MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trgcgr Structured version   Unicode version

Theorem trgcgr 23630
Description: Triangle congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcgrg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
trgcgrg.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
trgcgrg.r  |-  .~  =  (cgrG `  G )
trgcgrg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
trgcgrg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
trgcgrg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
trgcgrg.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
trgcgrg.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
trgcgrg.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
trgcgrg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
trgcgr.1  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  =  ( D 
.-  E ) )
trgcgr.2  |-  ( ph  ->  ( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F ) )
trgcgr.3  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( F 
.-  D ) )
Assertion
Ref Expression
trgcgr  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  .~  <" D E F "> )

Proof of Theorem trgcgr
StepHypRef Expression
1 trgcgr.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  =  ( D 
.-  E ) )
2 trgcgr.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F ) )
3 trgcgr.3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( F 
.-  D ) )
41, 2, 33jca 1171 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) )
5 trgcgrg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
6 trgcgrg.m . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
7 trgcgrg.r . . 3  |-  .~  =  (cgrG `  G )
8 trgcgrg.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
9 trgcgrg.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
10 trgcgrg.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
11 trgcgrg.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
12 trgcgrg.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
13 trgcgrg.e . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
14 trgcgrg.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
155, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14trgcgrg 23629 . 2  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D E F "> 
<->  ( ( A  .-  B )  =  ( D  .-  E )  /\  ( B  .-  C )  =  ( E  .-  F )  /\  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) ) ) )
164, 15mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  .~  <" D E F "> )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   <"cs3 12759   Basecbs 14481   distcds 14555  TarskiGcstrkg 23548  cgrGccgrg 23625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-hash 12363  df-word 12497  df-concat 12499  df-s1 12500  df-s2 12765  df-s3 12766  df-trkgc 23567  df-trkgcb 23569  df-trkg 23573  df-cgrg 23626
This theorem is referenced by:  tgcgrxfr  23632  cgr3id  23633  cgr3swap12  23637  cgr3swap23  23638  trgcgrcom  23639  cgr3tr  23640  motcgr3  23655  lnext  23676  mirbtwni  23759  symquadlem  23769  midexlem  23772  footex  23798
  Copyright terms: Public domain W3C validator