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Theorem trirn 22247
Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
csbrn.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
csbrn.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
trirn  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem trirn
StepHypRef Expression
1 csbrn.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 csbrn.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32resqcld 12439 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
4 2re 10679 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
5 csbrn.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
62, 5remulcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
7 remulcl 9623 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( B  x.  C
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  e.  RR )
84, 6, 7sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  RR )
93, 8readdcld 9669 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  RR )
101, 9fsumrecl 13778 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  RR )
111, 3fsumrecl 13778 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  e.  RR )
125resqcld 12439 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
131, 12fsumrecl 13778 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 )  e.  RR )
1411, 13remulcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
152sqge0d 12440 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( B ^ 2 ) )
161, 3, 15fsumge0 13833 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( B ^
2 ) )
175sqge0d 12440 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( C ^ 2 ) )
181, 12, 17fsumge0 13833 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( C ^
2 ) )
1911, 13, 16, 18mulge0d 10189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
2014, 19resqrtcld 13458 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
21 remulcl 9623 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
224, 20, 21sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
2311, 22readdcld 9669 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR )
243recnd 9668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
258recnd 9668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
261, 24, 25fsumadd 13783 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  + 
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) )
271, 8fsumrecl 13778 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
28 2cnd 10682 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
296recnd 9668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
301, 28, 29fsummulc2 13823 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  =  sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )
311, 6fsumrecl 13778 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  RR )
3231recnd 9668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  CC )
3332abscld 13476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
3431leabsd 13455 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) )
351, 2, 5csbren 22246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
36 absresq 13344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  e.  RR  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )
3731, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )
38 resqrtth 13298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  ->  (
( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
3914, 19, 38syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
4035, 37, 393brtr4d 4456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
4132absge0d 13484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) )
4214, 19sqrtge0d 13461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
4333, 20, 41, 42le2sqd 12448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
4440, 43mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
4531, 33, 20, 34, 44letrd 9791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
464a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
47 2pos 10701 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
4847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
49 lemul2 10457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  <_  (
2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5031, 20, 46, 48, 49syl112anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  <_  (
2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5145, 50mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  <_  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
5230, 51eqbrtrrd 4448 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  <_  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
5327, 22, 11, 52leadd2dd 10227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5426, 53eqbrtrd 4446 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5510, 23, 13, 54leadd1dd 10226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  <_  ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
562, 5readdcld 9669 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
5756resqcld 12439 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  +  C
) ^ 2 )  e.  RR )
581, 57fsumrecl 13778 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  e.  RR )
5956sqge0d 12440 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )
601, 57, 59fsumge0 13833 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^
2 ) )
61 resqrtth 13298 . . . . 5  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )
6258, 60, 61syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )
632recnd 9668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
645recnd 9668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
65 binom2 12386 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
6663, 64, 65syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  +  C
) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
6766sumeq2dv 13747 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
689recnd 9668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
6912recnd 9668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
701, 68, 69fsumadd 13783 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( sum_ k  e.  A  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7167, 70eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7262, 71eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7311, 16resqrtcld 13458 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
7473recnd 9668 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
7513, 18resqrtcld 13458 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
7675recnd 9668 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )
77 binom2 12386 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
7874, 76, 77syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
79 resqrtth 13298 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )
8011, 16, 79syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )
8111, 16, 13, 18sqrtmuld 13465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
8281eqcomd 2437 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
8382oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
8480, 83oveq12d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
85 resqrtth 13298 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )
8613, 18, 85syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )
8784, 86oveq12d 6323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
8878, 87eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
8955, 72, 883brtr4d 4456 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <_  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
9058, 60resqrtcld 13458 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  e.  RR )
9173, 75readdcld 9669 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
9258, 60sqrtge0d 13461 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) ) )
9311, 16sqrtge0d 13461 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) )
9413, 18sqrtge0d 13461 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
9573, 75, 93, 94addge0d 10188 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
9690, 91, 92, 95le2sqd 12448 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <_  ( (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
9789, 96mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675   2c2 10659   ^cexp 12269   sqrcsqrt 13275   abscabs 13276   sum_csu 13730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731
This theorem is referenced by:  rrxmet  22255  rrnmet  31868
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