Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcoat Structured version   Unicode version

Theorem trlcoat 35925
Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
trlcoat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlcoat.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlcoat.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlcoat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  A )

Proof of Theorem trlcoat
StepHypRef Expression
1 trlcoat.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 trlcoat.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
31, 2ltrnco 35921 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
433expb 1197 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( F  o.  G
)  e.  T )
5 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
7 trlcoat.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
85, 6, 1, 2, 7trlid0b 35380 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  ( F  o.  G )
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
94, 8syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( 0. `  K ) ) )
10 coass 5532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )
11 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  F  e.  T
)
135, 1, 2ltrn1o 35326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
1411, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  F : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
15 f1ococnv1 5850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1716coeq1d 5170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( `' F  o.  F )  o.  G )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  G ) )
18 coeq2 5167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  ->  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  =  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  =  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
2010, 17, 193eqtr3a 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
21 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  G  e.  T
)
225, 1, 2ltrn1o 35326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
2311, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  G : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
24 f1of 5822 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
25 fcoi2 5766 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
2623, 24, 253syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
271, 2ltrncnv 35348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
2811, 12, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  `' F  e.  T )
295, 1, 2ltrn1o 35326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  `' F  e.  T )  ->  `' F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
3011, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  `' F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
31 f1of 5822 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  ->  `' F : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
) )
32 fcoi1 5765 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  ->  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  =  `' F )
3330, 31, 323syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  `' F
)
3420, 26, 333eqtr3d 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  G  =  `' F )
3534fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( R `  `' F
) )
361, 2, 7trlcnv 35367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3711, 12, 36syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3835, 37eqtr2d 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
3938ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( R `
 G ) ) )
409, 39sylbird 235 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( 0. `  K )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) ) )
4140necon3d 2691 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  ->  ( R `  ( F  o.  G )
)  =/=  ( 0.
`  K ) ) )
42 trlcoat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
436, 42, 1, 2, 7trlatn0 35374 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  A  <->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =/=  ( 0. `  K ) ) )
444, 43syldan 470 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  A  <->  ( R `  ( F  o.  G ) )  =/=  ( 0. `  K ) ) )
4541, 44sylibrd 234 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  ->  ( R `  ( F  o.  G )
)  e.  A ) )
46453impia 1193 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    _I cid 4796   `'ccnv 5004    |` cres 5007    o. ccom 5009   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   Basecbs 14506   0.cp0 15540   Atomscatm 34466   HLchlt 34553   LHypclh 35186   LTrncltrn 35303   trLctrl 35360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-riotaBAD 34162
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-undef 7014  df-map 7434  df-poset 15449  df-plt 15461  df-lub 15477  df-glb 15478  df-join 15479  df-meet 15480  df-p0 15542  df-p1 15543  df-lat 15549  df-clat 15611  df-oposet 34379  df-ol 34381  df-oml 34382  df-covers 34469  df-ats 34470  df-atl 34501  df-cvlat 34525  df-hlat 34554  df-llines 34700  df-lplanes 34701  df-lvols 34702  df-lines 34703  df-psubsp 34705  df-pmap 34706  df-padd 34998  df-lhyp 35190  df-laut 35191  df-ldil 35306  df-ltrn 35307  df-trl 35361
This theorem is referenced by:  trlcocnvat  35926  trlconid  35927  trljco  35942  cdlemh2  36018  cdlemh  36019
  Copyright terms: Public domain W3C validator