Theorem trhom2 14985

Description: In a topological group the image of an open set by a right translation is an open set. Bourbaki TG III.2

Hypotheses

Ref	Expression
trhom.1	|- X = ran G
trhom.2	|- F = (x e. X |-> (xGA))
trhom.3	|- G = (1st` K)
trhom.4	|- J = (2nd` K)

Assertion

Ref	Expression
trhom2	|- ((K e. TopGrp /\ A e. X /\ O e. J) -> (F"O) e. J)

Distinct variable groups:   x,A   x,G   x,K   x,X

Proof of Theorem trhom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trhom.1	. . . 4 |- X = ran G
2		trhom.2	. . . 4 |- F = (x e. X |-> (xGA))
3		trhom.3	. . . 4 |- G = (1st` K)
4		trhom.4	. . . 4 |- J = (2nd` K)
5	1, 2, 3, 4	trhom 14983	. . 3 |- ((K e. TopGrp /\ A e. X) -> F e. (J Homeo J))
6	4	topgrptop 14977	. . . . . . 7 |- (K e. TopGrp -> J e. Top)
7	6, 6	jca 310	. . . . . 6 |- (K e. TopGrp -> (J e. Top /\ J e. Top))
8	7	adantr 425	. . . . 5 |- ((K e. TopGrp /\ A e. X) -> (J e. Top /\ J e. Top))
9		hmeocnb 10238	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ J e. Top) -> (F e. (J Homeo J) -> A.y e. J (F"y) e. J))
10	8, 9	syl 12	. . . 4 |- ((K e. TopGrp /\ A e. X) -> (F e. (J Homeo J) -> A.y e. J (F"y) e. J))
11		imaeq2 4260	. . . . . 6 |- (y = O -> (F"y) = (F"O))
12	11	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (y = O -> ((F"y) e. J <-> (F"O) e. J))
13	12	rcla4cv 2377	. . . 4 |- (A.y e. J (F"y) e. J -> (O e. J -> (F"O) e. J))
14	10, 13	syl6com 64	. . 3 |- (F e. (J Homeo J) -> ((K e. TopGrp /\ A e. X) -> (O e. J -> (F"O) e. J)))
15	5, 14	mpcom 60	. 2 |- ((K e. TopGrp /\ A e. X) -> (O e. J -> (F"O) e. J))
16	15	3impia 1064	1 |- ((K e. TopGrp /\ A e. X /\ O e. J) -> (F"O) e. J)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  ran crn 3987  "cima 3989  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   e. cmpt 5004  1stc1st 5018  2ndc2nd 5019  Topctop 8857   Homeo chomeosm 10230  TopGrpctopgrp 14969

This theorem is referenced by:  tpgprop1 14986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-map 5383  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-tx 8931  df-cn 9030  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-homeo 10232  df-topgrp 14970

Copyright terms: Public domain