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Theorem trfil2 20514
Description: Conditions for the trace of a filter L to be a filter. (Contributed by FL, 2-Sep-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil2 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) ) )
Distinct variable groups:   v, A   v, L   v, Y
Proof of Theorem trfil2
Dummy variables u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A C_ Y )
2 dfss1 3699 . . . . 5 |- ( A C_ Y <-> ( Y i^i A ) = A )
31, 2sylib 196 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( Y i^i A ) = A )
4 simpl 457 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
5 id 22 . . . . . 6 |- ( A C_ Y -> A C_ Y )
6 filtop 20482 . . . . . 6 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> Y e. L )
7 ssexg 4602 . . . . . 6 |- ( ( A C_ Y /\ Y e. L ) -> A e. _V )
85, 6, 7syl2anr 478 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A e. _V )
96adantr 465 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> Y e. L )
10 elrestr 14846 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V /\ Y e. L ) -> ( Y i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
114, 8, 9, 10syl3anc 1228 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( Y i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
123, 11eqeltrrd 2546 . . 3 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A e. ( L ↾t A ) )
13 elpwi 4024 . . . . 5 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
14 vex 3112 . . . . . . . . . 10 |- u e. _V
1514inex1 4597 . . . . . . . . 9 |- ( u i^i A ) e. _V
1615a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ u e. L ) -> ( u i^i A ) e. _V )
17 elrest 14845 . . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( y e. ( L ↾t A ) <-> E. u e. L y = ( u i^i A ) ) )
188, 17syldan 470 . . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( y e. ( L ↾t A ) <-> E. u e. L y = ( u i^i A ) ) )
1918adantr 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( y e. ( L ↾t A ) <-> E. u e. L y = ( u i^i A ) ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> y = ( u i^i A ) )
2120sseq1d 3526 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( y C_ x <-> ( u i^i A ) C_ x ) )
2216, 19, 21rexxfr2d 4673 . . . . . . 7 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x <-> E. u e. L ( u i^i A ) C_ x ) )
23 indir 3753 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u u. x ) i^i A ) = ( ( u i^i A ) u. ( x i^i A ) )
24 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> x C_ A )
25 df-ss 3485 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x C_ A <-> ( x i^i A ) = x )
2624, 25sylib 196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( x i^i A ) = x )
2726uneq2d 3654 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u i^i A ) u. ( x i^i A ) ) = ( ( u i^i A ) u. x ) )
28 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( u i^i A ) C_ x )
29 ssequn1 3670 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i A ) C_ x <-> ( ( u i^i A ) u. x ) = x )
3028, 29sylib 196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u i^i A ) u. x ) = x )
3127, 30eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u i^i A ) u. ( x i^i A ) ) = x )
3223, 31syl5eq 2510 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u u. x ) i^i A ) = x )
33 simplll 759 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
34 simpllr 760 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> A C_ Y )
3533, 34, 8syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> A e. _V )
36 simprl 756 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> u e. L )
37 filelss 20479 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ u e. L ) -> u C_ Y )
3833, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> u C_ Y )
3924, 34sstrd 3509 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> x C_ Y )
4038, 39unssd 3676 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( u u. x ) C_ Y )
41 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . 12 |- u C_ ( u u. x )
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> u C_ ( u u. x ) )
43 filss 20480 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ ( u e. L /\ ( u u. x ) C_ Y /\ u C_ ( u u. x ) ) ) -> ( u u. x ) e. L )
4433, 36, 40, 42, 43syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( u u. x ) e. L )
45 elrestr 14846 . . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V /\ ( u u. x ) e. L ) -> ( ( u u. x ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
4633, 35, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u u. x ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
4732, 46eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> x e. ( L ↾t A ) )
4847rexlimdvaa 2950 . . . . . . 7 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( E. u e. L ( u i^i A ) C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) )
4922, 48sylbid 215 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) )
5049ex 434 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x C_ A -> ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) ) )
5113, 50syl5 32 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x e. ~P A -> ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) ) )
5251ralrimiv 2869 . . 3 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) )
