Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpred0 Structured version   Unicode version

Theorem trpred0 27839
Description: The class of transitive predecessors is empty when  A is empty. (Contributed by Scott Fenton, 30-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
trpred0  |-  TrPred ( R ,  (/) ,  X )  =  (/)

Proof of Theorem trpred0
Dummy variables  a 
i  j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrpred2 27822 . 2  |-  TrPred ( R ,  (/) ,  X )  =  U_ i  e. 
om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  (/)
,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/)
,  X ) )  |`  om ) `  i
)
2 pred0 27799 . . . . . . . . . . 11  |-  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  (/)
32a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  a  ->  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  (/) )
43iuneq2i 4292 . . . . . . . . 9  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  U_ y  e.  a  (/)
5 iun0 4329 . . . . . . . . 9  |-  U_ y  e.  a  (/)  =  (/)
64, 5eqtri 2481 . . . . . . . 8  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  (/)
76mpteq2i 4478 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) )  =  ( a  e.  _V  |->  (/) )
8 pred0 27799 . . . . . . 7  |-  Pred ( R ,  (/) ,  X
)  =  (/)
9 rdgeq12 6974 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) )  =  ( a  e.  _V  |->  (/) )  /\  Pred ( R ,  (/)
,  X )  =  (/) )  ->  rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  =  rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) ) )
107, 8, 9mp2an 672 . . . . . 6  |-  rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  =  rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )
1110reseq1i 5209 . . . . 5  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  (/)
,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/)
,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om )
1211fveq1i 5795 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )
13 nn0suc 6605 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j ) )
14 fveq2 5794 . . . . . . 7  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  (/) ) )
15 0ex 4525 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
16 fr0g 6996 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  (/) )  =  (/) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  (/) )  =  (/)
1814, 17syl6eq 2509 . . . . . 6  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
19 nfcv 2614 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ a (/)
20 nfcv 2614 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ a
j
21 eqid 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om )
22 eqidd 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  j )  ->  (/)  =  (/) )
2319, 20, 19, 21, 22frsucmpt 6998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  (/) 
e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) )
2415, 23mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) )
25 fveq2 5794 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j ) )
2625eqeq1d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/)  <->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) ) )
2724, 26syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  om  ->  (
i  =  suc  j  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) ) )
2827rexlimiv 2935 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  om  i  =  suc  j  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
2918, 28jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
3013, 29syl 16 . . . 4  |-  ( i  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
3112, 30syl5eq 2505 . . 3  |-  ( i  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
3231iuneq2i 4292 . 2  |-  U_ i  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  (/)
,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/)
,  X ) )  |`  om ) `  i
)  =  U_ i  e.  om  (/)
33 iun0 4329 . 2  |-  U_ i  e.  om  (/)  =  (/)
341, 32, 333eqtri 2485 1  |-  TrPred ( R ,  (/) ,  X )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 368    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2797   _Vcvv 3072   (/)c0 3740   U_ciun 4274    |-> cmpt 4453   suc csuc 4824    |` cres 4945   ` cfv 5521   omcom 6581   reccrdg 6970   Predcpred 27763   TrPredctrpred 27820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-pred 27764  df-trpred 27821
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator