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Theorem trgcgrg 23627
Description: The property for two triangles to be congruent to each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcgrg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
trgcgrg.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
trgcgrg.r  |-  .~  =  (cgrG `  G )
trgcgrg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
trgcgrg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
trgcgrg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
trgcgrg.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
trgcgrg.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
trgcgrg.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
trgcgrg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
Assertion
Ref Expression
trgcgrg  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D E F "> 
<->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )

Proof of Theorem trgcgrg
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trgcgrg.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
2 trgcgrg.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
3 trgcgrg.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
41, 2, 3s3cld 12785 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  e. Word  P )
5 wrdf 12506 . . . . . 6  |-  ( <" A B C ">  e. Word  P  ->  <" A B C "> :
( 0..^ ( # `  <" A B C "> )
) --> P )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" A B C "> :
( 0..^ ( # `  <" A B C "> )
) --> P )
7 s3len 12806 . . . . . . . 8  |-  ( # `  <" A B C "> )  =  3
87oveq2i 6286 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) )  =  ( 0..^ 3 )
9 fzo0to3tp 11857 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
108, 9eqtri 2489 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
1110feq2i 5715 . . . . 5  |-  ( <" A B C "> : ( 0..^ ( # `  <" A B C "> ) ) --> P  <->  <" A B C "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
126, 11sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" A B C "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
13 fdm 5726 . . . 4  |-  ( <" A B C "> : {
0 ,  1 ,  2 } --> P  ->  dom  <" A B C ">  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  <" A B C ">  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1514raleqdv 3057 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. j  e. 
dom  <" A B C "> (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <->  A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
1614, 15raleqbidv 3065 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. i  e. 
dom  <" A B C "> A. j  e.  dom  <" A B C "> (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <->  A. i  e.  { 0 ,  1 ,  2 } A. j  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 }  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
17 trgcgrg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
18 trgcgrg.m . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
19 trgcgrg.r . . 3  |-  .~  =  (cgrG `  G )
20 trgcgrg.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
21 0re 9585 . . . . 5  |-  0  e.  RR
22 1re 9584 . . . . 5  |-  1  e.  RR
23 2re 10594 . . . . 5  |-  2  e.  RR
24 tpssi 4186 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  { 0 ,  1 ,  2 }  C_  RR )
2521, 22, 23, 24mp3an 1319 . . . 4  |-  { 0 ,  1 ,  2 }  C_  RR
2625a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { 0 ,  1 ,  2 }  C_  RR )
27 trgcgrg.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
28 trgcgrg.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
29 trgcgrg.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
3027, 28, 29s3cld 12785 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" D E F ">  e. Word  P )
31 wrdf 12506 . . . . 5  |-  ( <" D E F ">  e. Word  P  ->  <" D E F "> :
( 0..^ ( # `  <" D E F "> )
) --> P )
3230, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" D E F "> :
( 0..^ ( # `  <" D E F "> )
) --> P )
33 s3len 12806 . . . . . . 7  |-  ( # `  <" D E F "> )  =  3
3433oveq2i 6286 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  <" D E F "> ) )  =  ( 0..^ 3 )
3534, 9eqtri 2489 . . . . 5  |-  ( 0..^ ( # `  <" D E F "> ) )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
3635feq2i 5715 . . . 4  |-  ( <" D E F "> : ( 0..^ ( # `  <" D E F "> ) ) --> P  <->  <" D E F "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
3732, 36sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  <" D E F "> : { 0 ,  1 ,  2 } --> P )
3817, 18, 19, 20, 26, 12, 37iscgrgd 23626 . 2  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D E F "> 
<-> 
A. i  e.  dom  <" A B C "> A. j  e.  dom  <" A B C "> (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
39 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  0  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  0
) )
4039adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  0
) )
41 s3fv0 12803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  P  ->  ( <" A B C "> `  0
)  =  A )
421, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <" A B C "> `  0
)  =  A )
4342adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  0
)  =  A )
4440, 43eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  A )
4544oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
46 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  0  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  0
) )
4746adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  0
) )
48 s3fv0 12803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  P  ->  ( <" D E F "> `  0
)  =  D )
4927, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <" D E F "> `  0
)  =  D )
5049adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  0
)  =  D )
5147, 50eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  D )
5251oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  (
( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
5345, 52eqeq12d 2482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  = 
0 )  ->  (
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
54 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  1  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  1
) )
5554adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  1
) )
56 s3fv1 12804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  P  ->  ( <" A B C "> `  1
)  =  B )
572, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <" A B C "> `  1
)  =  B )
5857adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  1
)  =  B )
5955, 58eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  B )
6059oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
61 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  1  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  1
) )
6261adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  1
) )
63 s3fv1 12804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  P  ->  ( <" D E F "> `  1
)  =  E )
6428, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <" D E F "> `  1
)  =  E )
6564adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  1
)  =  E )
6662, 65eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  E )
6766oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
6860, 67eqeq12d 2482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  = 
1 )  ->  (
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
69 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  2  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  2
) )
7069adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  ( <" A B C "> `  2
) )
71 s3fv2 12805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  P  ->  ( <" A B C "> `  2
)  =  C )
723, 71syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <" A B C "> `  2
