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Theorem trlord 33568
Description: The ordering of two Hilbert lattice elements (under the fiducial hyperplane  W) is determined by the translations whose traces are under them. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
trlord.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
trlord.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
trlord.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
trlord.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlord.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlord.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlord  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y ) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , f    B, f    f, H    f, K    R, f    T, f    f, W   
f, X    f, Y
Allowed substitution hint:    A( f)

Proof of Theorem trlord
Dummy variables  g  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlord.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 trlord.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 simpl1l 1048 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 32361 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simpl1 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simprlr 765 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  f  e.  T
)
8 trlord.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 trlord.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
10 trlord.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
111, 8, 9, 10trlcl 33162 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  e.  B
)
126, 7, 11syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( R `  f )  e.  B
)
13 simpl2l 1050 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  X  e.  B
)
14 simpl3l 1052 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  Y  e.  B
)
15 simprr 758 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( R `  f )  .<_  X )
16 simprll 764 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  X  .<_  Y )
171, 2, 5, 12, 13, 14, 15, 16lattrd 16010 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( R `  f )  .<_  Y )
1817exp44 611 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  -> 
( f  e.  T  ->  ( ( R `  f )  .<_  X  -> 
( R `  f
)  .<_  Y ) ) ) )
1918ralrimdv 2819 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  ->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  -> 
( R `  f
)  .<_  Y ) ) )
20 simp11l 1108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
2120, 4syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  K  e.  Lat )
22 simp2r 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  e.  A )
23 trlord.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
241, 23atbase 32287 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  A  ->  u  e.  B )
2522, 24syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  e.  B )
26 simp12l 1110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  X  e.  B )
27 simp11r 1109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  W  e.  H )
281, 8lhpbase 32995 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  W  e.  B )
30 simp3 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  .<_  X )
31 simp12r 1111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  X  .<_  W )
321, 2, 21, 25, 26, 29, 30, 31lattrd 16010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  .<_  W )
3332, 30jca 530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  (
u  .<_  W  /\  u  .<_  X ) )
34333expia 1199 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( u  .<_  X  -> 
( u  .<_  W  /\  u  .<_  X ) ) )
35 simp11 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
36 simp2r 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  u  e.  A )
37 simp3 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  u  .<_  W )
382, 23, 8, 9, 10cdlemf 33562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( u  e.  A  /\  u  .<_  W ) )  ->  E. g  e.  T  ( R `  g )  =  u )
3935, 36, 37, 38syl12anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  E. g  e.  T  ( R `  g )  =  u )
40 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y ) )
41 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  ( R `  f )  =  ( R `  g ) )
4241breq1d 4404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
( R `  f
)  .<_  X  <->  ( R `  g )  .<_  X ) )
4341breq1d 4404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
( R `  f
)  .<_  Y  <->  ( R `  g )  .<_  Y ) )
4442, 43imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( R `  f )  .<_  X  -> 
( R `  f
)  .<_  Y )  <->  ( ( R `  g )  .<_  X  ->  ( R `  g )  .<_  Y ) ) )
4544rspccv 3156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  (
g  e.  T  -> 
( ( R `  g )  .<_  X  -> 
( R `  g
)  .<_  Y ) ) )
4640, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  (
g  e.  T  -> 
( ( R `  g )  .<_  X  -> 
( R `  g
)  .<_  Y ) ) )
47 breq1 4397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  g )  =  u  ->  (
( R `  g
)  .<_  X  <->  u  .<_  X ) )
48 breq1 4397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  g )  =  u  ->  (
( R `  g
)  .<_  Y  <->  u  .<_  Y ) )
4947, 48imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  g )  =  u  ->  (
( ( R `  g )  .<_  X  -> 
( R `  g
)  .<_  Y )  <->  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5049biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R `  g
)  .<_  X  ->  ( R `  g )  .<_  Y )  ->  (
( R `  g
)  =  u  -> 
( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5146, 50syl6 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  (
g  e.  T  -> 
( ( R `  g )  =  u  ->  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) ) )
5251rexlimdv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  ( E. g  e.  T  ( R `  g )  =  u  ->  (
u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5339, 52mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  (
u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) )
54533expia 1199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( u  .<_  W  -> 
( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5554impd 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( ( u  .<_  W  /\  u  .<_  X )  ->  u  .<_  Y ) )
5634, 55syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) )
5756exp32 603 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( A. f  e.  T  ( ( R `
 f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  ( u  e.  A  ->  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) ) )
5857ralrimdv 2819 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( A. f  e.  T  ( ( R `
 f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  A. u  e.  A  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
59 simp1l 1021 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
60 simp2l 1023 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
61 simp3l 1025 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B )
621, 2, 23hlatle 32395 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  A. u  e.  A  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
6359, 60, 61, 62syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  A. u  e.  A  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
6458, 63sylibrd 234 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( A. f  e.  T  ( ( R `
 f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  X  .<_  Y ) )
6519, 64impbid 191 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   class class class wbr 4394   ` cfv 5568   Basecbs 14839   lecple 14914   Latclat 15997   Atomscatm 32261   HLchlt 32348   LHypclh 32981   LTrncltrn 33098   trLctrl 33156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-riotaBAD 31957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-undef 7004  df-map 7458  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496  df-lvols 32497  df-lines 32498  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985  df-laut 32986  df-ldil 33101  df-ltrn 33102  df-trl 33157
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