MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trgcgrg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem trgcgrg 24616
Description: The property for two triangles to be congruent to each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcgrg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
trgcgrg.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
trgcgrg.r  |-  .~  =  (cgrG `  G )
trgcgrg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
trgcgrg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
trgcgrg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
trgcgrg.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
trgcgrg.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
trgcgrg.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
trgcgrg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
Assertion
Ref Expression
trgcgrg  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D E F "> 
<->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )

Proof of Theorem trgcgrg
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trgcgrg.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
2 trgcgrg.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
3 trgcgrg.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
41, 2, 3s3cld 13009 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  e. Word  P )
5 wrdf 12715 . . . . . 6  |-  ( <" A B C ">  e. Word  P  ->  <" A B C "> :
( 0..^ ( # `  <" A B C "> )
) --> P )
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" A B C "> :
( 0..^ ( # `  <" A B C "> )
) --> P )
7 s3len 13031 . . . . . . . 8  |-  ( # `  <" A B C "> )  =  3
87oveq2i 6331 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) )  =  ( 0..^ 3 )
9 fzo0to3tp 12036 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
108, 9eqtri 2484 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
1110feq2i 5747 . . . . 5  |-  ( <" A B C "> : ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) ) --> P  <->  <" A B C "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
126, 11sylib 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" A B C "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
13 fdm 5760 . . . 4  |-  ( <" A B C "> : {
0 ,  1 ,  2 } --> P  ->  dom  <" A B C ">  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1412, 13syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  <" A B C ">  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1514raleqdv 3005 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. j  e. 
dom  <" A B C "> (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <->  A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
1614, 15raleqbidv 3013 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. i  e. 
dom  <" A B C "> A. j  e.  dom  <" A B C "> (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <->  A. i  e.  { 0 ,  1 ,  2 } A. j  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 }  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
17 trgcgrg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
18 trgcgrg.m . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
19 trgcgrg.r . . 3  |-  .~  =  (cgrG `  G )
20 trgcgrg.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
21 0re 9674 . . . . 5  |-  0  e.  RR
22 1re 9673 . . . . 5  |-  1  e.  RR
23 2re 10712 . . . . 5  |-  2  e.  RR
24 tpssi 4151 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  { 0 ,  1 ,  2 }  C_  RR )
2521, 22, 23, 24mp3an 1373 . . . 4  |-  { 0 ,  1 ,  2 }  C_  RR
2625a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { 0 ,  1 ,  2 }  C_  RR )
27 trgcgrg.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
28 trgcgrg.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
29 trgcgrg.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
3027, 28, 29s3cld 13009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" D E F ">  e. Word  P )
31 wrdf 12715 . . . . 5  |-  ( <" D E F ">  e. Word  P  ->  <" D E F "> :
( 0..^ ( # `  <" D E F "> )
) --> P )
3230, 31syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" D E F "> :
( 0..^ ( # `  <" D E F "> )
) --> P )
33 s3len 13031 . . . . . . 7  |-  ( # `  <" D E F "> )  =  3
3433oveq2i 6331 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  <" D E F "> ) )  =  ( 0..^ 3 )
3534, 9eqtri 2484 . . . . 5  |-  ( 0..^ ( # `  <" D E F "> ) )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
3635feq2i 5747 . . . 4  |-  ( <" D E F "> : ( 0..^ ( # `  <" D E F "> ) ) --> P  <->  <" D E F "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
3732, 36sylib 201 . . 3  |-  ( ph  ->  <" D E F "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
3817, 18, 19, 20, 26, 12, 37iscgrgd 24614 . 2  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D E F "> 
<-> 
A. i  e.  dom  <" A B C "> A. j  e.  dom  <" A B C "> (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
39 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  0  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  0
) )
40 s3fv0 13028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  P  ->  ( <" A B C "> `  0
)  =  A )
411, 40syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <" A B C "> `  0
)  =  A )
4239, 41sylan9eqr 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  A )
4342oveq2d 6336 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
44 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  0  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  0
) )
45 s3fv0 13028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  P  ->  ( <" D E F "> `  0
)  =  D )
4627, 45syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <" D E F "> `  0
)  =  D )
4744, 46sylan9eqr 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  D )
4847oveq2d 6336 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  (
( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
4943, 48eqeq12d 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  (
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
50 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  1  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  1
) )
51 s3fv1 13029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  P  ->  ( <" A B C "> `  1
)  =  B )
522, 51syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <" A B C "> `  1
)  =  B )
5350, 52sylan9eqr 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  B )
5453oveq2d 6336 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
55 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  1  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  1
) )
56 s3fv1 13029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  P  ->  ( <" D E F "> `  1
)  =  E )
5728, 56syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <" D E F "> `  1
)  =  E )
5855, 57sylan9eqr 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  E )
5958oveq2d 6336 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
6054, 59eqeq12d 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
61 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  2  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  2