)  =  C )
7372adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  2
)  =  C )
7470, 73eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  j
)  =  C )
7574oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
76 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  2  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  2
) )
7776adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  ( <" D E F "> `  2
) )
78 s3fv2 12805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  P  ->  ( <" D E F "> `  2
)  =  F )
7929, 78syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <" D E F "> `  2
)  =  F )
8079adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  2
)  =  F )
8177, 80eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  j
)  =  F )
8281oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  (
( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
8375, 82eqeq12d 2482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  = 
2 )  ->  (
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
8421a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8522a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
8623a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
8753, 68, 83, 84, 85, 86raltpd 4143 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. j  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 }  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
8887adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
89 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  0
) )
9089adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  0
) )
9142adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" A B C "> `  0
)  =  A )
9290, 91eqtr2d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  A  =  ( <" A B C "> `  i
) )
9392oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A  .-  A )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
94 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  0
) )
9594adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  0
) )
9649adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( <" D E F "> `  0
)  =  D )
9795, 96eqtr2d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  D  =  ( <" D E F "> `  i
) )
9897oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( D  .-  D )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
9993, 98eqeq12d 2482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
10092oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A  .-  B )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
10197oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( D  .-  E )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
102100, 101eqeq12d 2482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( D 
.-  E )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
10392oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A  .-  C )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
10497oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( D  .-  F )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
105103, 104eqeq12d 2482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
10699, 102, 1053anbi123d 1294 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  (
( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  <->  ( ( (
<" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
10788, 106bitr4d 256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  = 
0 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) ) ) )
10887adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
109 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  1
) )
110109adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  1
) )
11157adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" A B C "> `  1
)  =  B )
112110, 111eqtr2d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  B  =  ( <" A B C "> `  i
) )
113112oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( B  .-  A )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
114 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  1
) )
115114adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  1
) )
11664adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( <" D E F "> `  1
)  =  E )
117115, 116eqtr2d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  E  =  ( <" D E F "> `  i
) )
118117oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( E  .-  D )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
119113, 118eqeq12d 2482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( B  .-  A
)  =  ( E 
.-  D )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
120112oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( B  .-  B )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
121117oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( E  .-  E )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
122120, 121eqeq12d 2482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( B  .-  B
)  =  ( E 
.-  E )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
123112oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( B  .-  C )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
124117oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( E  .-  F )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
125123, 124eqeq12d 2482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
126119, 122, 1253anbi123d 1294 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  (
( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  <->  ( ( (
<" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
127108, 126bitr4d 256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  = 
1 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) ) ) )
12887adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
129 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  2  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  2
) )
130129adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  i
)  =  ( <" A B C "> `  2
) )
13172adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" A B C "> `  2
)  =  C )
132130, 131eqtr2d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  C  =  ( <" A B C "> `  i
) )
133132oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( C  .-  A )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )
)
134 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  2  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  2
) )
135134adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  i
)  =  ( <" D E F "> `  2
) )
13679adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( <" D E F "> `  2
)  =  F )
137135, 136eqtr2d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  F  =  ( <" D E F "> `  i
) )
138137oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( F  .-  D )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
)
139133, 138eqeq12d 2482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( C  .-  A
)  =  ( F 
.-  D )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )
) )
140132oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( C  .-  B )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )
)
141137oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( F  .-  E )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
)
142140, 141eqeq12d 2482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( C  .-  B
)  =  ( F 
.-  E )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )
) )
143132oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( C  .-  C )  =  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )
)
144137oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( F  .-  F )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
)
145143, 144eqeq12d 2482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( C  .-  C
