MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfil2 Structured version   Unicode version

Theorem trfil2 20514
Description: Conditions for the trace of a filter  L to be a filter. (Contributed by FL, 2-Sep-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, L    v, Y

Proof of Theorem trfil2
Dummy variables  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  C_  Y )
2 dfss1 3699 . . . . 5  |-  ( A 
C_  Y  <->  ( Y  i^i  A )  =  A )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Y  i^i  A )  =  A )
4 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
5 id 22 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  Y  ->  A  C_  Y )
6 filtop 20482 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  L )
7 ssexg 4602 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  L )  ->  A  e.  _V )
85, 6, 7syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
96adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  Y  e.  L )
10 elrestr 14846 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  Y  e.  L )  ->  ( Y  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
114, 8, 9, 10syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Y  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
123, 11eqeltrrd 2546 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  ( Lt  A ) )
13 elpwi 4024 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
14 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
1514inex1 4597 . . . . . . . . 9  |-  ( u  i^i  A )  e. 
_V
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  u  e.  L )  ->  (
u  i^i  A )  e.  _V )
17 elrest 14845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
y  e.  ( Lt  A )  <->  E. u  e.  L  y  =  ( u  i^i  A ) ) )
188, 17syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
y  e.  ( Lt  A )  <->  E. u  e.  L  y  =  ( u  i^i  A ) ) )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  ->  ( y  e.  ( Lt  A )  <->  E. u  e.  L  y  =  ( u  i^i  A ) ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  y  =  ( u  i^i  A ) )  ->  y  =  ( u  i^i  A ) )
2120sseq1d 3526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  y  =  ( u  i^i  A ) )  ->  ( y  C_  x  <->  ( u  i^i 
A )  C_  x
) )
2216, 19, 21rexxfr2d 4673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  ->  ( E. y  e.  ( Lt  A
) y  C_  x  <->  E. u  e.  L  ( u  i^i  A ) 
C_  x ) )
23 indir 3753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  u.  x )  i^i  A )  =  ( ( u  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  A )
)
24 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  x  C_  A )
25 df-ss 3485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  A  <->  ( x  i^i  A )  =  x )
2624, 25sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( x  i^i  A
)  =  x )
2726uneq2d 3654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  A )
)  =  ( ( u  i^i  A )  u.  x ) )
28 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( u  i^i  A
)  C_  x )
29 ssequn1 3670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  A ) 
C_  x  <->  ( (
u  i^i  A )  u.  x )  =  x )
3028, 29sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  i^i 
A )  u.  x
)  =  x )
3127, 30eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  A )
)  =  x )
3223, 31syl5eq 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  u.  x )  i^i  A
)  =  x )
33 simplll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
34 simpllr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  A  C_  Y )
3533, 34, 8syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  A  e.  _V )
36 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  u  e.  L )
37 filelss 20479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  u  e.  L )  ->  u  C_  Y )
3833, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  u  C_  Y )
3924, 34sstrd 3509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  x  C_  Y )
4038, 39unssd 3676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( u  u.  x
)  C_  Y )
41 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  C_  ( u  u.  x
)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  u  C_  ( u  u.  x ) )
43 filss 20480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
u  e.  L  /\  ( u  u.  x
)  C_  Y  /\  u  C_  ( u  u.  x ) ) )  ->  ( u  u.  x )  e.  L
)
4433, 36, 40, 42, 43syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( u  u.  x
)  e.  L )
45 elrestr 14846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  ( u  u.  x )  e.  L )  ->  (
( u  u.  x
)  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
4633, 35, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  u.  x )  i^i  A
)  e.  ( Lt  A ) )
4732, 46eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  x  e.  ( Lt  A
) )
4847rexlimdvaa 2950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  ->  ( E. u  e.  L  (
u  i^i  A )  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
4922, 48sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  ->  ( E. y  e.  ( Lt  A
) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
5049ex 434 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  C_  A  ->  ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) ) )
5113, 50syl5 32 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  ~P A  ->  ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) ) )
5251ralrimiv 2869 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
53 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  L  /\  u  e.  L ) )  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
548adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  L  /\  u  e.  L ) )  ->  A  e.  _V )
55 filin 20481 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  z  e.  L  /\  u  e.  L )  ->  (
z  i^i  u )  e.  L )
56553expb 1197 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
z  e.  L  /\  u  e.  L )
)  ->  ( z  i^i  u )  e.  L
)
5756adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  L  /\  u  e.  L ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  L )
