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Theorem trintALTVD 33781
Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Virtual deduction proof of trintALT 33782. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. trintALT 33782 is trintALTVD 33781 without virtual deductions and was automatically derived from trintALTVD 33781.
1::  |-  (. A. x  e.  A Tr  x  ->.  A. x  e.  A Tr  x ).
2::  |-  (. A. x  e.  A Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->.  ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A ) ).
3:2:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->.  z  e.  y ).
4:2:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->.  y  e.  |^| A ).
5:4:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->.  A. q  e.  A y  e.  q ).
6:5:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->.  ( q  e.  A  ->  y  e.  q ) ).
7::  |-  (. A. x  e.  A Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A ) ,  q  e.  A  ->.  q  e.  A ).
8:7,6:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A ) ,  q  e.  A  ->.  y  e.  q ).
9:7,1:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A ) ,  q  e.  A  ->.  [ q  /  x ] Tr  x ).
10:7,9:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A ) ,  q  e.  A  ->.  Tr  q ).
11:10,3,8:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A ) ,  q  e.  A  ->.  z  e.  q ).
12:11:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->.  ( q  e.  A  ->  z  e.  q ) ).
13:12:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->.  A. q ( q  e.  A  ->  z  e.  q ) ).
14:13:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->.  A. q  e.  A z  e.  q ).
15:3,14:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->.  z  e.  |^| A ).
16:15:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x  ->.  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->  z  e.  |^| A ) ).
17:16:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x  ->.  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->  z  e.  |^| A ) ).
18:17:  |-  (. A. x  e.  A Tr  x  ->.  Tr  |^| A ).
qed:18:  |-  ( A. x  e.  A Tr  x  ->  Tr  |^| A )
(Contributed by Alan Sare, 17-Apr-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
trintALTVD  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem trintALTVD
Dummy variables  q 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn2 33500 . . . . . . 7  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A )  ->.  ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A ) ).
2 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->  z  e.  y )
31, 2e2 33518 . . . . . 6  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A )  ->.  z  e.  y ).
4 idn3 33502 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A ) ,. q  e.  A  ->.  q  e.  A ).
5 idn1 33452 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x 
->.  A. x  e.  A  Tr  x ).
6 rspsbc 3413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  [. q  /  x ]. Tr  x
) )
74, 5, 6e31 33649 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A ) ,. q  e.  A  ->.  [. q  /  x ]. Tr  x ).
8 trsbc 33412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  A  ->  ( [. q  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  q
) )
98biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  A  ->  ( [. q  /  x ]. Tr  x  ->  Tr  q ) )
104, 7, 9e33 33632 . . . . . . . . . 10  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A ) ,. q  e.  A  ->.  Tr  q ).
11 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->  y  e.  |^| A )
121, 11e2 33518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A )  ->.  y  e.  |^| A ).
13 elintg 4296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  |^| A  ->  (
y  e.  |^| A  <->  A. q  e.  A  y  e.  q ) )
1413ibi 241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  |^| A  ->  A. q  e.  A  y  e.  q )
1512, 14e2 33518 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A )  ->.  A. q  e.  A  y  e.  q ).
16 rsp 2823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. q  e.  A  y  e.  q  ->  ( q  e.  A  ->  y  e.  q ) )
1715, 16e2 33518 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A )  ->.  ( q  e.  A  ->  y  e.  q ) ).
18 pm2.27 39 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  A  ->  (
( q  e.  A  ->  y  e.  q )  ->  y  e.  q ) )
194, 17, 18e32 33656 . . . . . . . . . 10  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A ) ,. q  e.  A  ->.  y  e.  q ).
20 trel 4557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  q  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  q )  ->  z  e.  q ) )
2120expd 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  q  ->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  q  ->  z  e.  q ) ) )
2210, 3, 19, 21e323 33664 . . . . . . . . 9  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A ) ,. q  e.  A  ->.  z  e.  q ).
2322in3 33496 . . . . . . . 8  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A )  ->.  ( q  e.  A  ->  z  e.  q ) ).
2423gen21 33506 . . . . . . 7  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A )  ->.  A. q
( q  e.  A  ->  z  e.  q ) ).
25 df-ral 2812 . . . . . . . 8  |-  ( A. q  e.  A  z  e.  q  <->  A. q ( q  e.  A  ->  z  e.  q ) )
2625biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( A. q ( q  e.  A  ->  z  e.  q )  ->  A. q  e.  A  z  e.  q )
2724, 26e2 33518 . . . . . 6  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A )  ->.  A. q  e.  A  z  e.  q ).
28 elintg 4296 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  y  ->  (
z  e.  |^| A  <->  A. q  e.  A  z  e.  q ) )
2928biimprd 223 . . . . . 6  |-  ( z  e.  y  ->  ( A. q  e.  A  z  e.  q  ->  z  e.  |^| A ) )
303, 27, 29e22 33558 . . . . 5  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A )  ->.  z  e.  |^| A ).
3130in2 33492 . . . 4  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x 
->.  ( ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A )  -> 
z  e.  |^| A
) ).
3231gen12 33505 . . 3  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x 
->.  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e. 
|^| A )  -> 
z  e.  |^| A
) ).
33 dftr2 4552 . . . 4  |-  ( Tr 
|^| A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  -> 
z  e.  |^| A
) )
3433biimpri 206 . . 3  |-  ( A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  |^| A )  ->  z  e.  |^| A )  ->  Tr  |^| A )
3532, 34e1a 33514 . 2  |-  (. A. x  e.  A  Tr  x 
->.  Tr  |^| A ).
3635in1 33449 1  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1393    e. wcel 1819   A.wral 2807   [.wsbc 3327   |^|cint 4288   Tr wtr 4550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-v 3111  df-sbc 3328  df-in 3478  df-ss 3485  df-uni 4252  df-int 4289  df-tr 4551  df-vd1 33448  df-vd2 33456  df-vd3 33468
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