Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trlon Structured version   Unicode version

Theorem trlon 24971
 Description: The set of trails between two vertices (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
trlon TrailOn WalkOn Trails
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem trlon
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3070 . . . . 5
21ad2antrr 726 . . . 4
3 elex 3070 . . . . . 6
43adantl 466 . . . . 5
54adantr 465 . . . 4
6 id 23 . . . . . . 7
76ancli 551 . . . . . 6
87ad2antrr 726 . . . . 5
9 mpt2exga 6862 . . . . 5 WalkOn Trails
108, 9syl 17 . . . 4 WalkOn Trails
11 simpl 457 . . . . . 6
12 oveq12 6289 . . . . . . . . . 10 WalkOn WalkOn
1312oveqd 6297 . . . . . . . . 9 WalkOn WalkOn
1413breqd 4408 . . . . . . . 8 WalkOn WalkOn
15 oveq12 6289 . . . . . . . . 9 Trails Trails
1615breqd 4408 . . . . . . . 8 Trails Trails
1714, 16anbi12d 711 . . . . . . 7 WalkOn Trails WalkOn Trails
1817opabbidv 4460 . . . . . 6 WalkOn Trails WalkOn Trails
1911, 11, 18mpt2eq123dv 6342 . . . . 5 WalkOn Trails WalkOn Trails
20 df-trlon 24944 . . . . 5 TrailOn WalkOn Trails
2119, 20ovmpt2ga 6415 . . . 4 WalkOn Trails TrailOn WalkOn Trails
222, 5, 10, 21syl3anc 1232 . . 3 TrailOn WalkOn Trails
2322oveqd 6297 . 2 TrailOn WalkOn Trails
24 simpl 457 . . . 4
26 simprr 760 . . 3
27 ancom 450 . . . . . . 7 WalkOn Trails Trails WalkOn
2827a1i 11 . . . . . 6 WalkOn Trails Trails WalkOn
2928opabbidv 4460 . . . . 5 WalkOn Trails Trails WalkOn
30 trliswlk 24970 . . . . . . 7 Trails Walks
3130wlkres 24951 . . . . . 6 Trails WalkOn
321, 3, 31syl2an 477 . . . . 5 Trails WalkOn
3329, 32eqeltrd 2492 . . . 4 WalkOn Trails
3433adantr 465 . . 3 WalkOn Trails
35 oveq12 6289 . . . . . . 7 WalkOn WalkOn
3635breqd 4408 . . . . . 6 WalkOn WalkOn
3736anbi1d 705 . . . . 5 WalkOn Trails WalkOn Trails
3837opabbidv 4460 . . . 4 WalkOn Trails WalkOn Trails
39 eqid 2404 . . . 4 WalkOn Trails WalkOn Trails
4038, 39ovmpt2ga 6415 . . 3 WalkOn Trails WalkOn Trails WalkOn Trails
4125, 26, 34, 40syl3anc 1232 . 2 WalkOn Trails WalkOn Trails
4223, 41eqtrd 2445 1 TrailOn WalkOn Trails
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 186   wa 369   wceq 1407   wcel 1844  cvv 3061   class class class wbr 4397  copab 4454  (class class class)co 6280   cmpt2 6282   Trails ctrail 24928   WalkOn cwlkon 24931   TrailOn ctrlon 24932 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-hash 12455  df-word 12593  df-wlk 24937  df-trail 24938  df-trlon 24944 This theorem is referenced by:  istrlon  24972  trlonprop  24973
 Copyright terms: Public domain W3C validator