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Theorem trfil2 20682
Description: Conditions for the trace of a filter  L to be a filter. (Contributed by FL, 2-Sep-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, L    v, Y

Proof of Theorem trfil2
Dummy variables  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  C_  Y )
2 dfss1 3646 . . . . 5  |-  ( A 
C_  Y  <->  ( Y  i^i  A )  =  A )
31, 2sylib 198 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Y  i^i  A )  =  A )
4 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
5 id 23 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  Y  ->  A  C_  Y )
6 filtop 20650 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  L )
7 ssexg 4542 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  L )  ->  A  e.  _V )
85, 6, 7syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
96adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  Y  e.  L )
10 elrestr 15045 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  Y  e.  L )  ->  ( Y  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
114, 8, 9, 10syl3anc 1232 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Y  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
123, 11eqeltrrd 2493 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  ( Lt  A ) )
13 elpwi 3966 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
14 vex 3064 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
1514inex1 4537 . . . . . . . . 9  |-  ( u  i^i  A )  e. 
_V
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  u  e.  L )  ->  (
u  i^i  A )  e.  _V )
17 elrest 15044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
y  e.  ( Lt  A )  <->  E. u  e.  L  y  =  ( u  i^i  A ) ) )
188, 17syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
y  e.  ( Lt  A )  <->  E. u  e.  L  y  =  ( u  i^i  A ) ) )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  ->  ( y  e.  ( Lt  A )  <->  E. u  e.  L  y  =  ( u  i^i  A ) ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  y  =  ( u  i^i  A ) )  ->  y  =  ( u  i^i  A ) )
2120sseq1d 3471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  y  =  ( u  i^i  A ) )  ->  ( y  C_  x  <->  ( u  i^i 
A )  C_  x
) )
2216, 19, 21rexxfr2d 4610 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  ->  ( E. y  e.  ( Lt  A
) y  C_  x  <->  E. u  e.  L  ( u  i^i  A ) 
C_  x ) )
23 indir 3700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  u.  x )  i^i  A )  =  ( ( u  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  A )
)
24 simplr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  x  C_  A )
25 df-ss 3430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  A  <->  ( x  i^i  A )  =  x )
2624, 25sylib 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( x  i^i  A
)  =  x )
2726uneq2d 3599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  A )
)  =  ( ( u  i^i  A )  u.  x ) )
28 simprr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( u  i^i  A
)  C_  x )
29 ssequn1 3615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  A ) 
C_  x  <->  ( (
u  i^i  A )  u.  x )  =  x )
3028, 29sylib 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  i^i 
A )  u.  x
)  =  x )
3127, 30eqtrd 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  A )
)  =  x )
3223, 31syl5eq 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  u.  x )  i^i  A
)  =  x )
33 simplll 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
34 simpllr 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  A  C_  Y )
3533, 34, 8syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  A  e.  _V )
36 simprl 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  u  e.  L )
37 filelss 20647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  u  e.  L )  ->  u  C_  Y )
3833, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  u  C_  Y )
3924, 34sstrd 3454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  x  C_  Y )
4038, 39unssd 3621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( u  u.  x
)  C_  Y )
41 ssun1 3608 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  C_  ( u  u.  x
)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  u  C_  ( u  u.  x ) )
43 filss 20648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
u  e.  L  /\  ( u  u.  x
)  C_  Y  /\  u  C_  ( u  u.  x ) ) )  ->  ( u  u.  x )  e.  L
)
4433, 36, 40, 42, 43syl13anc 1234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( u  u.  x
)  e.  L )
45 elrestr 15045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  ( u  u.  x )  e.  L )  ->  (
( u  u.  x
)  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
4633, 35, 44, 45syl3anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  u.  x )  i^i  A
)  e.  ( Lt  A ) )
4732, 46eqeltrrd 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  x  e.  ( Lt  A
) )
4847rexlimdvaa 2899 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  ->  ( E. u  e.  L  (
u  i^i  A )  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
4922, 48sylbid 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  ->  ( E. y  e.  ( Lt  A
) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
5049ex 434 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  C_  A  ->  ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) ) )
5113, 50syl5 32 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  ~P A  ->  ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) ) )
5251ralrimiv 2818 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
53 simpll 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  L  /\  u  e.  L ) )  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
548adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  L  /\  u  e.  L ) )  ->  A  e.  _V )
55 filin 20649 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  z  e.  L  /\  u  e.  L )  ->  (
z  i^i  u )  e.  L )
56553expb 1200 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
z  e.  L  /\  u  e.  L )
)  ->  ( z  i^i  u )  e.  L
)
5756adantlr 715 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  L  /\  u  e.  L ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  L )