58 elrestr 14846 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  ( z  i^i  u )  e.  L )  ->  (
( z  i^i  u
)  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
5953, 54, 57, 58syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  L  /\  u  e.  L ) )  -> 
( ( z  i^i  u )  i^i  A
)  e.  ( Lt  A ) )
6059ralrimivva 2878 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. z  e.  L  A. u  e.  L  ( (
z  i^i  u )  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
61 vex 3112 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
6261inex1 4597 . . . . . 6  |-  ( z  i^i  A )  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  z  e.  L )  ->  (
z  i^i  A )  e.  _V )
64 elrest 14845 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
x  e.  ( Lt  A )  <->  E. z  e.  L  x  =  ( z  i^i  A ) ) )
658, 64syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  ( Lt  A )  <->  E. z  e.  L  x  =  ( z  i^i  A ) ) )
6615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  u  e.  L )  ->  (
u  i^i  A )  e.  _V )
6718adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  ->  (
y  e.  ( Lt  A )  <->  E. u  e.  L  y  =  ( u  i^i  A ) ) )
68 ineq12 3691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( u  i^i  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  A )  i^i  ( u  i^i 
A ) ) )
69 inindir 3712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  i^i  u )  i^i  A )  =  ( ( z  i^i 
A )  i^i  (
u  i^i  A )
)
7068, 69syl6eqr 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( u  i^i  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  u )  i^i  A ) )
7170adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  y  =  ( u  i^i 
A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  u )  i^i  A ) )
7271eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  y  =  ( u  i^i 
A ) )  -> 
( ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A )  <->  ( (
z  i^i  u )  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) ) )
7366, 67, 72ralxfr2d 4672 . . . . 5  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  ->  ( A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A )  <->  A. u  e.  L  ( (
z  i^i  u )  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) ) )
7463, 65, 73ralxfr2d 4672 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A )  <->  A. z  e.  L  A. u  e.  L  ( (
z  i^i  u )  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) ) )
7560, 74mpbird 232 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) )
76 isfil2 20483 . . . . . 6  |-  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <-> 
( ( ( Lt  A )  C_  ~P A  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )
77 restsspw 14849 . . . . . . . 8  |-  ( Lt  A )  C_  ~P A
78 3anass 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Lt  A )  C_  ~P A  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  <->  ( ( Lt  A )  C_  ~P A  /\  ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) ) ) )
7977, 78mpbiran 918 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lt  A )  C_  ~P A  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  <->  ( -.  (/) 
e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) ) )
80793anbi1i 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Lt  A ) 
C_  ~P A  /\  -.  (/) 
e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )
81 3anass 977 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) ) )
8276, 80, 813bitri 271 . . . . 5  |-  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <-> 
( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) ) )
83 anass 649 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )  <-> 
( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  ( A  e.  ( Lt  A
)  /\  ( A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) ) ) )
84 ancom 450 . . . . 5  |-  ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  ( A  e.  ( Lt  A )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A
) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( Lt  A )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A
) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
8582, 83, 843bitri 271 . . . 4  |-  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <-> 
( ( A  e.  ( Lt  A )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
8685baib 903 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Lt  A )  /\  ( A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )  ->  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
8712, 52, 75, 86syl12anc 1226 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
88 nesym 2729 . . . 4  |-  ( ( v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
8988ralbii 2888 . . 3  |-  ( A. v  e.  L  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  A. v  e.  L  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
90 elrest 14845 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  ( (/) 
e.  ( Lt  A )  <->  E. v  e.  L  (/)  =  ( v  i^i 
A ) ) )
918, 90syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( (/) 
e.  ( Lt  A )  <->  E. v  e.  L  (/)  =  ( v  i^i 
A ) ) )
92 dfrex2 2908 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  L  (/)  =  ( v  i^i 
A )  <->  -.  A. v  e.  L  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
9391, 92syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( (/) 
e.  ( Lt  A )  <->  -.  A. v  e.  L  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) ) )
9493con2bid 329 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. v  e.  L  -.  (/)  =  ( v  i^i  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
9589, 94syl5bb 257 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
9687, 95bitr4d 256 1  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ↾t crest 14838   Filcfil 20472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-rest 14840  df-fbas 18543  df-fil 20473
This theorem is referenced by:  trfil3  20515  trnei  20519
  Copyright terms: Public domain W3C validator