Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredelss Structured version   Unicode version

Theorem trpredelss 30046
Description: Given a transitive predecessor  Y of  X, the transitive predecessors of  Y are a subset of the transitive predecessors of  X. (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredelss  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )

Proof of Theorem trpredelss
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setlikespec 5388 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
2 trpredss 30043 . . . . 5  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  -> 
TrPred ( R ,  A ,  X )  C_  A
)
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  A )
43sselda 3442 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  Y  e.  A )
5 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  R Se  A )
6 trpredtr 30044 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
76ralrimiv 2816 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
87adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  A. y  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
9 trpredtr 30044 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
109imp 427 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
11 trpredmintr 30045 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e. 
TrPred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
)  /\  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
124, 5, 8, 10, 11syl22anc 1231 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
1312ex 432 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   Se wse 4780   Predcpred 5366   TrPredctrpred 30031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-trpred 30032
This theorem is referenced by:  dftrpred3g  30047
  Copyright terms: Public domain W3C validator