58 elrestr 15045 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  ( z  i^i  u )  e.  L )  ->  (
( z  i^i  u
)  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
5953, 54, 57, 58syl3anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  L  /\  u  e.  L ) )  -> 
( ( z  i^i  u )  i^i  A
)  e.  ( Lt  A ) )
6059ralrimivva 2827 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. z  e.  L  A. u  e.  L  ( (
z  i^i  u )  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
61 vex 3064 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
6261inex1 4537 . . . . . 6  |-  ( z  i^i  A )  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  z  e.  L )  ->  (
z  i^i  A )  e.  _V )
64 elrest 15044 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
x  e.  ( Lt  A )  <->  E. z  e.  L  x  =  ( z  i^i  A ) ) )
658, 64syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  ( Lt  A )  <->  E. z  e.  L  x  =  ( z  i^i  A ) ) )
6615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  u  e.  L )  ->  (
u  i^i  A )  e.  _V )
6718adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  ->  (
y  e.  ( Lt  A )  <->  E. u  e.  L  y  =  ( u  i^i  A ) ) )
68 ineq12 3638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( u  i^i  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  A )  i^i  ( u  i^i 
A ) ) )
69 inindir 3659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  i^i  u )  i^i  A )  =  ( ( z  i^i 
A )  i^i  (
u  i^i  A )
)
7068, 69syl6eqr 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( u  i^i  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  u )  i^i  A ) )
7170adantll 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  y  =  ( u  i^i 
A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  u )  i^i  A ) )
7271eleq1d 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  y  =  ( u  i^i 
A ) )  -> 
( ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A )  <->  ( (
z  i^i  u )  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) ) )
7366, 67, 72ralxfr2d 4609 . . . . 5  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  ->  ( A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A )  <->  A. u  e.  L  ( (
z  i^i  u )  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) ) )
7463, 65, 73ralxfr2d 4609 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A )  <->  A. z  e.  L  A. u  e.  L  ( (
z  i^i  u )  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) ) )
7560, 74mpbird 234 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) )
76 isfil2 20651 . . . . . 6  |-  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <-> 
( ( ( Lt  A )  C_  ~P A  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )
77 restsspw 15048 . . . . . . . 8  |-  ( Lt  A )  C_  ~P A
78 3anass 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Lt  A )  C_  ~P A  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  <->  ( ( Lt  A )  C_  ~P A  /\  ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) ) ) )
7977, 78mpbiran 921 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lt  A )  C_  ~P A  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  <->  ( -.  (/) 
e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) ) )
80793anbi1i 1190 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Lt  A ) 
C_  ~P A  /\  -.  (/) 
e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )
81 3anass 980 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) ) )
8276, 80, 813bitri 273 . . . . 5  |-  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <-> 
( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) ) )
83 anass 649 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )  <-> 
( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  ( A  e.  ( Lt  A
)  /\  ( A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) ) ) )
84 ancom 450 . . . . 5  |-  ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  ( A  e.  ( Lt  A )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A
) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( Lt  A )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A
) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
8582, 83, 843bitri 273 . . . 4  |-  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <-> 
( ( A  e.  ( Lt  A )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
8685baib 906 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Lt  A )  /\  ( A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )  ->  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
8712, 52, 75, 86syl12anc 1230 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
88 nesym 2677 . . . 4  |-  ( ( v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
8988ralbii 2837 . . 3  |-  ( A. v  e.  L  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  A. v  e.  L  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
90 elrest 15044 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  ( (/) 
e.  ( Lt  A )  <->  E. v  e.  L  (/)  =  ( v  i^i 
A ) ) )
918, 90syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( (/) 
e.  ( Lt  A )  <->  E. v  e.  L  (/)  =  ( v  i^i 
A ) ) )
92 dfrex2 2857 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  L  (/)  =  ( v  i^i 
A )  <->  -.  A. v  e.  L  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
9391, 92syl6bb 263 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( (/) 
e.  ( Lt  A )  <->  -.  A. v  e.  L  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) ) )
9493con2bid 329 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. v  e.  L  -.  (/)  =  ( v  i^i  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
9589, 94syl5bb 259 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
9687, 95bitr4d 258 1  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3061    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   ↾t crest 15037   Filcfil 20640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-rest 15039  df-fbas 18738  df-fil 20641
This theorem is referenced by:  trfil3  20683  trnei  20687
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