MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trkgstr Structured version   Unicode version

Theorem trkgstr 23040
Description: Functionality of a Tarski geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Aug-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
trkgstr.w  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  U >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. , 
<. (Itv `  ndx ) ,  I >. }
Assertion
Ref Expression
trkgstr  |-  W Struct  <. 1 , ; 1 6 >.

Proof of Theorem trkgstr
StepHypRef Expression
1 trkgstr.w . 2  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  U >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. , 
<. (Itv `  ndx ) ,  I >. }
2 1nn 10447 . . 3  |-  1  e.  NN
3 basendx 14345 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =  1
4 2nn0 10710 . . . 4  |-  2  e.  NN0
5 1nn0 10709 . . . 4  |-  1  e.  NN0
6 1lt10 10646 . . . 4  |-  1  <  10
72, 4, 5, 6declti 10894 . . 3  |-  1  < ; 1
2
8 2nn 10593 . . . 4  |-  2  e.  NN
95, 8decnncl 10882 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN
10 dsndx 14463 . . 3  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
11 6nn 10597 . . . 4  |-  6  e.  NN
12 2lt6 10615 . . . 4  |-  2  <  6
135, 4, 11, 12declt 10890 . . 3  |- ; 1 2  < ; 1 6
145, 11decnncl 10882 . . 3  |- ; 1 6  e.  NN
15 itvndx 23036 . . 3  |-  (Itv `  ndx )  = ; 1 6
162, 3, 7, 9, 10, 13, 14, 15strle3 14393 . 2  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  U >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  D >. ,  <. (Itv ` 
ndx ) ,  I >. } Struct  <. 1 , ; 1 6 >.
171, 16eqbrtri 4422 1  |-  W Struct  <. 1 , ; 1 6 >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370   {ctp 3992   <.cop 3994   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   1c1 9397   2c2 10485   6c6 10489  ;cdc 10869   Struct cstr 14291   ndxcnx 14292   Basecbs 14295   distcds 14369  Itvcitv 23032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-ds 14382  df-itv 23034
This theorem is referenced by:  trkgbas  23041  trkgdist  23042  trkgitv  23043
  Copyright terms: Public domain W3C validator