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Theorem trlcolem 34689
Description: Lemma for trlco 34690. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlco.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
trlco.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
trlco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlco.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlco.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
trlcolem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
trlcolem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
trlcolem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  .<_  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) )

Proof of Theorem trlcolem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 33327 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp3l 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
5 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 trlcolem.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 33253 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
9 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 simp2r 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
11 trlco.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 trlco.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 trlco.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
1411, 6, 12, 13ltrnat 34103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
159, 10, 4, 14syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  e.  A
)
165, 6atbase 33253 . . . . . 6  |-  ( ( G `  P )  e.  A  ->  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  e.  (
Base `  K )
)
18 trlco.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
195, 11, 18latlej1 15344 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( G `  P )
) )
203, 8, 17, 19syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( G `
 P ) ) )
215, 18, 6hlatjcl 33330 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
221, 4, 15, 21syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)
23 simp2l 1014 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
245, 12, 13ltrncl 34088 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( G `  P
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
259, 23, 17, 24syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)
265, 11, 18latjlej1 15349 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  ( P  .<_  ( P  .\/  ( G `  P ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
273, 8, 22, 25, 26syl13anc 1221 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .<_  ( P  .\/  ( G `  P )
)  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
2820, 27mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )
295, 18latjcl 15335 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  e.  (
Base `  K )
)
303, 8, 25, 29syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
315, 18latjcl 15335 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
323, 22, 25, 31syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
33 simp1r 1013 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
345, 12lhpbase 33961 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
36 trlcolem.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
375, 11, 36latmlem1 15365 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
.<_  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
)  .<_  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
) ) )
383, 30, 32, 35, 37syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ->  (
( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W )  .<_  ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
) )
3928, 38mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
)  .<_  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
) )
4012, 13ltrnco 34682 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
419, 23, 10, 40syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
42 trlco.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
4311, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 34126 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( P  .\/  (
( F  o.  G
) `  P )
)  ./\  W )
)
4441, 43syld3an2 1266 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( P  .\/  (
( F  o.  G
) `  P )
)  ./\  W )
)
4511, 6, 12, 13ltrncoval 34108 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( F  o.  G
) `  P )  =  ( F `  ( G `  P ) ) )
46453adant3r 1216 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F  o.  G ) `  P )  =  ( F `  ( G `
 P ) ) )
4746oveq2d 6211 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( ( F  o.  G ) `  P
) )  =  ( P  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) )
4847oveq1d 6210 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( ( F  o.  G ) `  P ) )  ./\  W )  =  ( ( P  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
4944, 48eqtrd 2493 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
5011, 6, 12, 13ltrnel 34102 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
5110, 50syld3an2 1266 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
5211, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 34126 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
539, 23, 51, 52syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
5411, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 34126 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)
5510, 54syld3an2 1266 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)
5653, 55oveq12d 6213 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  =  ( ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
) )
5711, 6, 12, 13ltrnat 34103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( G `  P
)  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )
589, 23, 15, 57syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  e.  A
)
595, 18, 6hlatjcl 33330 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  P )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )  ->  (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  e.  ( Base `  K
) )
601, 15, 58, 59syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
615, 36latmcl 15336 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
623, 60, 35, 61syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
635, 36latmcl 15336 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
643, 22, 35, 63syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
655, 18latjcom 15343 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
)  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
) )
663, 62, 64, 65syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W )  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
) )
675, 18latjcl 15335 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
683, 17, 25, 67syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
695, 11, 36latmle2 15361 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  W )
703, 22, 35, 69syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  W )
715, 11, 18, 36, 12lhpmod6i1 34002 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  W )  ->  ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W ) )  =  ( ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  ./\  W ) )
729, 64, 68, 70, 71syl121anc 1224 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  ./\  W )
)
735, 18latjass 15379 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
743, 64, 17, 25, 73syl13anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
755, 11, 18latlej2 15345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( G `  P )
) )
763, 8, 17, 75syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )
775, 11, 18, 36, 12lhpmod2i2 34001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G `  P )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( G `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  .\/  ( G `  P ) )  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  ( W  .\/  ( G `  P ) ) ) )
789, 22, 17, 76, 77syl121anc 1224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  ( W  .\/  ( G `  P
) ) ) )
79 eqid 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
8011, 18, 79, 6, 12lhpjat1 33983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  -> 
( W  .\/  ( G `  P )
)  =  ( 1.
`  K ) )
819, 51, 80syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( W  .\/  ( G `  P
) )  =  ( 1. `  K ) )
8281oveq2d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  ( W  .\/  ( G `
 P ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  ( 1. `  K ) ) )
83 hlol 33325 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
841, 83syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
855, 36, 79olm11 33191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  ( G `  P )
) )
8684, 22, 85syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )
8778, 82, 863eqtrd 2497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  =  ( P  .\/  ( G `
 P ) ) )
8887oveq1d 6210 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) ) )
8974, 88eqtr3d 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )
9089oveq1d 6210 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  ./\  W )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
) )
9172, 90eqtrd 2493 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W ) )
9256, 66, 913eqtrd 2497 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
9339, 49, 923brtr4d 4425 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  .<_  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4395    o. ccom 4947   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   lecple 14359   joincjn 15228   meetcmee 15229   1.cp1 15322   Latclat 15329   OLcol 33138   Atomscatm 33227   HLchlt 33314   LHypclh 33947   LTrncltrn 34064   trLctrl 34121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-riotaBAD 32923
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-undef 6897  df-map 7321  df-poset 15230  df-plt 15242  df-lub 15258  df-glb 15259  df-join 15260  df-meet 15261  df-p0 15323  df-p1 15324  df-lat 15330  df-clat 15392  df-oposet 33140  df-ol 33142  df-oml 33143  df-covers 33230  df-ats 33231  df-atl 33262  df-cvlat 33286  df-hlat 33315  df-llines 33461  df-lplanes 33462  df-lvols 33463  df-lines 33464  df-psubsp 33466  df-pmap 33467  df-padd 33759  df-lhyp 33951  df-laut 33952  df-ldil 34067  df-ltrn 34068  df-trl 34122
This theorem is referenced by:  trlco  34690
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