) )
62 s3fv2 13030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  P  ->  ( <" A B C "> `  2
)  =  C )
633, 62syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <" A B C "> `  2
)  =  C )
6461, 63sylan9eqr 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  C )
6564oveq2d 6336 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
66 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  2  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  2
) )
67 s3fv2 13030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  P  ->  ( <" D E F "> `  2
)  =  F )
6829, 67syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <" D E F "> `  2
)  =  F )
6966, 68sylan9eqr 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  F )
7069oveq2d 6336 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  (
( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
7165, 70eqeq12d 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  (
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
72 0red 9675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
73 1red 9689 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
7423a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
7549, 60, 71, 72, 73, 74raltpd 4108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. j  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 }  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
7675adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
77 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  0
) )
7877adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  0
) )
7941adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  0
)  =  A )
8078, 79eqtr2d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  A  =  ( <" A B C "> `  i
) )
8180oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A  .-  A )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
82 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  0
) )
8382adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  0
) )
8446adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  0
)  =  D )
8583, 84eqtr2d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  D  =  ( <" D E F "> `  i
) )
8685oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( D  .-  D )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
8781, 86eqeq12d 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
8880oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A  .-  B )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
8985oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( D  .-  E )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
9088, 89eqeq12d 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( D 
.-  E )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
9180oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A  .-  C )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
9285oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( D  .-  F )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
9391, 92eqeq12d 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
9487, 90, 933anbi123d 1348 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  <->  ( ( (
<" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
9576, 94bitr4d 264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) ) ) )
9675adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
97 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  1
) )
9897adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  1
) )
9952adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  1
)  =  B )
10098, 99eqtr2d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  B  =  ( <" A B C "> `  i
) )
101100oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( B  .-  A )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
102 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  1
) )
103102adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  1
) )
10457adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  1
)  =  E )
105103, 104eqtr2d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  E  =  ( <" D E F "> `  i
) )
106105oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( E  .-  D )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
107101, 106eqeq12d 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( B  .-  A
)  =  ( E 
.-  D )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
108100oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( B  .-  B )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
109105oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( E  .-  E )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
110108, 109eqeq12d 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( B  .-  B
)  =  ( E 
.-  E )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
111100oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( B  .-  C )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
112105oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( E  .-  F )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
113111, 112eqeq12d 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
114107, 110, 1133anbi123d 1348 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  <->  ( ( (
<" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
11596, 114bitr4d 264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) ) ) )
11675adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
117 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  2  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  2
) )
118117adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  2
) )
11963adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  2
)  =  C )
120118, 119eqtr2d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  C  =  ( <" A B C "> `  i
) )
121120oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( C  .-  A )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
122 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  2  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  2
) )
123122adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  2
) )
12468adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  2
)  =  F )
125123, 124eqtr2d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  F  =  ( <" D E F "> `  i
) )
126125oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( F  .-  D )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
127121, 126eqeq12d 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( C  .-  A
)  =  ( F 
.-  D )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
128120oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( C  .-  B )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
129125oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( F  .-  E )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
130128, 129eqeq12d 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( C  .-  B
)  =  ( F 
.-  E )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
131120oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( C  .-  C )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
132125oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( F  .-  F )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
133131, 132eqeq12d 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( C  .-  C
)  =  ( F 
.-  F )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
134127, 130, 1333anbi123d 1348 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) )  <->  ( ( (
<" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
135116, 134bitr4d 264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) ) )
13695, 115, 135, 72, 73, 74raltpd 4108 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. i  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 } A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( A 
.-  A )  =  ( D  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  /\  ( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  /\  ( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) ) ) )
137 an33rean 1393 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  /\  ( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  /\  ( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) )  <->  ( (
( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F
) )  /\  (
( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
) )  /\  (
( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) ) )
138 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  (Itv `  G )  =  (Itv
`  G )
13917, 18, 138, 20, 1, 27tgcgrtriv 24584 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D ) )
14017, 18, 138, 20, 2, 28tgcgrtriv 24584 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  .-  B
)  =  ( E 
.-  E ) )
14117, 18, 138, 20, 3, 29tgcgrtriv 24584 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  .-  C
)  =  ( F 
.-  F ) )
142139, 140, 1413jca 1194 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) )
143142biantrurd 515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D
) )  /\  (
( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )  <->  ( (
( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F
) )  /\  (
( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
) )  /\  (
( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) ) ) )
144 simprl 769 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
) )
145 simpr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )
14620adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  G  e. TarskiG )
1471adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  A  e.  P )
1482adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  B  e.  P )
14927adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  D  e.  P )
15028adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  E  e.  P )
15117, 18, 138, 146, 147, 148, 149, 150, 145tgcgrcomlr 24580 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )
152145, 151jca 539 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) ) )
153144, 152impbida 848 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  <->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) ) )
154 simprl 769 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F
)  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) ) )  ->  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F
) )
155 simpr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )
15620adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  G  e. TarskiG )
1572adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  B  e.  P )
1583adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  C  e.  P )
15928adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  E  e.  P )
16029adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  F  e.  P )
16117, 18, 138, 156, 157, 158, 159, 160, 155tgcgrcomlr 24580 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )
162155, 161jca 539 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F
)  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) ) )
163154, 162impbida 848 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.-  C )  =  ( E  .-  F
)  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  <->  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) ) )
164 simprr 771 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F
)  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D
) )
16520adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  G  e. TarskiG )
1663adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  C  e.  P )
1671adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  A  e.  P )
16829adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  F  e.  P )
16927adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  D  e.  P )
170 simpr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )
17117, 18, 138, 165, 166, 167, 168, 169, 170tgcgrcomlr 24580 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )
172171, 170jca 539 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F
)  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )
173164, 172impbida 848 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  C )  =  ( D  .-  F
)  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  <->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )
174153, 163, 1733anbi123d 1348 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D
) )  /\  (
( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )  <->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
175143, 174bitr3d 263 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) )  /\  ( ( ( A  .-  B
)  =  ( D 
.-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D
) ) ) )  <-> 
( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
176137, 175syl5bb 265 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  /\  ( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  /\  ( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) )  <->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
177136, 176bitr2d 262 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  <->  A. i  e.  {
0 ,  1 ,  2 } A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
17816, 38, 1773bitr4d 293 1  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D E F "> 
<->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749    C_ wss 3416   {ctp 3984   class class class wbr 4418   dom cdm 4856   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   RRcr 9569   0cc0 9570   1c1 9571   2c2 10692   3c3 10693  ..^cfzo 11952   #chash 12553  Word cword 12695   <"cs3 12981   Basecbs 15176   distcds 15254  TarskiGcstrkg 24534  Itvcitv 24540  cgrGccgrg 24611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-pm 7506  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-hash 12554  df-word 12703  df-concat 12705  df-s1 12706  df-s2 12987  df-s3 12988  df-trkgc 24552  df-trkgcb 24554  df-trkg 24557  df-cgrg 24612
This theorem is referenced by:  trgcgr  24617  cgr3simp1  24621  cgr3simp2  24622  cgr3simp3  24623  cgraswap  24918
  Copyright terms: Public domain W3C validator