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Theorem trgcgrg 22967
Description: The property for two triangles to be congruent to each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcgrg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
trgcgrg.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
trgcgrg.r  |-  .~  =  (cgrG `  G )
trgcgrg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
trgcgrg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
trgcgrg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
trgcgrg.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
trgcgrg.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
trgcgrg.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
trgcgrg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
Assertion
Ref Expression
trgcgrg  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D E F "> 
<->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )

Proof of Theorem trgcgrg
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trgcgrg.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
2 trgcgrg.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
3 trgcgrg.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
41, 2, 3s3cld 12497 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  e. Word  P )
5 wrdf 12240 . . . . . 6  |-  ( <" A B C ">  e. Word  P  ->  <" A B C "> :
( 0..^ ( # `  <" A B C "> )
) --> P )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" A B C "> :
( 0..^ ( # `  <" A B C "> )
) --> P )
7 s3len 12518 . . . . . . . 8  |-  ( # `  <" A B C "> )  =  3
87oveq2i 6102 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) )  =  ( 0..^ 3 )
9 fzo0to3tp 11615 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
108, 9eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
1110feq2i 5552 . . . . 5  |-  ( <" A B C "> : ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) ) --> P  <->  <" A B C "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
126, 11sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" A B C "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
13 fdm 5563 . . . 4  |-  ( <" A B C "> : {
0 ,  1 ,  2 } --> P  ->  dom  <" A B C ">  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  <" A B C ">  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1514raleqdv 2923 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. j  e. 
dom  <" A B C "> (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <->  A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
1614, 15raleqbidv 2931 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. i  e. 
dom  <" A B C "> A. j  e.  dom  <" A B C "> (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <->  A. i  e.  { 0 ,  1 ,  2 } A. j  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 }  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
17 trgcgrg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
18 trgcgrg.m . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
19 trgcgrg.r . . 3  |-  .~  =  (cgrG `  G )
20 trgcgrg.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
21 0re 9386 . . . . 5  |-  0  e.  RR
22 1re 9385 . . . . 5  |-  1  e.  RR
23 2re 10391 . . . . 5  |-  2  e.  RR
24 tpssi 4039 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  { 0 ,  1 ,  2 }  C_  RR )
2521, 22, 23, 24mp3an 1314 . . . 4  |-  { 0 ,  1 ,  2 }  C_  RR
2625a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { 0 ,  1 ,  2 }  C_  RR )
27 trgcgrg.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
28 trgcgrg.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
29 trgcgrg.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
3027, 28, 29s3cld 12497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" D E F ">  e. Word  P )
31 wrdf 12240 . . . . 5  |-  ( <" D E F ">  e. Word  P  ->  <" D E F "> :
( 0..^ ( # `  <" D E F "> )
) --> P )
3230, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" D E F "> :
( 0..^ ( # `  <" D E F "> )
) --> P )
33 s3len 12518 . . . . . . 7  |-  ( # `  <" D E F "> )  =  3
3433oveq2i 6102 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  <" D E F "> ) )  =  ( 0..^ 3 )
3534, 9eqtri 2463 . . . . 5  |-  ( 0..^ ( # `  <" D E F "> ) )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
3635feq2i 5552 . . . 4  |-  ( <" D E F "> : ( 0..^ ( # `  <" D E F "> ) ) --> P  <->  <" D E F "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
3732, 36sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  <" D E F "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
3817, 18, 19, 20, 26, 12, 37iscgrgd 22966 . 2  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D E F "> 
<-> 
A. i  e.  dom  <" A B C "> A. j  e.  dom  <" A B C "> (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
39 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  0  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  0
) )
4039adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  0
) )
41 s3fv0 12515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  P  ->  ( <" A B C "> `  0
)  =  A )
421, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <" A B C "> `  0
)  =  A )
4342adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  0
)  =  A )
4440, 43eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  A )
4544oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
46 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  0  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  0
) )
4746adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  0
) )
48 s3fv0 12515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  P  ->  ( <" D E F "> `  0
)  =  D )
4927, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <" D E F "> `  0
)  =  D )
5049adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  0
)  =  D )
5147, 50eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  D )
5251oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  (
( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
5345, 52eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  (
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
54 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  1  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  1
) )
5554adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  1
) )
56 s3fv1 12516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  P  ->  ( <" A B C "> `  1
)  =  B )
572, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <" A B C "> `  1
)  =  B )
5857adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  1
)  =  B )
5955, 58eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  B )
6059oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
61 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  1  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  1
) )
6261adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  1
) )
63 s3fv1 12516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  P  ->  ( <" D E F "> `  1
)  =  E )
6428, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <" D E F "> `  1
)  =  E )
6564adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  1
)  =  E )
6662, 65eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  E )
6766oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
6860, 67eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
69 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  2  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  2
) )
7069adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  2
) )
71 s3fv2 12517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  P  ->  ( <" A B C "> `  2
)  =  C )
723, 71syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <" A B C "> `  2
)  =  C )
7372adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  2
)  =  C )
7470, 73eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  C )
7574oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
76 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  2  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  2
) )
7776adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  2
) )
78 s3fv2 12517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  P  ->  ( <" D E F "> `  2
)  =  F )
7929, 78syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <" D E F "> `  2
)  =  F )
8079adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  2
)  =  F )
8177, 80eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  F )
8281oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  (
( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
8375, 82eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  (
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
8421a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8522a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
8623a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
8753, 68, 83, 84, 85, 86raltpd 3998 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. j  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 }  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
8887adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
89 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  0
) )
9089adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  0
) )
9142adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  0
)  =  A )
9290, 91eqtr2d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  A  =  ( <" A B C "> `  i
) )
9392oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A  .-  A )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
94 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  0
) )
9594adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  0
) )
9649adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  0
)  =  D )
9795, 96eqtr2d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  D  =  ( <" D E F "> `  i
) )
9897oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( D  .-  D )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
9993, 98eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
10092oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A  .-  B )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
10197oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( D  .-  E )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
102100, 101eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( D 
.-  E )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
10392oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A  .-  C )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
10497oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( D  .-  F )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
105103, 104eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
