Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlid0b Structured version   Unicode version

Theorem trlid0b 33176
Description: A lattice translation is the identity iff its trace is zero. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlid0b.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
trlid0b.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
trlid0b.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlid0b.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlid0b.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlid0b  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( R `  F
)  =  .0.  )
)

Proof of Theorem trlid0b
StepHypRef Expression
1 trlid0b.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3 trlid0b.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 trlid0b.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
5 trlid0b.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
61, 2, 3, 4, 5trlnidatb 33175 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  <-> 
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K ) ) )
7 trlid0b.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
87, 2, 3, 4, 5trlatn0 33170 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )  <->  ( R `  F )  =/=  .0.  ) )
96, 8bitrd 253 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  <-> 
( R `  F
)  =/=  .0.  )
)
109necon4bid 2662 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( R `  F
)  =  .0.  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    _I cid 4732    |` cres 4824   ` cfv 5568   Basecbs 14839   0.cp0 15989   Atomscatm 32261   HLchlt 32348   LHypclh 32981   LTrncltrn 33098   trLctrl 33156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-map 7458  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-lhyp 32985  df-laut 32986  df-ldil 33101  df-ltrn 33102  df-trl 33157
This theorem is referenced by:  trlnid  33177  trlcoat  33722  trlcone  33727  trljco  33739  tendoid  33772  tendoex  33974  dia0  34052
  Copyright terms: Public domain W3C validator