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Theorem trljco 33759
Description: Trace joined with trace of composition. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trljco.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
trljco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trljco.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trljco.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trljco  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )

Proof of Theorem trljco
StepHypRef Expression
1 coeq1 4981 . . . . 5  |-  ( F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  G ) )
2 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 trljco.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 trljco.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
52, 3, 4ltrn1o 33141 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
653adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
7 f1of 5799 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
8 fcoi2 5743 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
96, 7, 83syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
101, 9sylan9eqr 2465 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( F  o.  G )  =  G )
1110fveq2d 5853 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( R `  G ) )
1211oveq2d 6294 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
13 simp1l 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  K  e.  HL )
14 hllat 32381 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1513, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  K  e.  Lat )
16 trljco.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
172, 3, 4, 16trlcl 33182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
)
18173adant3 1017 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
)
19 trljco.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
202, 19latjidm 16028 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R `  F
)  .\/  ( R `  F ) )  =  ( R `  F
) )
2115, 18, 20syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) )  =  ( R `  F ) )
22 hlol 32379 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
2313, 22syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  K  e.  OL )
24 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
252, 19, 24olj01 32243 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) )  =  ( R `  F
) )
2623, 18, 25syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( 0. `  K
) )  =  ( R `  F ) )
2721, 26eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) ) )
2827adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) ) )
29 coeq2 4982 . . . . . 6  |-  ( G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
302, 3, 4ltrn1o 33141 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
31303adant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
32 f1of 5799 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  F : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
33 fcoi1 5742 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  F )
3431, 32, 333syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  F )
3529, 34sylan9eqr 2465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( F  o.  G )  =  F )
3635fveq2d 5853 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( R `  F ) )
3736oveq2d 6294 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  F ) ) )
382, 24, 3, 4, 16trlid0b 33196 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  G
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
39383adant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  G
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
4039biimpa 482 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( 0. `  K ) )
4140oveq2d 6294 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) ) )
4228, 37, 413eqtr4d 2453 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
43 eqid 2402 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
4415adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  ->  K  e.  Lat )
45 simp1 997 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
463, 4ltrnco 33738 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
472, 3, 4, 16trlcl 33182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
4845, 46, 47syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
492, 19latjcl 16005 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  e.  (
Base `  K )
)
5015, 18, 48, 49syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  e.  (
Base `  K )
)
5150adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  e.  ( Base `  K
) )
522, 3, 4, 16trlcl 33182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
53523adant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
542, 19latjcl 16005 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
5515, 18, 53, 54syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
5655adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
)  e.  ( Base `  K ) )
572, 43, 19latlej1 16014 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
5815, 18, 53, 57syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
5943, 19, 3, 4, 16trlco 33746 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  G
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
602, 43, 19latjle12 16016 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  F )  e.  (
Base `  K )  /\  ( R `  ( F  o.  G )
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( R `
 F ) ( le `  K ) ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
)  /\  ( R `  ( F  o.  G
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )  <-> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) ) )
6115, 18, 48, 55, 60syl13anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( (
( R `  F
) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) )  /\  ( R `  ( F  o.  G ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )  <->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) ) )
6258, 59, 61mpbi2and 922 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
6362adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
64 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( R `
 G ) )
6564oveq2d 6294 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  F )
)  =  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) )
662, 43, 19latlej1 16014 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
6715, 18, 48, 66syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
6821, 67eqbrtrd 4415 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
6968adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  F )
) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
7065, 69eqbrtrrd 4417 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
712, 43, 44, 51, 56, 63, 70latasymd 16011 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  =  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
7262adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
73 simpl1l 1048 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  K  e.  HL )
74 simpl1 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
75 simpl2 1001 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  F  e.  T )
76 simpr1 1003 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
77 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
782, 77, 3, 4, 16trlnidat 33191 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  -> 
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K ) )
7974, 75, 76, 78syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K ) )
80 simpl3 1002 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  G  e.  T )
8175, 80jca 530 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )
82 simpr3 1005 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )
8377, 3, 4, 16trlcoat 33742 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  ( Atoms `  K )
)
8474, 81, 82, 83syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  ( F  o.  G )
)  e.  ( Atoms `  K ) )
85 simpr2 1004 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
862, 3, 4, 16trlcone 33747 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G )
) )
8774, 81, 82, 85, 86syl112anc 1234 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  F
)  =/=  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )
882, 77, 3, 4, 16trlnidat 33191 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  -> 
( R `  G
)  e.  ( Atoms `  K ) )
8974, 80, 85, 88syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  G
)  e.  ( Atoms `  K ) )
9043, 19, 77ps-1 32494 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  /\  ( ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  G
)  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) ( le `  K ) ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
)  <->  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  =  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) ) )
9173, 79, 84, 87, 79, 89, 90syl132anc 1248 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) )  <->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) ) )
9272, 91mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  =  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
9312, 42, 71, 92pm2.61da3ne 2723 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4395    _I cid 4733    |` cres 4825    o. ccom 4827   -->wf 5565   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   lecple 14916   joincjn 15897   0.cp0 15991   Latclat 15999   OLcol 32192   Atomscatm 32281   HLchlt 32368   LHypclh 33001   LTrncltrn 33118   trLctrl 33176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-riotaBAD 31977
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-undef 7005  df-map 7459  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-p1 15994  df-lat 16000  df-clat 16062  df-oposet 32194  df-ol 32196  df-oml 32197  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369  df-llines 32515  df-lplanes 32516  df-lvols 32517  df-lines 32518  df-psubsp 32520  df-pmap 32521  df-padd 32813  df-lhyp 33005  df-laut 33006  df-ldil 33121  df-ltrn 33122  df-trl 33177
This theorem is referenced by:  trljco2  33760  cdlemkid1  33941
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