Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpred0 Structured version   Unicode version

Theorem trpred0 28924
Description: The class of transitive predecessors is empty when  A is empty. (Contributed by Scott Fenton, 30-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
trpred0  |-  TrPred ( R ,  (/) ,  X )  =  (/)

Proof of Theorem trpred0
Dummy variables  a 
i  j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrpred2 28907 . 2  |-  TrPred ( R ,  (/) ,  X )  =  U_ i  e. 
om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  (/)
,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/)
,  X ) )  |`  om ) `  i
)
2 pred0 28884 . . . . . . . . . . 11  |-  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  (/)
32a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  a  ->  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  (/) )
43iuneq2i 4344 . . . . . . . . 9  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  U_ y  e.  a  (/)
5 iun0 4381 . . . . . . . . 9  |-  U_ y  e.  a  (/)  =  (/)
64, 5eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  (/)
76mpteq2i 4530 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) )  =  ( a  e.  _V  |->  (/) )
8 pred0 28884 . . . . . . 7  |-  Pred ( R ,  (/) ,  X
)  =  (/)
9 rdgeq12 7079 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) )  =  ( a  e.  _V  |->  (/) )  /\  Pred ( R ,  (/)
,  X )  =  (/) )  ->  rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  =  rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) ) )
107, 8, 9mp2an 672 . . . . . 6  |-  rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  =  rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )
1110reseq1i 5269 . . . . 5  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  (/)
,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/)
,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om )
1211fveq1i 5867 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )
13 nn0suc 6708 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j ) )
14 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  (/) ) )
15 0ex 4577 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
16 fr0g 7101 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  (/) )  =  (/) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  (/) )  =  (/)
1814, 17syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
19 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ a (/)
20 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ a
j
21 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om )
22 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  j )  ->  (/)  =  (/) )
2319, 20, 19, 21, 22frsucmpt 7103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  (/) 
e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) )
2415, 23mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) )
25 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j ) )
2625eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/)  <->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) ) )
2724, 26syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  om  ->  (
i  =  suc  j  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) ) )
2827rexlimiv 2949 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  om  i  =  suc  j  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
2918, 28jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
3013, 29syl 16 . . . 4  |-  ( i  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
3112, 30syl5eq 2520 . . 3  |-  ( i  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
3231iuneq2i 4344 . 2  |-  U_ i  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  (/)
,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/)
,  X ) )  |`  om ) `  i
)  =  U_ i  e.  om  (/)
33 iun0 4381 . 2  |-  U_ i  e.  om  (/)  =  (/)
341, 32, 333eqtri 2500 1  |-  TrPred ( R ,  (/) ,  X )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 368    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   U_ciun 4325    |-> cmpt 4505   suc csuc 4880    |` cres 5001   ` cfv 5588   omcom 6684   reccrdg 7075   Predcpred 28848   TrPredctrpred 28905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-pred 28849  df-trpred 28906
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator