Theorem trintALTVD 33781

Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Virtual deduction proof of trintALT 33782. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. trintALT 33782 is trintALTVD 33781 without virtual deductions and was automatically derived from trintALTVD 33781.

1::	|- (. A. x e. A Tr x ->. A. x e. A Tr x ).
2::	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ).
3:2:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. z e. y ).
4:2:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. y e. |^| A ).
5:4:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. A. q e. A y e. q ).
6:5:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. ( q e. A -> y e. q ) ).
7::	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) , q e. A ->. q e. A ).
8:7,6:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) , q e. A ->. y e. q ).
9:7,1:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) , q e. A ->. [ q / x ] Tr x ).
10:7,9:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) , q e. A ->. Tr q ).
11:10,3,8:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) , q e. A ->. z e. q ).
12:11:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. ( q e. A -> z e. q ) ).
13:12:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. A. q ( q e. A -> z e. q ) ).
14:13:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. A. q e. A z e. q ).
15:3,14:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. z e. |^| A ).
16:15:	|- (. A. x e. A Tr x ->. ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> z e. |^| A ) ).
17:16:	|- (. A. x e. A Tr x ->. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> z e. |^| A ) ).
18:17:	|- (. A. x e. A Tr x ->. Tr |^| A ).
qed:18:	|- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

(Contributed by Alan Sare, 17-Apr-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
trintALTVD	|- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem trintALTVD

Dummy variables q y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn2 33500	. . . . . . 7 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ).
2		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> z e. y )
3	1, 2	e2 33518	. . . . . 6 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. z e. y ).
4		idn3 33502	. . . . . . . . . . 11 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ,. q e. A ->. q e. A ).
5		idn1 33452	. . . . . . . . . . . 12 |- (. A. x e. A Tr x ->. A. x e. A Tr x ).
6		rspsbc 3413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. A -> ( A. x e. A Tr x -> [. q / x ]. Tr x ) )
7	4, 5, 6	e31 33649	. . . . . . . . . . 11 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ,. q e. A ->. [. q / x ]. Tr x ).
8		trsbc 33412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. A -> ( [. q / x ]. Tr x <-> Tr q ) )
9	8	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. A -> ( [. q / x ]. Tr x -> Tr q ) )
10	4, 7, 9	e33 33632	. . . . . . . . . 10 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ,. q e. A ->. Tr q ).
11		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> y e. |^| A )
12	1, 11	e2 33518	. . . . . . . . . . . . 13 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. y e. |^| A ).
13		elintg 4296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. |^| A -> ( y e. |^| A <-> A. q e. A y e. q ) )
14	13	ibi 241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. |^| A -> A. q e. A y e. q )
15	12, 14	e2 33518	. . . . . . . . . . . 12 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. A. q e. A y e. q ).
16		rsp 2823	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. q e. A y e. q -> ( q e. A -> y e. q ) )
17	15, 16	e2 33518	. . . . . . . . . . 11 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. ( q e. A -> y e. q ) ).
18		pm2.27 39	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. A -> ( ( q e. A -> y e. q ) -> y e. q ) )
19	4, 17, 18	e32 33656	. . . . . . . . . 10 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ,. q e. A ->. y e. q ).
20		trel 4557	. . . . . . . . . . 11 |- ( Tr q -> ( ( z e. y /\ y e. q ) -> z e. q ) )
21	20	expd 436	. . . . . . . . . 10 |- ( Tr q -> ( z e. y -> ( y e. q -> z e. q ) ) )
22	10, 3, 19, 21	e323 33664	. . . . . . . . 9 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ,. q e. A ->. z e. q ).
23	22	in3 33496	. . . . . . . 8 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. ( q e. A -> z e. q ) ).
24	23	gen21 33506	. . . . . . 7 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. A. q ( q e. A -> z e. q ) ).
25		df-ral 2812	. . . . . . . 8 |- ( A. q e. A z e. q <-> A. q ( q e. A -> z e. q ) )
26	25	biimpri 206	. . . . . . 7 |- ( A. q ( q e. A -> z e. q ) -> A. q e. A z e. q )
27	24, 26	e2 33518	. . . . . 6 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. A. q e. A z e. q ).
28		elintg 4296	. . . . . . 7 |- ( z e. y -> ( z e. |^| A <-> A. q e. A z e. q ) )
29	28	biimprd 223	. . . . . 6 |- ( z e. y -> ( A. q e. A z e. q -> z e. |^| A ) )
30	3, 27, 29	e22 33558	. . . . 5 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. z e. |^| A ).
31	30	in2 33492	. . . 4 |- (. A. x e. A Tr x ->. ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> z e. |^| A ) ).
32	31	gen12 33505	. . 3 |- (. A. x e. A Tr x ->. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> z e. |^| A ) ).
33		dftr2 4552	. . . 4 |- ( Tr |^| A <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> z e. |^| A ) )
34	33	biimpri 206	. . 3 |- ( A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> z e. |^| A ) -> Tr |^| A )
35	32, 34	e1a 33514	. 2 |- (. A. x e. A Tr x ->. Tr |^| A ).
36	35	in1 33449	1 |- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1393   e. wcel 1819   A.wral 2807   [.wsbc 3327   |^|cint 4288   Tr wtr 4550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-v 3111  df-sbc 3328  df-in 3478  df-ss 3485  df-uni 4252  df-int 4289  df-tr 4551  df-vd1 33448  df-vd2 33456  df-vd3 33468

This theorem is referenced by: (None)