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Theorem trint 4503
Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Exercise 5(b) of [Enderton] p. 73. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
trint  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem trint
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr3 4492 . . . . 5  |-  ( Tr  x  <->  A. y  e.  x  y  C_  x )
21ralbii 2834 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x )
3 df-ral 2758 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
43ralbii 2834 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. x  e.  A  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
5 ralcom4 3077 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x )
)
64, 5bitri 249 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
72, 6sylbb 197 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
8 ralim 2792 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  x  -> 
y  C_  x )  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
98alimi 1654 . . 3  |-  ( A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x )  ->  A. y ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
107, 9syl 17 . 2  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. y ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
11 dftr3 4492 . . 3  |-  ( Tr 
|^| A  <->  A. y  e.  |^| A y  C_  |^| A )
12 df-ral 2758 . . . 4  |-  ( A. y  e.  |^| A y 
C_  |^| A  <->  A. y
( y  e.  |^| A  ->  y  C_  |^| A
) )
13 vex 3061 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1413elint2 4233 . . . . . 6  |-  ( y  e.  |^| A  <->  A. x  e.  A  y  e.  x )
15 ssint 4242 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  |^| A  <->  A. x  e.  A  y  C_  x )
1614, 15imbi12i 324 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  |^| A  ->  y  C_  |^| A )  <-> 
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
1716albii 1661 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e. 
|^| A  ->  y  C_ 
|^| A )  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
1812, 17bitri 249 . . 3  |-  ( A. y  e.  |^| A y 
C_  |^| A  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
1911, 18bitri 249 . 2  |-  ( Tr 
|^| A  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
2010, 19sylibr 212 1  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1403    e. wcel 1842   A.wral 2753    C_ wss 3413   |^|cint 4226   Tr wtr 4488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ral 2758  df-v 3060  df-in 3420  df-ss 3427  df-uni 4191  df-int 4227  df-tr 4489
This theorem is referenced by:  tctr  8202  intwun  9142  intgru  9221  dfon2lem8  29996
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