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Theorem trlcolem 35522
Description: Lemma for trlco 35523. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlco.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
trlco.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
trlco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlco.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlco.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
trlcolem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
trlcolem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
trlcolem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  .<_  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) )

Proof of Theorem trlcolem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1020 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 34160 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp3l 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
5 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 trlcolem.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 34086 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
9 simp1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 simp2r 1023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
11 trlco.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 trlco.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 trlco.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
1411, 6, 12, 13ltrnat 34936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
159, 10, 4, 14syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  e.  A
)
165, 6atbase 34086 . . . . . 6  |-  ( ( G `  P )  e.  A  ->  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  e.  (
Base `  K )
)
18 trlco.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
195, 11, 18latlej1 15540 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( G `  P )
) )
203, 8, 17, 19syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( G `
 P ) ) )
215, 18, 6hlatjcl 34163 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
221, 4, 15, 21syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)
23 simp2l 1022 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
245, 12, 13ltrncl 34921 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( G `  P
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
259, 23, 17, 24syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)
265, 11, 18latjlej1 15545 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  ( P  .<_  ( P  .\/  ( G `  P ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
273, 8, 22, 25, 26syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .<_  ( P  .\/  ( G `  P )
)  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
2820, 27mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )
295, 18latjcl 15531 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  e.  (
Base `  K )
)
303, 8, 25, 29syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
315, 18latjcl 15531 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
323, 22, 25, 31syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
33 simp1r 1021 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
345, 12lhpbase 34794 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
36 trlcolem.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
375, 11, 36latmlem1 15561 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
.<_  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
)  .<_  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
) ) )
383, 30, 32, 35, 37syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ->  (
( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W )  .<_  ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
) )
3928, 38mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
)  .<_  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
) )
4012, 13ltrnco 35515 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
419, 23, 10, 40syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
42 trlco.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
4311, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 34959 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( P  .\/  (
( F  o.  G
) `  P )
)  ./\  W )
)
4441, 43syld3an2 1275 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( P  .\/  (
( F  o.  G
) `  P )
)  ./\  W )
)
4511, 6, 12, 13ltrncoval 34941 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( F  o.  G
) `  P )  =  ( F `  ( G `  P ) ) )
46453adant3r 1225 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F  o.  G ) `  P )  =  ( F `  ( G `
 P ) ) )
4746oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( ( F  o.  G ) `  P
) )  =  ( P  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) )
4847oveq1d 6297 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( ( F  o.  G ) `  P ) )  ./\  W )  =  ( ( P  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
4944, 48eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
5011, 6, 12, 13ltrnel 34935 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
5110, 50syld3an2 1275 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
5211, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 34959 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
539, 23, 51, 52syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
5411, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 34959 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)
5510, 54syld3an2 1275 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)
5653, 55oveq12d 6300 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  =  ( ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
) )
5711, 6, 12, 13ltrnat 34936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( G `  P
)  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )
589, 23, 15, 57syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  e.  A
)
595, 18, 6hlatjcl 34163 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  P )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )  ->  (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  e.  ( Base `  K
) )
601, 15, 58, 59syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
615, 36latmcl 15532 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
623, 60, 35, 61syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
635, 36latmcl 15532 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
643, 22, 35, 63syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
655, 18latjcom 15539 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
)  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
) )
663, 62, 64, 65syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W )  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
) )
675, 18latjcl 15531 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
683, 17, 25, 67syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
695, 11, 36latmle2 15557 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  W )
703, 22, 35, 69syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  W )
715, 11, 18, 36, 12lhpmod6i1 34835 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  W )  ->  ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W ) )  =  ( ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  ./\  W ) )
729, 64, 68, 70, 71syl121anc 1233 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  ./\  W )
)
735, 18latjass 15575 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
743, 64, 17, 25, 73syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
755, 11, 18latlej2 15541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( G `  P )
) )
763, 8, 17, 75syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )
775, 11, 18, 36, 12lhpmod2i2 34834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G `  P )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( G `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  .\/  ( G `  P ) )  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  ( W  .\/  ( G `  P ) ) ) )
789, 22, 17, 76, 77syl121anc 1233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  ( W  .\/  ( G `  P
) ) ) )
79 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
8011, 18, 79, 6, 12lhpjat1 34816 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  -> 
( W  .\/  ( G `  P )
)  =  ( 1.
`  K ) )
819, 51, 80syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( W  .\/  ( G `  P
) )  =  ( 1. `  K ) )
8281oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  ( W  .\/  ( G `
 P ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  ( 1. `  K ) ) )
83 hlol 34158 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
841, 83syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
855, 36, 79olm11 34024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  ( G `  P )
) )
8684, 22, 85syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )
8778, 82, 863eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  =  ( P  .\/  ( G `
 P ) ) )
8887oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) ) )
8974, 88eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )
9089oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  ./\  W )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
) )
9172, 90eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W ) )
9256, 66, 913eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
9339, 49, 923brtr4d 4477 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  .<_  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447    o. ccom 5003   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14483   lecple 14555   joincjn 15424   meetcmee 15425   1.cp1 15518   Latclat 15525   OLcol 33971   Atomscatm 34060   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897   trLctrl 34954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-undef 6999  df-map 7419  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-p1 15520  df-lat 15526  df-clat 15588  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955
This theorem is referenced by:  trlco  35523
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