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Theorem trlcoat 34379
Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
trlcoat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlcoat.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlcoat.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlcoat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  A )

Proof of Theorem trlcoat
StepHypRef Expression
1 trlcoat.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 trlcoat.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
31, 2ltrnco 34375 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
433expb 1188 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( F  o.  G
)  e.  T )
5 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
7 trlcoat.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
85, 6, 1, 2, 7trlid0b 33834 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  ( F  o.  G )
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
94, 8syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( 0. `  K ) ) )
10 coass 5368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )
11 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  F  e.  T
)
135, 1, 2ltrn1o 33780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
1411, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  F : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
15 f1ococnv1 5681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1716coeq1d 5013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( `' F  o.  F )  o.  G )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  G ) )
18 coeq2 5010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  ->  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  =  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  =  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
2010, 17, 193eqtr3a 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
21 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  G  e.  T
)
225, 1, 2ltrn1o 33780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
2311, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  G : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
24 f1of 5653 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
25 fcoi2 5598 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
2623, 24, 253syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
271, 2ltrncnv 33802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
2811, 12, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  `' F  e.  T )
295, 1, 2ltrn1o 33780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  `' F  e.  T )  ->  `' F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
3011, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  `' F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
31 f1of 5653 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  ->  `' F : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
) )
32 fcoi1 5597 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  ->  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  =  `' F )
3330, 31, 323syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  `' F
)
3420, 26, 333eqtr3d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  G  =  `' F )
3534fveq2d 5707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( R `  `' F
) )
361, 2, 7trlcnv 33821 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3711, 12, 36syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3835, 37eqtr2d 2476 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
3938ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( R `
 G ) ) )
409, 39sylbird 235 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( 0. `  K )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) ) )
4140necon3d 2658 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  ->  ( R `  ( F  o.  G )
)  =/=  ( 0.
`  K ) ) )
42 trlcoat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
436, 42, 1, 2, 7trlatn0 33828 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  A  <->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =/=  ( 0. `  K ) ) )
444, 43syldan 470 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  A  <->  ( R `  ( F  o.  G ) )  =/=  ( 0. `  K ) ) )
4541, 44sylibrd 234 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  ->  ( R `  ( F  o.  G )
)  e.  A ) )
46453impia 1184 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618    _I cid 4643   `'ccnv 4851    |` cres 4854    o. ccom 4856   -->wf 5426   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430   Basecbs 14186   0.cp0 15219   Atomscatm 32920   HLchlt 33007   LHypclh 33640   LTrncltrn 33757   trLctrl 33814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-riotaBAD 32616
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-undef 6804  df-map 7228  df-poset 15128  df-plt 15140  df-lub 15156  df-glb 15157  df-join 15158  df-meet 15159  df-p0 15221  df-p1 15222  df-lat 15228  df-clat 15290  df-oposet 32833  df-ol 32835  df-oml 32836  df-covers 32923  df-ats 32924  df-atl 32955  df-cvlat 32979  df-hlat 33008  df-llines 33154  df-lplanes 33155  df-lvols 33156  df-lines 33157  df-psubsp 33159  df-pmap 33160  df-padd 33452  df-lhyp 33644  df-laut 33645  df-ldil 33760  df-ltrn 33761  df-trl 33815
This theorem is referenced by:  trlcocnvat  34380  trlconid  34381  trljco  34396  cdlemh2  34472  cdlemh  34473
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