MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfil3 Structured version   Unicode version

Theorem trfil3 20555
Description: Conditions for the trace of a filter  L to be a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )

Proof of Theorem trfil3
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trfil2 20554 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/) ) )
2 dfral2 2901 . . 3  |-  ( A. v  e.  L  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  -.  E. v  e.  L  -.  (
v  i^i  A )  =/=  (/) )
3 nne 2655 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  ( v  i^i  A )  =  (/) )
4 filelss 20519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  v  e.  L )  ->  v  C_  Y )
5 reldisj 3858 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  Y  ->  (
( v  i^i  A
)  =  (/)  <->  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  v  e.  L )  ->  (
( v  i^i  A
)  =  (/)  <->  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
73, 6syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  v  e.  L )  ->  ( -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
87rexbidva 2962 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
98adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
10 difssd 3618 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  Y  ->  ( Y  \  A )  C_  Y )
11 elfilss 20543 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( Y  \  A )  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  L  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
1210, 11sylan2 472 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  L  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
139, 12bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  ( Y  \  A )  e.  L
) )
1413notbid 292 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  -.  ( Y  \  A )  e.  L ) )
152, 14syl5bb 257 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  -.  ( Y  \  A )  e.  L ) )
161, 15bitrd 253 1  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ↾t crest 14910   Filcfil 20512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-rest 14912  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-fil 20513
This theorem is referenced by:  fgtr  20557  trufil  20577  flimrest  20650  fclsrest  20691  cfilres  21901  relcmpcmet  21921
  Copyright terms: Public domain W3C validator