Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcocnv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem trlcocnv 34358
Description: Swap the arguments of the trace of a composition with converse. (Contributed by NM, 1-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcocnv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlcocnv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlcocnv.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlcocnv  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )

Proof of Theorem trlcocnv
StepHypRef Expression
1 cnvco 5025 . . . 4  |-  `' ( F  o.  `' G
)  =  ( `' `' G  o.  `' F )
2 cocnvcnv1 5353 . . . 4  |-  ( `' `' G  o.  `' F )  =  ( G  o.  `' F
)
31, 2eqtri 2493 . . 3  |-  `' ( F  o.  `' G
)  =  ( G  o.  `' F )
43fveq2i 5882 . 2  |-  ( R `
 `' ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `
 ( G  o.  `' F ) )
5 simp1 1030 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 trlcocnv.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 trlcocnv.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
86, 7ltrncnv 33782 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  `' G  e.  T )
983adant2 1049 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  `' G  e.  T )
106, 7ltrnco 34357 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  `' G  e.  T
)  ->  ( F  o.  `' G )  e.  T
)
119, 10syld3an3 1337 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  `' G )  e.  T
)
12 trlcocnv.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
136, 7, 12trlcnv 33802 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  `' G )  e.  T
)  ->  ( R `  `' ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( F  o.  `' G
) ) )
145, 11, 13syl2anc 673 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  `' ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( F  o.  `' G
) ) )
154, 14syl5reqr 2520 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   `'ccnv 4838    o. ccom 4843   ` cfv 5589   HLchlt 32987   LHypclh 33620   LTrncltrn 33737   trLctrl 33795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-riotaBAD 32589
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-undef 7038  df-map 7492  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796
This theorem is referenced by:  cdlemk9bN  34478  cdlemk14  34492  cdlemk21N  34511  cdlemk20  34512  cdlemk22  34531  cdlemkfid1N  34559
  Copyright terms: Public domain W3C validator