MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trgcgrg Structured version   Unicode version

Theorem trgcgrg 24287
Description: The property for two triangles to be congruent to each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcgrg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
trgcgrg.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
trgcgrg.r  |-  .~  =  (cgrG `  G )
trgcgrg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
trgcgrg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
trgcgrg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
trgcgrg.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
trgcgrg.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
trgcgrg.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
trgcgrg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
Assertion
Ref Expression
trgcgrg  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D E F "> 
<->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )

Proof of Theorem trgcgrg
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trgcgrg.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
2 trgcgrg.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
3 trgcgrg.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
41, 2, 3s3cld 12891 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  e. Word  P )
5 wrdf 12603 . . . . . 6  |-  ( <" A B C ">  e. Word  P  ->  <" A B C "> :
( 0..^ ( # `  <" A B C "> )
) --> P )
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" A B C "> :
( 0..^ ( # `  <" A B C "> )
) --> P )
7 s3len 12912 . . . . . . . 8  |-  ( # `  <" A B C "> )  =  3
87oveq2i 6289 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) )  =  ( 0..^ 3 )
9 fzo0to3tp 11937 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
108, 9eqtri 2431 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
1110feq2i 5707 . . . . 5  |-  ( <" A B C "> : ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) ) --> P  <->  <" A B C "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
126, 11sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" A B C "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
13 fdm 5718 . . . 4  |-  ( <" A B C "> : {
0 ,  1 ,  2 } --> P  ->  dom  <" A B C ">  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1412, 13syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  <" A B C ">  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1514raleqdv 3010 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. j  e. 
dom  <" A B C "> (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <->  A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
1614, 15raleqbidv 3018 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. i  e. 
dom  <" A B C "> A. j  e.  dom  <" A B C "> (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <->  A. i  e.  { 0 ,  1 ,  2 } A. j  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 }  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
17 trgcgrg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
18 trgcgrg.m . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
19 trgcgrg.r . . 3  |-  .~  =  (cgrG `  G )
20 trgcgrg.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
21 0re 9626 . . . . 5  |-  0  e.  RR
22 1re 9625 . . . . 5  |-  1  e.  RR
23 2re 10646 . . . . 5  |-  2  e.  RR
24 tpssi 4138 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  { 0 ,  1 ,  2 }  C_  RR )
2521, 22, 23, 24mp3an 1326 . . . 4  |-  { 0 ,  1 ,  2 }  C_  RR
2625a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { 0 ,  1 ,  2 }  C_  RR )
27 trgcgrg.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
28 trgcgrg.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
29 trgcgrg.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
3027, 28, 29s3cld 12891 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" D E F ">  e. Word  P )
31 wrdf 12603 . . . . 5  |-  ( <" D E F ">  e. Word  P  ->  <" D E F "> :
( 0..^ ( # `  <" D E F "> )
) --> P )
3230, 31syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" D E F "> :
( 0..^ ( # `  <" D E F "> )
) --> P )
33 s3len 12912 . . . . . . 7  |-  ( # `  <" D E F "> )  =  3
3433oveq2i 6289 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  <" D E F "> ) )  =  ( 0..^ 3 )
3534, 9eqtri 2431 . . . . 5  |-  ( 0..^ ( # `  <" D E F "> ) )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
3635feq2i 5707 . . . 4  |-  ( <" D E F "> : ( 0..^ ( # `  <" D E F "> ) ) --> P  <->  <" D E F "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
3732, 36sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  <" D E F "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
3817, 18, 19, 20, 26, 12, 37iscgrgd 24286 . 2  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D E F "> 
<-> 
A. i  e.  dom  <" A B C "> A. j  e.  dom  <" A B C "> (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
39 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  0  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  0
) )
40 s3fv0 12909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  P  ->  ( <" A B C "> `  0
)  =  A )
411, 40syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <" A B C "> `  0
)  =  A )
4239, 41sylan9eqr 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  A )
4342oveq2d 6294 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
44 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  0  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  0
) )
45 s3fv0 12909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  P  ->  ( <" D E F "> `  0
)  =  D )
4627, 45syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <" D E F "> `  0
)  =  D )
4744, 46sylan9eqr 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  D )
4847oveq2d 6294 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  (
( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
4943, 48eqeq12d 2424 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  (
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
50 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  1  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  1
) )
51 s3fv1 12910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  P  ->  ( <" A B C "> `  1
)  =  B )
522, 51syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <" A B C "> `  1
)  =  B )
5350, 52sylan9eqr 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  B )
5453oveq2d 6294 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
55 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  1  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  1
) )
56 s3fv1 12910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  P  ->  ( <" D E F "> `  1
)  =  E )
5728, 56syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <" D E F "> `  1
)  =  E )
5855, 57sylan9eqr 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  E )
5958oveq2d 6294 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
6054, 59eqeq12d 2424 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
61 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  2  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  2
) )
62 s3fv2 12911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  P  ->  ( <" A B C "> `  2
)  =  C )
633, 62syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <" A B C "> `  2
)  =  C )
6461, 63sylan9eqr 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  C )
6564oveq2d 6294 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
66 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  2  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  2
) )
67 s3fv2 12911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  P  ->  ( <" D E F "> `  2
)  =  F )
6829, 67syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <" D E F "> `  2
)  =  F )
6966, 68sylan9eqr 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  F )
7069oveq2d 6294 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  (
( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
7165, 70eqeq12d 2424 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  (
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
72 0red 9627 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
73 1red 9641 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
7423a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
7549, 60, 71, 72, 73, 74raltpd 4095 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. j  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 }  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
7675adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
77 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  0
) )
7877adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  0
) )
7941adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  0
)  =  A )
8078, 79eqtr2d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  A  =  ( <" A B C "> `  i
) )
8180oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A  .-  A )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
82 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  0
) )
8382adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  0
) )
8446adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  0
)  =  D )
8583, 84eqtr2d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  D  =  ( <" D E F "> `  i
) )
8685oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( D  .-  D )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
8781, 86eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
8880oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A  .-  B )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
8985oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( D  .-  E )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
9088, 89eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( D 
.-  E )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
9180oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A  .-  C )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
9285oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( D  .-  F )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
9391, 92eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
9487, 90, 933anbi123d 1301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  <->  ( ( (
<" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
9576, 94bitr4d 256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) ) ) )
9675adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
97 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  1
) )
9897adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  1
) )
9952adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  1
)  =  B )
10098, 99eqtr2d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  B  =  ( <" A B C "> `  i
) )
101100oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( B  .-  A )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
102 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  1
) )
103102adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  1
) )
10457adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  1
)  =  E )
105103, 104eqtr2d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  E  =  ( <" D E F "> `  i
) )
106105oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( E  .-  D )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
107101, 106eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( B  .-  A
)  =  ( E 
.-  D )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
108100oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( B  .-  B )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
109105oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( E  .-  E )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
110108, 109eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( B  .-  B
)  =  ( E 
.-  E )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
111100oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( B  .-  C )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
112105oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( E  .-  F )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
113111, 112eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
114107, 110, 1133anbi123d 1301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  <->  ( ( (
<" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
11596, 114bitr4d 256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) ) ) )
11675adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
117 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  2  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  2
) )
118117adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  2
) )
11963adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  2
)  =  C )
120118, 119eqtr2d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  C  =  ( <" A B C "> `  i
) )
121120oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( C  .-  A )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
122 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  2  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  2
) )
123122adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  2
) )
12468adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  2
)  =  F )
125123, 124eqtr2d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  F  =  ( <" D E F "> `  i
) )
126125oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( F  .-  D )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
127121, 126eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( C  .-  A
)  =  ( F 
.-  D )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
128120oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( C  .-  B )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
129125oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( F  .-  E )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
