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Theorem trlord 34213
Description: The ordering of two Hilbert lattice elements (under the fiducial hyperplane  W) is determined by the translations whose traces are under them. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
trlord.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
trlord.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
trlord.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
trlord.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlord.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlord.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlord  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y ) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , f    B, f    f, H    f, K    R, f    T, f    f, W   
f, X    f, Y
Allowed substitution hint:    A( f)

Proof of Theorem trlord
Dummy variables  g  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlord.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 trlord.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 simpl1l 1039 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 33008 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simprlr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  f  e.  T
)
8 trlord.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 trlord.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
10 trlord.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
111, 8, 9, 10trlcl 33808 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  e.  B
)
126, 7, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( R `  f )  e.  B
)
13 simpl2l 1041 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  X  e.  B
)
14 simpl3l 1043 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  Y  e.  B
)
15 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( R `  f )  .<_  X )
16 simprll 761 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  X  .<_  Y )
171, 2, 5, 12, 13, 14, 15, 16lattrd 15228 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( R `  f )  .<_  Y )
1817exp44 613 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  -> 
( f  e.  T  ->  ( ( R `  f )  .<_  X  -> 
( R `  f
)  .<_  Y ) ) ) )
1918ralrimdv 2805 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  ->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  -> 
( R `  f
)  .<_  Y ) ) )
20 simp11l 1099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
2120, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  K  e.  Lat )
22 simp2r 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  e.  A )
23 trlord.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
241, 23atbase 32934 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  A  ->  u  e.  B )
2522, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  e.  B )
26 simp12l 1101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  X  e.  B )
27 simp11r 1100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  W  e.  H )
281, 8lhpbase 33642 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  W  e.  B )
30 simp3 990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  .<_  X )
31 simp12r 1102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  X  .<_  W )
321, 2, 21, 25, 26, 29, 30, 31lattrd 15228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  .<_  W )
3332, 30jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  (
u  .<_  W  /\  u  .<_  X ) )
34333expia 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( u  .<_  X  -> 
( u  .<_  W  /\  u  .<_  X ) ) )
35 simp11 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
36 simp2r 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  u  e.  A )
37 simp3 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  u  .<_  W )
382, 23, 8, 9, 10cdlemf 34207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( u  e.  A  /\  u  .<_  W ) )  ->  E. g  e.  T  ( R `  g )  =  u )
3935, 36, 37, 38syl12anc 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  E. g  e.  T  ( R `  g )  =  u )
40 simp2l 1014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y ) )
41 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  ( R `  f )  =  ( R `  g ) )
4241breq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
( R `  f
)  .<_  X  <->  ( R `  g )  .<_  X ) )
4341breq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
( R `  f
)  .<_  Y  <->  ( R `  g )  .<_  Y ) )
4442, 43imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( R `  f )  .<_  X  -> 
( R `  f
)  .<_  Y )  <->  ( ( R `  g )  .<_  X  ->  ( R `  g )  .<_  Y ) ) )
4544rspccv 3070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  (
g  e.  T  -> 
( ( R `  g )  .<_  X  -> 
( R `  g
)  .<_  Y ) ) )
4640, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  (
g  e.  T  -> 
( ( R `  g )  .<_  X  -> 
( R `  g
)  .<_  Y ) ) )
47 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  g )  =  u  ->  (
( R `  g
)  .<_  X  <->  u  .<_  X ) )
48 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  g )  =  u  ->  (
( R `  g
)  .<_  Y  <->  u  .<_  Y ) )
4947, 48imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  g )  =  u  ->  (
( ( R `  g )  .<_  X  -> 
( R `  g
)  .<_  Y )  <->  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5049biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R `  g
)  .<_  X  ->  ( R `  g )  .<_  Y )  ->  (
( R `  g
)  =  u  -> 
( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5146, 50syl6 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  (
g  e.  T  -> 
( ( R `  g )  =  u  ->  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) ) )
5251rexlimdv 2840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  ( E. g  e.  T  ( R `  g )  =  u  ->  (
u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5339, 52mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  (
u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) )
54533expia 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( u  .<_  W  -> 
( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5554impd 431 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( ( u  .<_  W  /\  u  .<_  X )  ->  u  .<_  Y ) )
5634, 55syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) )
5756exp32 605 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( A. f  e.  T  ( ( R `
 f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  ( u  e.  A  ->  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) ) )
5857ralrimdv 2805 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( A. f  e.  T  ( ( R `
 f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  A. u  e.  A  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
59 simp1l 1012 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
60 simp2l 1014 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
61 simp3l 1016 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B )
621, 2, 23hlatle 33042 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  A. u  e.  A  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
6359, 60, 61, 62syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  A. u  e.  A  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
6458, 63sylibrd 234 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( A. f  e.  T  ( ( R `
 f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  X  .<_  Y ) )
6519, 64impbid 191 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   class class class wbr 4292   ` cfv 5418   Basecbs 14174   lecple 14245   Latclat 15215   Atomscatm 32908   HLchlt 32995   LHypclh 33628   LTrncltrn 33745   trLctrl 33802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-riotaBAD 32604
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-undef 6792  df-map 7216  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143  df-lvols 33144  df-lines 33145  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-padd 33440  df-lhyp 33632  df-laut 33633  df-ldil 33748  df-ltrn 33749  df-trl 33803
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