10699, 102, 1053anbi123d 1289 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  <->  ( ( (
<" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
10788, 106bitr4d 256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) ) ) )
10887adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
109 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  1
) )
110109adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  1
) )
11157adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  1
)  =  B )
112110, 111eqtr2d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  B  =  ( <" A B C "> `  i
) )
113112oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( B  .-  A )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
114 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  1
) )
115114adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  1
) )
11664adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  1
)  =  E )
117115, 116eqtr2d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  E  =  ( <" D E F "> `  i
) )
118117oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( E  .-  D )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
119113, 118eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( B  .-  A
)  =  ( E 
.-  D )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
120112oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( B  .-  B )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
121117oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( E  .-  E )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
122120, 121eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( B  .-  B
)  =  ( E 
.-  E )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
123112oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( B  .-  C )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
124117oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( E  .-  F )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
125123, 124eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
126119, 122, 1253anbi123d 1289 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  <->  ( ( (
<" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
127108, 126bitr4d 256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) ) ) )
12887adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
129 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  2  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  2
) )
130129adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  2
) )
13172adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  2
)  =  C )
132130, 131eqtr2d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  C  =  ( <" A B C "> `  i
) )
133132oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( C  .-  A )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
134 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  2  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  2
) )
135134adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  2
) )
13679adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  2
)  =  F )
137135, 136eqtr2d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  F  =  ( <" D E F "> `  i
) )
138137oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( F  .-  D )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
139133, 138eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( C  .-  A
)  =  ( F 
.-  D )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
140132oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( C  .-  B )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
141137oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( F  .-  E )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
142140, 141eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( C  .-  B
)  =  ( F 
.-  E )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
143132oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( C  .-  C )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
144137oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( F  .-  F )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
145143, 144eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( C  .-  C
)  =  ( F 
.-  F )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
146139, 142, 1453anbi123d 1289 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) )  <->  ( ( (
<" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
147128, 146bitr4d 256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) ) )
148107, 127, 147, 84, 85, 86raltpd 3998 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. i  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 } A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( A 
.-  A )  =  ( D  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  /\  ( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  /\  ( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) ) ) )
149 an33rean 1332 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  /\  ( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  /\  ( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) )  <->  ( (
( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F
) )  /\  (
( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
) )  /\  (
( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) ) )
150 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  (Itv `  G )  =  (Itv
`  G )
15117, 18, 150, 20, 1, 27tgcgrtriv 22938 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D ) )
15217, 18, 150, 20, 2, 28tgcgrtriv 22938 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  .-  B
)  =  ( E 
.-  E ) )
15317, 18, 150, 20, 3, 29tgcgrtriv 22938 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  .-  C
)  =  ( F 
.-  F ) )
154151, 152, 1533jca 1168 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) )
155154biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D
) )  /\  (
( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )  <->  ( (
( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F
) )  /\  (
( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
) )  /\  (
( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) ) ) )
156 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
) )
157 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )
15820adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  G  e. TarskiG )
1591adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  A  e.  P )
1602adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  B  e.  P )
16127adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  D  e.  P )
16228adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  E  e.  P )
16317, 18, 150, 158, 159, 160, 161, 162, 157tgcgrcomlr 22934 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )
164157, 163jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) ) )
165156, 164impbida 828 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  <->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) ) )
166 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F
)  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) ) )  ->  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F
) )
167 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )
16820adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  G  e. TarskiG )
1692adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  B  e.  P )
1703adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  C  e.  P )
17128adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  E  e.  P )
17229adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  F  e.  P )
17317, 18, 150, 168, 169, 170, 171, 172, 167tgcgrcomlr 22934 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )
174167, 173jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F
)  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) ) )
175166, 174impbida 828 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.-  C )  =  ( E  .-  F
)  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  <->  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) ) )
176 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F
)  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D
) )
17720adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  G  e. TarskiG )
1783adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  C  e.  P )
1791adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  A  e.  P )
18029adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  F  e.  P )
18127adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  D  e.  P )
182 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )
18317, 18, 150, 177, 178, 179, 180, 181, 182tgcgrcomlr 22934 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )
184183, 182jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F
)  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )
185176, 184impbida 828 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  C )  =  ( D  .-  F
)  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  <->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )
186165, 175, 1853anbi123d 1289 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D
) )  /\  (
( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )  <->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
187155, 186bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) )  /\  ( ( ( A  .-  B
)  =  ( D 
.-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D
) ) ) )  <-> 
( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
188149, 187syl5bb 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  /\  ( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  /\  ( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) )  <->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
189148, 188bitr2d 254 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  <->  A. i  e.  {
0 ,  1 ,  2 } A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
19016, 38, 1893bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D E F "> 
<->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715    C_ wss 3328   {ctp 3881   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   2c2 10371   3c3 10372  ..^cfzo 11548   #chash 12103  Word cword 12221   <"cs3 12469   Basecbs 14174   distcds 14247  TarskiGcstrkg 22889  Itvcitv 22897  cgrGccgrg 22963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-hash 12104  df-word 12229  df-concat 12231  df-s1 12232  df-s2 12475  df-s3 12476  df-trkgc 22909  df-trkgcb 22911  df-trkg 22916  df-cgrg 22964
This theorem is referenced by:  trgcgr  22968  cgr3simp1  22972  cgr3simp2  22973  cgr3simp3  22974
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