130128, 129eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( C  .-  B
)  =  ( F 
.-  E )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
131120oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( C  .-  C )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
132125oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( F  .-  F )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
133131, 132eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( C  .-  C
)  =  ( F 
.-  F )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
134127, 130, 1333anbi123d 1301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) )  <->  ( ( (
<" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
135116, 134bitr4d 256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) ) )
13695, 115, 135, 72, 73, 74raltpd 4095 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. i  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 } A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( A 
.-  A )  =  ( D  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  /\  ( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  /\  ( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) ) ) )
137 an33rean 1344 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  /\  ( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  /\  ( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) )  <->  ( (
( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F
) )  /\  (
( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
) )  /\  (
( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) ) )
138 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  (Itv `  G )  =  (Itv
`  G )
13917, 18, 138, 20, 1, 27tgcgrtriv 24256 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D ) )
14017, 18, 138, 20, 2, 28tgcgrtriv 24256 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  .-  B
)  =  ( E 
.-  E ) )
14117, 18, 138, 20, 3, 29tgcgrtriv 24256 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  .-  C
)  =  ( F 
.-  F ) )
142139, 140, 1413jca 1177 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) )
143142biantrurd 506 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D
) )  /\  (
( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )  <->  ( (
( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F
) )  /\  (
( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
) )  /\  (
( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) ) ) )
144 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
) )
145 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )
14620adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  G  e. TarskiG )
1471adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  A  e.  P )
1482adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  B  e.  P )
14927adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  D  e.  P )
15028adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  E  e.  P )
15117, 18, 138, 146, 147, 148, 149, 150, 145tgcgrcomlr 24252 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )
152145, 151jca 530 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) ) )
153144, 152impbida 833 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  <->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) ) )
154 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F
)  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) ) )  ->  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F
) )
155 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )
15620adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  G  e. TarskiG )
1572adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  B  e.  P )
1583adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  C  e.  P )
15928adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  E  e.  P )
16029adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  F  e.  P )
16117, 18, 138, 156, 157, 158, 159, 160, 155tgcgrcomlr 24252 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )
162155, 161jca 530 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F
)  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) ) )
163154, 162impbida 833 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.-  C )  =  ( E  .-  F
)  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  <->  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) ) )
164 simprr 758 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F
)  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D
) )
16520adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  G  e. TarskiG )
1663adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  C  e.  P )
1671adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  A  e.  P )
16829adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  F  e.  P )
16927adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  D  e.  P )
170 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )
17117, 18, 138, 165, 166, 167, 168, 169, 170tgcgrcomlr 24252 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )
172171, 170jca 530 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F
)  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )
173164, 172impbida 833 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  C )  =  ( D  .-  F
)  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  <->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )
174153, 163, 1733anbi123d 1301 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D
) )  /\  (
( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )  <->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
175143, 174bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) )  /\  ( ( ( A  .-  B
)  =  ( D 
.-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D
) ) ) )  <-> 
( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
176137, 175syl5bb 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  /\  ( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  /\  ( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) )  <->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
177136, 176bitr2d 254 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  <->  A. i  e.  {
0 ,  1 ,  2 } A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
17816, 38, 1773bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D E F "> 
<->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754    C_ wss 3414   {ctp 3976   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   2c2 10626   3c3 10627  ..^cfzo 11854   #chash 12452  Word cword 12583   <"cs3 12863   Basecbs 14841   distcds 14918  TarskiGcstrkg 24206  Itvcitv 24212  cgrGccgrg 24283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-concat 12593  df-s1 12594  df-s2 12869  df-s3 12870  df-trkgc 24224  df-trkgcb 24226  df-trkg 24229  df-cgrg 24284
This theorem is referenced by:  trgcgr  24288  cgr3simp1  24292  cgr3simp2  24293  cgr3simp3  24294  cgraswap  24575
  Copyright terms: Public domain W3C validator