Theorem trintALTVD 37277

Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Virtual deduction proof of trintALT 37278. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. trintALT 37278 is trintALTVD 37277 without virtual deductions and was automatically derived from trintALTVD 37277.

1::	|- (. A. x e. A Tr x ->. A. x e. A Tr x ).
2::	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ).
3:2:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. z e. y ).
4:2:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. y e. |^| A ).
5:4:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. A. q e. A y e. q ).
6:5:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. ( q e. A -> y e. q ) ).
7::	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) , q e. A ->. q e. A ).
8:7,6:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) , q e. A ->. y e. q ).
9:7,1:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) , q e. A ->. [ q / x ] Tr x ).
10:7,9:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) , q e. A ->. Tr q ).
11:10,3,8:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) , q e. A ->. z e. q ).
12:11:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. ( q e. A -> z e. q ) ).
13:12:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. A. q ( q e. A -> z e. q ) ).
14:13:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. A. q e. A z e. q ).
15:3,14:	|- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. z e. |^| A ).
16:15:	|- (. A. x e. A Tr x ->. ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> z e. |^| A ) ).
17:16:	|- (. A. x e. A Tr x ->. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> z e. |^| A ) ).
18:17:	|- (. A. x e. A Tr x ->. Tr |^| A ).
qed:18:	|- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

(Contributed by Alan Sare, 17-Apr-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
trintALTVD	|- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem trintALTVD

Dummy variables q y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn2 36992	. . . . . . 7 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ).
2		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> z e. y )
3	1, 2	e2 37010	. . . . . 6 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. z e. y ).
4		idn3 36994	. . . . . . . . . . 11 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ,. q e. A ->. q e. A ).
5		idn1 36944	. . . . . . . . . . . 12 |- (. A. x e. A Tr x ->. A. x e. A Tr x ).
6		rspsbc 3346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. A -> ( A. x e. A Tr x -> [. q / x ]. Tr x ) )
7	4, 5, 6	e31 37138	. . . . . . . . . . 11 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ,. q e. A ->. [. q / x ]. Tr x ).
8		trsbc 36901	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. A -> ( [. q / x ]. Tr x <-> Tr q ) )
9	8	biimpd 211	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. A -> ( [. q / x ]. Tr x -> Tr q ) )
10	4, 7, 9	e33 37121	. . . . . . . . . 10 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ,. q e. A ->. Tr q ).
11		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> y e. |^| A )
12	1, 11	e2 37010	. . . . . . . . . . . . 13 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. y e. |^| A ).
13		elintg 4242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. |^| A -> ( y e. |^| A <-> A. q e. A y e. q ) )
14	13	ibi 245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. |^| A -> A. q e. A y e. q )
15	12, 14	e2 37010	. . . . . . . . . . . 12 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. A. q e. A y e. q ).
16		rsp 2754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. q e. A y e. q -> ( q e. A -> y e. q ) )
17	15, 16	e2 37010	. . . . . . . . . . 11 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. ( q e. A -> y e. q ) ).
18		pm2.27 40	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. A -> ( ( q e. A -> y e. q ) -> y e. q ) )
19	4, 17, 18	e32 37145	. . . . . . . . . 10 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ,. q e. A ->. y e. q ).
20		trel 4504	. . . . . . . . . . 11 |- ( Tr q -> ( ( z e. y /\ y e. q ) -> z e. q ) )
21	20	expd 438	. . . . . . . . . 10 |- ( Tr q -> ( z e. y -> ( y e. q -> z e. q ) ) )
22	10, 3, 19, 21	e323 37153	. . . . . . . . 9 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ,. q e. A ->. z e. q ).
23	22	in3 36988	. . . . . . . 8 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. ( q e. A -> z e. q ) ).
24	23	gen21 36998	. . . . . . 7 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. A. q ( q e. A -> z e. q ) ).
25		df-ral 2742	. . . . . . . 8 |- ( A. q e. A z e. q <-> A. q ( q e. A -> z e. q ) )
26	25	biimpri 210	. . . . . . 7 |- ( A. q ( q e. A -> z e. q ) -> A. q e. A z e. q )
27	24, 26	e2 37010	. . . . . 6 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. A. q e. A z e. q ).
28		elintg 4242	. . . . . . 7 |- ( z e. y -> ( z e. |^| A <-> A. q e. A z e. q ) )
29	28	biimprd 227	. . . . . 6 |- ( z e. y -> ( A. q e. A z e. q -> z e. |^| A ) )
30	3, 27, 29	e22 37050	. . . . 5 |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. |^| A ) ->. z e. |^| A ).
31	30	in2 36984	. . . 4 |- (. A. x e. A Tr x ->. ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> z e. |^| A ) ).
32	31	gen12 36997	. . 3 |- (. A. x e. A Tr x ->. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> z e. |^| A ) ).
33		dftr2 4499	. . . 4 |- ( Tr |^| A <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> z e. |^| A ) )
34	33	biimpri 210	. . 3 |- ( A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. |^| A ) -> z e. |^| A ) -> Tr |^| A )
35	32, 34	e1a 37006	. 2 |- (. A. x e. A Tr x ->. Tr |^| A ).
36	35	in1 36941	1 |- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   A.wal 1442   e. wcel 1887   A.wral 2737   [.wsbc 3267   |^|cint 4234   Tr wtr 4497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ral 2742  df-v 3047  df-sbc 3268  df-in 3411  df-ss 3418  df-uni 4199  df-int 4235  df-tr 4498  df-vd1 36940  df-vd2 36948  df-vd3 36960

This theorem is referenced by: (None)