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Theorem trint 4550
Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Exercise 5(b) of [Enderton] p. 73. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
trint  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem trint
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr3 4539 . . . . 5  |-  ( Tr  x  <->  A. y  e.  x  y  C_  x )
21ralbii 2890 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x )
3 df-ral 2814 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
43ralbii 2890 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. x  e.  A  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
5 ralcom4 3127 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x )
)
64, 5bitri 249 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
72, 6sylbb 197 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
8 ralim 2848 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  x  -> 
y  C_  x )  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
98alimi 1609 . . 3  |-  ( A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x )  ->  A. y ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
107, 9syl 16 . 2  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. y ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
11 dftr3 4539 . . 3  |-  ( Tr 
|^| A  <->  A. y  e.  |^| A y  C_  |^| A )
12 df-ral 2814 . . . 4  |-  ( A. y  e.  |^| A y 
C_  |^| A  <->  A. y
( y  e.  |^| A  ->  y  C_  |^| A
) )
13 vex 3111 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1413elint2 4284 . . . . . 6  |-  ( y  e.  |^| A  <->  A. x  e.  A  y  e.  x )
15 ssint 4293 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  |^| A  <->  A. x  e.  A  y  C_  x )
1614, 15imbi12i 326 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  |^| A  ->  y  C_  |^| A )  <-> 
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
1716albii 1615 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e. 
|^| A  ->  y  C_ 
|^| A )  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
1812, 17bitri 249 . . 3  |-  ( A. y  e.  |^| A y 
C_  |^| A  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
1911, 18bitri 249 . 2  |-  ( Tr 
|^| A  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
2010, 19sylibr 212 1  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1372    e. wcel 1762   A.wral 2809    C_ wss 3471   |^|cint 4277   Tr wtr 4535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ral 2814  df-v 3110  df-in 3478  df-ss 3485  df-uni 4241  df-int 4278  df-tr 4536
This theorem is referenced by:  tctr  8162  intwun  9104  intgru  9183  dfon2lem8  28787
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