53 simpll 753 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
548adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> A e. _V )
55 filin 20481 . . . . . . . 8 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ z e. L /\ u e. L ) -> ( z i^i u ) e. L )
56553expb 1197 . . . . . . 7 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> ( z i^i u ) e. L )
5756adantlr 714 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> ( z i^i u ) e. L )
58 elrestr 14846 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V /\ ( z i^i u ) e. L ) -> ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
5953, 54, 57, 58syl3anc 1228 . . . . 5 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
6059ralrimivva 2878 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A. z e. L A. u e. L ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
61 vex 3112 . . . . . . 7 |- z e. _V
6261inex1 4597 . . . . . 6 |- ( z i^i A ) e. _V
6362a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ z e. L ) -> ( z i^i A ) e. _V )
64 elrest 14845 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( x e. ( L ↾t A ) <-> E. z e. L x = ( z i^i A ) ) )
658, 64syldan 470 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x e. ( L ↾t A ) <-> E. z e. L x = ( z i^i A ) ) )
6615a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) /\ u e. L ) -> ( u i^i A ) e. _V )
6718adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) -> ( y e. ( L ↾t A ) <-> E. u e. L y = ( u i^i A ) ) )
68 ineq12 3691 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( z i^i A ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( x i^i y ) = ( ( z i^i A ) i^i ( u i^i A ) ) )
69 inindir 3712 . . . . . . . . 9 |- ( ( z i^i u ) i^i A ) = ( ( z i^i A ) i^i ( u i^i A ) )
7068, 69syl6eqr 2516 . . . . . . . 8 |- ( ( x = ( z i^i A ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( x i^i y ) = ( ( z i^i u ) i^i A ) )
7170adantll 713 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( x i^i y ) = ( ( z i^i u ) i^i A ) )
7271eleq1d 2526 . . . . . 6 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) <-> ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
7366, 67, 72ralxfr2d 4672 . . . . 5 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) -> ( A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) <-> A. u e. L ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
7463, 65, 73ralxfr2d 4672 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) <-> A. z e. L A. u e. L ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
7560, 74mpbird 232 . . 3 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) )
76 isfil2 20483 . . . . . 6 |- ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> ( ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) )
77 restsspw 14849 . . . . . . . 8 |- ( L ↾t A ) C_ ~P A
78 3anass 977 . . . . . . . 8 |- ( ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) <-> ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) ) )
7977, 78mpbiran 918 . . . . . . 7 |- ( ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) <-> ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) )
80793anbi1i 1187 . . . . . 6 |- ( ( ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) <-> ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) )
81 3anass 977 . . . . . 6 |- ( ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) <-> ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) )
8276, 80, 813bitri 271 . . . . 5 |- ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) )
83 anass 649 . . . . 5 |- ( ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) <-> ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) ) )
84 ancom 450 . . . . 5 |- ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
8582, 83, 843bitri 271 . . . 4 |- ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> ( ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
8685baib 903 . . 3 |- ( ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
8712, 52, 75, 86syl12anc 1226 . 2 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
88 nesym 2729 . . . 4 |- ( ( v i^i A ) =/= (/) <-> -. (/) = ( v i^i A ) )
8988ralbii 2888 . . 3 |- ( A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) <-> A. v e. L -. (/) = ( v i^i A ) )
90 elrest 14845 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( (/) e. ( L ↾t A ) <-> E. v e. L (/) = ( v i^i A ) ) )
918, 90syldan 470 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( (/) e. ( L ↾t A ) <-> E. v e. L (/) = ( v i^i A ) ) )
92 dfrex2 2908 . . . . 5 |- ( E. v e. L (/) = ( v i^i A ) <-> -. A. v e. L -. (/) = ( v i^i A ) )
9391, 92syl6bb 261 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( (/) e. ( L ↾t A ) <-> -. A. v e. L -. (/) = ( v i^i A ) ) )
9493con2bid 329 . . 3 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( A. v e. L -. (/) = ( v i^i A ) <-> -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
9589, 94syl5bb 257 . 2 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) <-> -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
9687, 95bitr4d 256 1 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ↾t crest 14838   Filcfil 20472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-rest 14840  df-fbas 18543  df-fil 20473
This theorem is referenced by:  trfil3  20515  trnei  20519
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