl6eqss 3484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  -.  U_ e  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
e )  e.  _V )  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  C_  A )
3429, 33pm2.61dan 801 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  C_  A
)
3534adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  om  /\  i  =  suc  j )  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  C_  A )
36 fveq2 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )
3736sseq1d 3461 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A  <->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  C_  A )
)
3837adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  om  /\  i  =  suc  j )  ->  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A  <->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  C_  A )
)
3935, 38mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  om  /\  i  =  suc  j )  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A )
4039rexlimiva 2877 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  om  i  =  suc  j  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
4140a1d 26 . . . 4  |-  ( E. j  e.  om  i  =  suc  j  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
) )
427, 41jaoi 381 . . 3  |-  ( ( i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j )  -> 
( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A ) )
431, 42syl 17 . 2  |-  ( i  e.  om  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
) )
44 nfvres 5900 . . . 4  |-  ( -.  i  e.  om  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  =  (/) )
4544, 32syl6eqss 3484 . . 3  |-  ( -.  i  e.  om  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
4645a1d 26 . 2  |-  ( -.  i  e.  om  ->  (
Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  A ) )
4743, 46pm2.61i 168 1  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   E.wrex 2740   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   (/)c0 3733   U_ciun 4281    |-> cmpt 4464    |` cres 4839   Predcpred 5382   suc csuc 5428   ` cfv 5585   omcom 6697   reccrdg 7132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133
This theorem is referenced by:  trpredss  30482  trpredtr  30483  trpredmintr  30484  trpredrec  30491
  Copyright terms: Public domain W3C validator