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Theorem trlcoat 34202
Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
trlcoat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlcoat.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlcoat.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlcoat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  A )

Proof of Theorem trlcoat
StepHypRef Expression
1 trlcoat.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 trlcoat.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
31, 2ltrnco 34198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
433expb 1206 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( F  o.  G
)  e.  T )
5 eqid 2428 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 eqid 2428 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
7 trlcoat.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
85, 6, 1, 2, 7trlid0b 33656 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  ( F  o.  G )
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
94, 8syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( 0. `  K ) ) )
10 coass 5316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )
11 simpll 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  F  e.  T
)
135, 1, 2ltrn1o 33601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
1411, 12, 13syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  F : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
15 f1ococnv1 5802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1716coeq1d 4958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( `' F  o.  F )  o.  G )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  G ) )
18 coeq2 4955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  ->  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  =  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
1918adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  =  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
2010, 17, 193eqtr3a 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
21 simplrr 769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  G  e.  T
)
225, 1, 2ltrn1o 33601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
2311, 21, 22syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  G : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
24 f1of 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
25 fcoi2 5718 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
271, 2ltrncnv 33623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
2811, 12, 27syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  `' F  e.  T )
295, 1, 2ltrn1o 33601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  `' F  e.  T )  ->  `' F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
3011, 28, 29syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  `' F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
31 f1of 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  ->  `' F : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
) )
32 fcoi1 5717 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  ->  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  =  `' F )
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  `' F
)
3420, 26, 333eqtr3d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  G  =  `' F )
3534fveq2d 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( R `  `' F
) )
361, 2, 7trlcnv 33643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3711, 12, 36syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3835, 37eqtr2d 2463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
3938ex 435 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( R `
 G ) ) )
409, 39sylbird 238 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( 0. `  K )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) ) )
4140necon3d 2622 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  ->  ( R `  ( F  o.  G )
)  =/=  ( 0.
`  K ) ) )
42 trlcoat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
436, 42, 1, 2, 7trlatn0 33650 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  A  <->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =/=  ( 0. `  K ) ) )
444, 43syldan 472 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  A  <->  ( R `  ( F  o.  G ) )  =/=  ( 0. `  K ) ) )
4541, 44sylibrd 237 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  ->  ( R `  ( F  o.  G )
)  e.  A ) )
46453impia 1202 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599    _I cid 4706   `'ccnv 4795    |` cres 4798    o. ccom 4800   -->wf 5540   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544   Basecbs 15064   0.cp0 16226   Atomscatm 32741   HLchlt 32828   LHypclh 33461   LTrncltrn 33578   trLctrl 33636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-riotaBAD 32437
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-undef 6975  df-map 7429  df-preset 16116  df-poset 16134  df-plt 16147  df-lub 16163  df-glb 16164  df-join 16165  df-meet 16166  df-p0 16228  df-p1 16229  df-lat 16235  df-clat 16297  df-oposet 32654  df-ol 32656  df-oml 32657  df-covers 32744  df-ats 32745  df-atl 32776  df-cvlat 32800  df-hlat 32829  df-llines 32975  df-lplanes 32976  df-lvols 32977  df-lines 32978  df-psubsp 32980  df-pmap 32981  df-padd 33273  df-lhyp 33465  df-laut 33466  df-ldil 33581  df-ltrn 33582  df-trl 33637
This theorem is referenced by:  trlcocnvat  34203  trlconid  34204  trljco  34219  cdlemh2  34295  cdlemh  34296
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