)  =  ( F 
.-  F )  <->  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) )
146139, 142, 1453anbi123d 1294 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  (
( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) )  <->  ( ( (
<" A B C "> `  i
)  .-  A )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  D )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  B )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  E )  /\  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  C )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  F )
) ) )
147128, 146bitr4d 256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  = 
2 )  ->  ( A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) ) )
148107, 127, 147, 84, 85, 86raltpd 4143 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. i  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 } A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( ( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) )  <-> 
( ( ( A 
.-  A )  =  ( D  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  /\  ( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  /\  ( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) ) ) )
149 an33rean 1337 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  /\  ( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  /\  ( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) )  <->  ( (
( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F
) )  /\  (
( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
) )  /\  (
( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) ) )
150 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  (Itv `  G )  =  (Itv
`  G )
15117, 18, 150, 20, 1, 27tgcgrtriv 23596 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D ) )
15217, 18, 150, 20, 2, 28tgcgrtriv 23596 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  .-  B
)  =  ( E 
.-  E ) )
15317, 18, 150, 20, 3, 29tgcgrtriv 23596 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  .-  C
)  =  ( F 
.-  F ) )
154151, 152, 1533jca 1171 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) )
155154biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D
) )  /\  (
( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )  <->  ( (
( A  .-  A
)  =  ( D 
.-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E )  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F
) )  /\  (
( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
) )  /\  (
( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) ) ) )
156 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
) )
157 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )
15820adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  G  e. TarskiG )
1591adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  A  e.  P )
1602adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  B  e.  P )
16127adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  D  e.  P )
16228adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  E  e.  P )
16317, 18, 150, 158, 159, 160, 161, 162, 157tgcgrcomlr 23592 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )
164157, 163jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) )  ->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) ) )
165156, 164impbida 829 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  <->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E ) ) )
166 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F
)  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) ) )  ->  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F
) )
167 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )
16820adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  G  e. TarskiG )
1692adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  B  e.  P )
1703adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  C  e.  P )
17128adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  E  e.  P )
17229adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  F  e.  P )
17317, 18, 150, 168, 169, 170, 171, 172, 167tgcgrcomlr 23592 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )
174167, 173jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  ->  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F
)  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) ) )
175166, 174impbida 829 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.-  C )  =  ( E  .-  F
)  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  <->  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) ) )
176 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F
)  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D
) )
17720adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  G  e. TarskiG )
1783adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  C  e.  P )
1791adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  A  e.  P )
18029adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  F  e.  P )
18127adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  D  e.  P )
182 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )
18317, 18, 150, 177, 178, 179, 180, 181, 182tgcgrcomlr 23592 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )
184183, 182jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  ->  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F
)  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )
185176, 184impbida 829 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  C )  =  ( D  .-  F
)  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  <->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )
186165, 175, 1853anbi123d 1294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D
) )  /\  (
( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )  <->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
187155, 186bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) )  /\  ( ( ( A  .-  B
)  =  ( D 
.-  E )  /\  ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D ) )  /\  ( ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E ) )  /\  ( ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D
) ) ) )  <-> 
( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
188149, 187syl5bb 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  A )  =  ( D  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F ) )  /\  ( ( B  .-  A )  =  ( E  .-  D )  /\  ( B  .-  B )  =  ( E  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F ) )  /\  ( ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D )  /\  ( C  .-  B )  =  ( F  .-  E
)  /\  ( C  .-  C )  =  ( F  .-  F ) ) )  <->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
189148, 188bitr2d 254 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  =  ( D  .-  E
)  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )  <->  A. i  e.  {
0 ,  1 ,  2 } A. j  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  (
( <" A B C "> `  i
)  .-  ( <" A B C "> `  j ) )  =  ( ( <" D E F "> `  i
)  .-  ( <" D E F "> `  j ) ) ) )
19016, 38, 1893bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D E F "> 
<->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807    C_ wss 3469   {ctp 4024   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   2c2 10574   3c3 10575  ..^cfzo 11781   #chash 12360  Word cword 12487   <"cs3 12757   Basecbs 14479   distcds 14553  TarskiGcstrkg 23546  Itvcitv 23553  cgrGccgrg 23623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-s1 12498  df-s2 12763  df-s3 12764  df-trkgc 23565  df-trkgcb 23567  df-trkg 23571  df-cgrg 23624
This theorem is referenced by:  trgcgr  23628  cgr3simp1  23632  cgr3simp2  23633  cgr3simp3  23634
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