Theorem tron 3681

Description: The class of all ordinal numbers is transitive.

Assertion

Ref	Expression
tron	|- Tr On

Proof of Theorem tron

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr3 3415	. 2 |- (Tr On <-> A.x e. On x C_ On)
2		ordelord 3680	. . . . . 6 |- ((Ord x /\ y e. x) -> Ord y)
3		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
4	3	elon 3666	. . . . . 6 |- (x e. On <-> Ord x)
5	2, 4	sylanb 498	. . . . 5 |- ((x e. On /\ y e. x) -> Ord y)
6	5	ex 402	. . . 4 |- (x e. On -> (y e. x -> Ord y))
7		visset 2295	. . . . 5 |- y e. _V
8	7	elon 3666	. . . 4 |- (y e. On <-> Ord y)
9	6, 8	syl6ibr 230	. . 3 |- (x e. On -> (y e. x -> y e. On))
10	9	ssrdv 2622	. 2 |- (x e. On -> x C_ On)
11	1, 10	mprgbir 2163	1 |- Tr On

Syntax hints:   e. wcel 1300   C_ wss 2593  Tr wtr 3411  Ord word 3656  Oncon0 3657

This theorem is referenced by:  ordon 3863  onuninsuci 3921

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661

Copyright terms: Public domain