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Theorem trlcolem 31208
Description: Lemma for trlco 31209. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlco.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
trlco.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
trlco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlco.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlco.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
trlcolem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
trlcolem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
trlcolem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  .<_  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) )

Proof of Theorem trlcolem
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 29846 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
5 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 trlcolem.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 29772 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
9 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 simp2r 984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
11 trlco.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 trlco.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 trlco.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
1411, 6, 12, 13ltrnat 30622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
159, 10, 4, 14syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  e.  A
)
165, 6atbase 29772 . . . . . 6  |-  ( ( G `  P )  e.  A  ->  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  e.  (
Base `  K )
)
18 trlco.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
195, 11, 18latlej1 14444 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( G `  P )
) )
203, 8, 17, 19syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( G `
 P ) ) )
215, 18, 6hlatjcl 29849 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
221, 4, 15, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)
23 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
245, 12, 13ltrncl 30607 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( G `  P
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
259, 23, 17, 24syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)
265, 11, 18latjlej1 14449 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  ( P  .<_  ( P  .\/  ( G `  P ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
273, 8, 22, 25, 26syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .<_  ( P  .\/  ( G `  P )
)  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
2820, 27mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )
295, 18latjcl 14434 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  e.  (
Base `  K )
)
303, 8, 25, 29syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
315, 18latjcl 14434 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
323, 22, 25, 31syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
33 simp1r 982 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
345, 12lhpbase 30480 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
36 trlcolem.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
375, 11, 36latmlem1 14465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
.<_  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
)  .<_  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
) ) )
383, 30, 32, 35, 37syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ->  (
( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W )  .<_  ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
) )
3928, 38mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
)  .<_  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
) )
4012, 13ltrnco 31201 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
419, 23, 10, 40syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
42 trlco.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
4311, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 30645 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( P  .\/  (
( F  o.  G
) `  P )
)  ./\  W )
)
4441, 43syld3an2 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( P  .\/  (
( F  o.  G
) `  P )
)  ./\  W )
)
4511, 6, 12, 13ltrncoval 30627 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( F  o.  G
) `  P )  =  ( F `  ( G `  P ) ) )
46453adant3r 1181 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F  o.  G ) `  P )  =  ( F `  ( G `
 P ) ) )
4746oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( ( F  o.  G ) `  P
) )  =  ( P  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) )
4847oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( ( F  o.  G ) `  P ) )  ./\  W )  =  ( ( P  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
4944, 48eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
5011, 6, 12, 13ltrnel 30621 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
5110, 50syld3an2 1231 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
5211, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 30645 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
539, 23, 51, 52syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
5411, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 30645 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)
5510, 54syld3an2 1231 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)
5653, 55oveq12d 6058 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  =  ( ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
) )
5711, 6, 12, 13ltrnat 30622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( G `  P
)  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )
589, 23, 15, 57syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  e.  A
)
595, 18, 6hlatjcl 29849 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  P )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )  ->  (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  e.  ( Base `  K
) )
601, 15, 58, 59syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
615, 36latmcl 14435 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
623, 60, 35, 61syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
635, 36latmcl 14435 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
643, 22, 35, 63syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
655, 18latjcom 14443 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
)  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
) )
663, 62, 64, 65syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W )  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
) )
675, 18latjcl 14434 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
683, 17, 25, 67syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
695, 11, 36latmle2 14461 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  W )
703, 22, 35, 69syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  W )
715, 11, 18, 36, 12lhpmod6i1 30521 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  W )  ->  ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W ) )  =  ( ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  ./\  W ) )
729, 64, 68, 70, 71syl121anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  ./\  W )
)
735, 18latjass 14479 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
743, 64, 17, 25, 73syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
755, 11, 18latlej2 14445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( G `  P )
) )
763, 8, 17, 75syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )
775, 11, 18, 36, 12lhpmod2i2 30520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G `  P )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( G `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  .\/  ( G `  P ) )  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  ( W  .\/  ( G `  P ) ) ) )
789, 22, 17, 76, 77syl121anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  ( W  .\/  ( G `  P
) ) ) )
79 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
8011, 18, 79, 6, 12lhpjat1 30502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  -> 
( W  .\/  ( G `  P )
)  =  ( 1.
`  K ) )
819, 51, 80syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( W  .\/  ( G `  P
) )  =  ( 1. `  K ) )
8281oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  ( W  .\/  ( G `
 P ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  ( 1. `  K ) ) )
83 hlol 29844 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
841, 83syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
855, 36, 79olm11 29710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  ( G `  P )
) )
8684, 22, 85syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )
8778, 82, 863eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  =  ( P  .\/  ( G `
 P ) ) )
8887oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) ) )
8974, 88eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )
9089oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  ./\  W )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
) )
9172, 90eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W ) )
9256, 66, 913eqtrd 2440 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
9339, 49, 923brtr4d 4202 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  .<_  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172    o. ccom 4841   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   meetcmee 14357   1.cp1 14422   Latclat 14429   OLcol 29657   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   trLctrl 30640
This theorem is referenced by:  trlco  31209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-map 6979  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641
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