Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlord Structured version   Unicode version

Theorem trlord 33568
 Description: The ordering of two Hilbert lattice elements (under the fiducial hyperplane ) is determined by the translations whose traces are under them. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
trlord.b
trlord.l
trlord.a
trlord.h
trlord.t
trlord.r
Assertion
Ref Expression
trlord
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem trlord
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlord.b . . . . 5
2 trlord.l . . . . 5
3 simpl1l 1048 . . . . . 6
4 hllat 32361 . . . . . 6
53, 4syl 17 . . . . 5
6 simpl1 1000 . . . . . 6
7 simprlr 765 . . . . . 6
8 trlord.h . . . . . . 7
9 trlord.t . . . . . . 7
10 trlord.r . . . . . . 7
111, 8, 9, 10trlcl 33162 . . . . . 6
126, 7, 11syl2anc 659 . . . . 5
13 simpl2l 1050 . . . . 5
14 simpl3l 1052 . . . . 5
15 simprr 758 . . . . 5
16 simprll 764 . . . . 5
171, 2, 5, 12, 13, 14, 15, 16lattrd 16010 . . . 4
1817exp44 611 . . 3
1918ralrimdv 2819 . 2
20 simp11l 1108 . . . . . . . . . 10
2120, 4syl 17 . . . . . . . . 9
22 simp2r 1024 . . . . . . . . . 10
23 trlord.a . . . . . . . . . . 11
241, 23atbase 32287 . . . . . . . . . 10
2522, 24syl 17 . . . . . . . . 9
26 simp12l 1110 . . . . . . . . 9
27 simp11r 1109 . . . . . . . . . 10
281, 8lhpbase 32995 . . . . . . . . . 10
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9
30 simp3 999 . . . . . . . . 9
31 simp12r 1111 . . . . . . . . 9
321, 2, 21, 25, 26, 29, 30, 31lattrd 16010 . . . . . . . 8
3332, 30jca 530 . . . . . . 7
34333expia 1199 . . . . . 6
35 simp11 1027 . . . . . . . . . 10
36 simp2r 1024 . . . . . . . . . 10
37 simp3 999 . . . . . . . . . 10
382, 23, 8, 9, 10cdlemf 33562 . . . . . . . . . 10
3935, 36, 37, 38syl12anc 1228 . . . . . . . . 9
40 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . 12
41 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241breq1d 4404 . . . . . . . . . . . . . 14
4341breq1d 4404 . . . . . . . . . . . . . 14
4442, 43imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13
4544rspccv 3156 . . . . . . . . . . . 12
4640, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11
47 breq1 4397 . . . . . . . . . . . . 13
48 breq1 4397 . . . . . . . . . . . . 13
4947, 48imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12
5049biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11
5146, 50syl6 31 . . . . . . . . . 10
5251rexlimdv 2893 . . . . . . . . 9
5339, 52mpd 15 . . . . . . . 8
54533expia 1199 . . . . . . 7
5554impd 429 . . . . . 6
5634, 55syld 42 . . . . 5
5756exp32 603 . . . 4
5857ralrimdv 2819 . . 3
59 simp1l 1021 . . . 4
60 simp2l 1023 . . . 4
61 simp3l 1025 . . . 4
621, 2, 23hlatle 32395 . . . 4
6359, 60, 61, 62syl3anc 1230 . . 3
6458, 63sylibrd 234 . 2
6519, 64impbid 191 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  wral 2753  wrex 2754   class class class wbr 4394  cfv 5568  cbs 14839  cple 14914  clat 15997  catm 32261  chlt 32348  clh 32981  cltrn 33098  ctrl 33156 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-riotaBAD 31957 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-undef 7004  df-map 7458  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496  df-lvols 32497  df-lines 32498  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985  df-laut 32986  df-ldil 33101  df-ltrn 33102  df-trl 33157 This theorem is referenced by:  diaord  34047  dihord2pre  34225
 Copyright terms: Public domain W3C validator