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Theorem trirn 21555
Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
csbrn.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
csbrn.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
trirn  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem trirn
StepHypRef Expression
1 csbrn.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 csbrn.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32resqcld 12291 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
4 2re 10594 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
5 csbrn.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
62, 5remulcld 9613 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
7 remulcl 9566 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( B  x.  C
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  e.  RR )
84, 6, 7sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  RR )
93, 8readdcld 9612 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  RR )
101, 9fsumrecl 13505 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  RR )
111, 3fsumrecl 13505 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  e.  RR )
125resqcld 12291 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
131, 12fsumrecl 13505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 )  e.  RR )
1411, 13remulcld 9613 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
152sqge0d 12292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( B ^ 2 ) )
161, 3, 15fsumge0 13558 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( B ^
2 ) )
175sqge0d 12292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( C ^ 2 ) )
181, 12, 17fsumge0 13558 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( C ^
2 ) )
1911, 13, 16, 18mulge0d 10118 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
2014, 19resqrcld 13198 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
21 remulcl 9566 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
224, 20, 21sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
2311, 22readdcld 9612 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR )
243recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
258recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
261, 24, 25fsumadd 13510 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  + 
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) )
271, 8fsumrecl 13505 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
28 2cnd 10597 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
296recnd 9611 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
301, 28, 29fsummulc2 13548 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  =  sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )
311, 6fsumrecl 13505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  RR )
3231recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  CC )
3332abscld 13216 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
3431leabsd 13195 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) )
351, 2, 5csbren 21554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
36 absresq 13085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  e.  RR  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )
3731, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )
38 resqrth 13039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  ->  (
( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
3914, 19, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
4035, 37, 393brtr4d 4470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
4132absge0d 13224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) )
4214, 19sqrge0d 13201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
4333, 20, 41, 42le2sqd 12300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
4440, 43mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
4531, 33, 20, 34, 44letrd 9727 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
464a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
47 2pos 10616 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
4847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
49 lemul2 10384 . . . . . . . . 9  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  <_  (
2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5031, 20, 46, 48, 49syl112anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  <_  (
2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5145, 50mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  <_  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
5230, 51eqbrtrrd 4462 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  <_  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
5327, 22, 11, 52leadd2dd 10156 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5426, 53eqbrtrd 4460 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5510, 23, 13, 54leadd1dd 10155 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  <_  ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
562, 5readdcld 9612 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
5756resqcld 12291 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  +  C
) ^ 2 )  e.  RR )
581, 57fsumrecl 13505 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  e.  RR )
5956sqge0d 12292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )
601, 57, 59fsumge0 13558 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^
2 ) )
61 resqrth 13039 . . . . 5  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )
6258, 60, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )
632recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
645recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
65 binom2 12238 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
6663, 64, 65syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  +  C
) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
6766sumeq2dv 13474 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
689recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
6912recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
701, 68, 69fsumadd 13510 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( sum_ k  e.  A  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7167, 70eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7262, 71eqtrd 2501 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7311, 16resqrcld 13198 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
7473recnd 9611 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
7513, 18resqrcld 13198 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
7675recnd 9611 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )
77 binom2 12238 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
7874, 76, 77syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
79 resqrth 13039 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )
8011, 16, 79syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )
8111, 16, 13, 18sqrmuld 13205 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
8281eqcomd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
8382oveq2d 6291 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
8480, 83oveq12d 6293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
85 resqrth 13039 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )
8613, 18, 85syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )
8784, 86oveq12d 6293 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
8878, 87eqtrd 2501 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
8955, 72, 883brtr4d 4470 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <_  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
9058, 60resqrcld 13198 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  e.  RR )
9173, 75readdcld 9612 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
9258, 60sqrge0d 13201 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) ) )
9311, 16sqrge0d 13201 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) )
9413, 18sqrge0d 13201 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
9573, 75, 93, 94addge0d 10117 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
9690, 91, 92, 95le2sqd 12300 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <_  ( (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
9789, 96mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618   2c2 10574   ^cexp 12122   sqrcsqr 13016   abscabs 13017   sum_csu 13457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-ico 11524  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458
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