Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trirecip Structured version   Unicode version

Theorem trirecip 13731
 Description: The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. This is Metamath 100 proof #42. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
trirecip

Proof of Theorem trirecip
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cnd 10567 . . . 4
2 peano2nn 10506 . . . . . 6
3 nnmulcl 10517 . . . . . 6
42, 3mpdan 666 . . . . 5
54nncnd 10510 . . . 4
64nnne0d 10539 . . . 4
71, 5, 6divrecd 10282 . . 3
87sumeq2i 13575 . 2
9 nnuz 11078 . . . . 5
10 1zzd 10854 . . . . 5
11 id 22 . . . . . . . . 9
12 oveq1 6239 . . . . . . . . 9
1311, 12oveq12d 6250 . . . . . . . 8
1413oveq2d 6248 . . . . . . 7
15 eqid 2400 . . . . . . 7
16 ovex 6260 . . . . . . 7
1714, 15, 16fvmpt 5886 . . . . . 6
1817adantl 464 . . . . 5
194nnrecred 10540 . . . . . . 7
2019recnd 9570 . . . . . 6
2120adantl 464 . . . . 5
2215trireciplem 13730 . . . . . . 7
2322a1i 11 . . . . . 6
24 climrel 13369 . . . . . . 7
2524releldmi 5179 . . . . . 6
2623, 25syl 17 . . . . 5
27 2cnd 10567 . . . . 5
289, 10, 18, 21, 26, 27isummulc2 13633 . . . 4
299, 10, 18, 21, 23isumclim 13628 . . . . 5
3029oveq2d 6248 . . . 4
3128, 30eqtr3d 2443 . . 3
3231trud 1412 . 2
33 2t1e2 10643 . 2
348, 32, 333eqtri 2433 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wceq 1403   wtru 1404   wcel 1840   class class class wbr 4392   cmpt 4450   cdm 4940  cfv 5523  (class class class)co 6232  cc 9438  c1 9441   caddc 9443   cmul 9445   cdiv 10165  cn 10494  c2 10544   cseq 12059   cli 13361  csu 13562 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-shft 12954  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator