Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trgcgrg Structured version   Unicode version

Theorem trgcgrg 23627
 Description: The property for two triangles to be congruent to each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcgrg.p
trgcgrg.m
trgcgrg.r cgrG
trgcgrg.g TarskiG
trgcgrg.a
trgcgrg.b
trgcgrg.c
trgcgrg.d
trgcgrg.e
trgcgrg.f
Assertion
Ref Expression
trgcgrg

Proof of Theorem trgcgrg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trgcgrg.a . . . . . . 7
2 trgcgrg.b . . . . . . 7
3 trgcgrg.c . . . . . . 7
41, 2, 3s3cld 12785 . . . . . 6 Word
5 wrdf 12506 . . . . . 6 Word ..^
64, 5syl 16 . . . . 5 ..^
7 s3len 12806 . . . . . . . 8
87oveq2i 6286 . . . . . . 7 ..^ ..^
9 fzo0to3tp 11857 . . . . . . 7 ..^
108, 9eqtri 2489 . . . . . 6 ..^
1110feq2i 5715 . . . . 5 ..^
126, 11sylib 196 . . . 4
13 fdm 5726 . . . 4
1412, 13syl 16 . . 3
1514raleqdv 3057 . . 3
1614, 15raleqbidv 3065 . 2
17 trgcgrg.p . . 3
18 trgcgrg.m . . 3
19 trgcgrg.r . . 3 cgrG
20 trgcgrg.g . . 3 TarskiG
21 0re 9585 . . . . 5
22 1re 9584 . . . . 5
23 2re 10594 . . . . 5
24 tpssi 4186 . . . . 5
2521, 22, 23, 24mp3an 1319 . . . 4
2625a1i 11 . . 3
27 trgcgrg.d . . . . . 6
28 trgcgrg.e . . . . . 6
29 trgcgrg.f . . . . . 6
3027, 28, 29s3cld 12785 . . . . 5 Word
31 wrdf 12506 . . . . 5 Word ..^
3230, 31syl 16 . . . 4 ..^
33 s3len 12806 . . . . . . 7
3433oveq2i 6286 . . . . . 6 ..^ ..^
3534, 9eqtri 2489 . . . . 5 ..^
3635feq2i 5715 . . . 4 ..^
3732, 36sylib 196 . . 3
3817, 18, 19, 20, 26, 12, 37iscgrgd 23626 . 2
39 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11
4039adantl 466 . . . . . . . . . 10
41 s3fv0 12803 . . . . . . . . . . . 12
421, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11
4342adantr 465 . . . . . . . . . 10
4440, 43eqtrd 2501 . . . . . . . . 9
4544oveq2d 6291 . . . . . . . 8
46 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11
4746adantl 466 . . . . . . . . . 10
48 s3fv0 12803 . . . . . . . . . . . 12
4927, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11
5049adantr 465 . . . . . . . . . 10
5147, 50eqtrd 2501 . . . . . . . . 9
5251oveq2d 6291 . . . . . . . 8
5345, 52eqeq12d 2482 . . . . . . 7
54 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11
5554adantl 466 . . . . . . . . . 10
56 s3fv1 12804 . . . . . . . . . . . 12
572, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11
5857adantr 465 . . . . . . . . . 10
5955, 58eqtrd 2501 . . . . . . . . 9
6059oveq2d 6291 . . . . . . . 8
61 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11
6261adantl 466 . . . . . . . . . 10
63 s3fv1 12804 . . . . . . . . . . . 12
6428, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11
6564adantr 465 . . . . . . . . . 10
6662, 65eqtrd 2501 . . . . . . . . 9
6766oveq2d 6291 . . . . . . . 8
6860, 67eqeq12d 2482 . . . . . . 7
69 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11
7069adantl 466 . . . . . . . . . 10
71 s3fv2 12805 . . . . . . . . . . . 12
723, 71syl 16 . . . . . . . . . . 11
7372adantr 465 . . . . . . . . . 10
7470, 73eqtrd 2501 . . . . . . . . 9
7574oveq2d 6291 . . . . . . . 8
76 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11
7776adantl 466 . . . . . . . . . 10
78 s3fv2 12805 . . . . . . . . . . . 12
7929, 78syl 16 . . . . . . . . . . 11
8079adantr 465 . . . . . . . . . 10
8177, 80eqtrd 2501 . . . . . . . . 9
8281oveq2d 6291 . . . . . . . 8
8375, 82eqeq12d 2482 . . . . . . 7
8421a1i 11 . . . . . . 7
8522a1i 11 . . . . . . 7
8623a1i 11 . . . . . . 7
8753, 68, 83, 84, 85, 86raltpd 4143 . . . . . 6
8887adantr 465 . . . . 5
89 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10
9089adantl 466 . . . . . . . . 9
9142adantr 465 . . . . . . . . 9
9290, 91eqtr2d 2502 . . . . . . . 8
9392oveq1d 6290 . . . . . . 7
94 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10
9594adantl 466 . . . . . . . . 9
9649adantr 465 . . . . . . . . 9
9795, 96eqtr2d 2502 . . . . . . . 8
9897oveq1d 6290 . . . . . . 7
9993, 98eqeq12d 2482 . . . . . 6
10092oveq1d 6290 . . . . . . 7
10197oveq1d 6290 . . . . . . 7
102100, 101eqeq12d 2482 . . . . . 6
10392oveq1d 6290 . . . . . . 7
10497oveq1d 6290 . . . . . . 7
105103, 104eqeq12d 2482 . . . . . 6
10699, 102, 1053anbi123d 1294 . . . . 5
10788, 106bitr4d 256 . . . 4
10887adantr 465 . . . . 5
109 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10
110109adantl 466 . . . . . . . . 9
11157adantr 465 . . . . . . . . 9
112110, 111eqtr2d 2502 . . . . . . . 8
113112oveq1d 6290 . . . . . . 7
114 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10
115114adantl 466 . . . . . . . . 9
11664adantr 465 . . . . . . . . 9
117115, 116eqtr2d 2502 . . . . . . . 8
118117oveq1d 6290 . . . . . . 7
119113, 118eqeq12d 2482 . . . . . 6
120112oveq1d 6290 . . . . . . 7
121117oveq1d 6290 . . . . . . 7
122120, 121eqeq12d 2482 . . . . . 6
123112oveq1d 6290 . . . . . . 7
124117oveq1d 6290 . . . . . . 7
125123, 124eqeq12d 2482 . . . . . 6
126119, 122, 1253anbi123d 1294 . . . . 5
127108, 126bitr4d 256 . . . 4
12887adantr 465 . . . . 5
129 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10
130129adantl 466 . . . . . . . . 9
13172adantr 465 . . . . . . . . 9
132130, 131eqtr2d 2502 . . . . . . . 8
133132oveq1d 6290 . . . . . . 7
134 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10
135134adantl 466 . . . . . . . . 9
13679adantr 465 . . . . . . . . 9
137135, 136eqtr2d 2502 . . . . . . . 8
138137oveq1d 6290 . . . . . . 7
139133, 138eqeq12d 2482 . . . . . 6
140132oveq1d 6290 . . . . . . 7
141137oveq1d 6290 . . . . . . 7
142140, 141eqeq12d 2482 . . . . . 6
143132oveq1d 6290 . . . . . . 7
144137oveq1d 6290 . . . . . . 7
145143, 144eqeq12d 2482 . . . . . 6
146139, 142, 1453anbi123d 1294 . . . . 5
147128, 146bitr4d 256 . . . 4
148107, 127, 147, 84, 85, 86raltpd 4143 . . 3
149 an33rean 1337 . . . 4
150 eqid 2460 . . . . . . . 8 Itv Itv
15117, 18, 150, 20, 1, 27tgcgrtriv 23596 . . . . . . 7
15217, 18, 150, 20, 2, 28tgcgrtriv 23596 . . . . . . 7
15317, 18, 150, 20, 3, 29tgcgrtriv 23596 . . . . . . 7
154151, 152, 1533jca 1171 . . . . . 6
155154biantrurd 508 . . . . 5
156 simprl 755 . . . . . . 7
157 simpr 461 . . . . . . . 8
15820adantr 465 . . . . . . . . 9 TarskiG
1591adantr 465 . . . . . . . . 9
1602adantr 465 . . . . . . . . 9
16127adantr 465 . . . . . . . . 9
16228adantr 465 . . . . . . . . 9
16317, 18, 150, 158, 159, 160, 161, 162, 157tgcgrcomlr 23592 . . . . . . . 8
164157, 163jca 532 . . . . . . 7
165156, 164impbida 829 . . . . . 6
166 simprl 755 . . . . . . 7
167 simpr 461 . . . . . . . 8
16820adantr 465 . . . . . . . . 9 TarskiG
1692adantr 465 . . . . . . . . 9
1703adantr 465 . . . . . . . . 9
17128adantr 465 . . . . . . . . 9
17229adantr 465 . . . . . . . . 9
17317, 18, 150, 168, 169, 170, 171, 172, 167tgcgrcomlr 23592 . . . . . . . 8
174167, 173jca 532 . . . . . . 7
175166, 174impbida 829 . . . . . 6
176 simprr 756 . . . . . . 7
17720adantr 465 . . . . . . . . 9 TarskiG
1783adantr 465 . . . . . . . . 9
1791adantr 465 . . . . . . . . 9
18029adantr 465 . . . . . . . . 9
18127adantr 465 . . . . . . . . 9
182 simpr 461 . . . . . . . . 9
18317, 18, 150, 177, 178, 179, 180, 181, 182tgcgrcomlr 23592 . . . . . . . 8
184183, 182jca 532 . . . . . . 7
185176, 184impbida 829 . . . . . 6
186165, 175, 1853anbi123d 1294 . . . . 5
187155, 186bitr3d 255 . . . 4
188149, 187syl5bb 257 . . 3
189148, 188bitr2d 254 . 2
19016, 38, 1893bitr4d 285 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 968   wceq 1374   wcel 1762  wral 2807   wss 3469  ctp 4024   class class class wbr 4440   cdm 4992  wf 5575  cfv 5579  (class class class)co 6275  cr 9480  cc0 9481  c1 9482  c2 10574  c3 10575  ..^cfzo 11781  chash 12360  Word cword 12487  cs3 12757  cbs 14479  cds 14553  TarskiGcstrkg 23546  Itvcitv 23553  cgrGccgrg 23623 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-s1 12498  df-s2 12763  df-s3 12764  df-trkgc 23565  df-trkgcb 23567  df-trkg 23571  df-cgrg 23624 This theorem is referenced by:  trgcgr  23628  cgr3simp1  23632  cgr3simp2  23633  cgr3simp3  23634
 Copyright terms: Public domain W3C validator