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Theorem trfil2 19460
Description: Conditions for the trace of a filter  L to be a filter. (Contributed by FL, 2-Sep-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, L    v, Y

Proof of Theorem trfil2
Dummy variables  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  C_  Y )
2 dfss1 3555 . . . . 5  |-  ( A 
C_  Y  <->  ( Y  i^i  A )  =  A )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Y  i^i  A )  =  A )
4 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
5 id 22 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  Y  ->  A  C_  Y )
6 filtop 19428 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  L )
7 ssexg 4438 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  L )  ->  A  e.  _V )
85, 6, 7syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
96adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  Y  e.  L )
10 elrestr 14367 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  Y  e.  L )  ->  ( Y  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
114, 8, 9, 10syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Y  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
123, 11eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  ( Lt  A ) )
13 elpwi 3869 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
14 vex 2975 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
1514inex1 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( u  i^i  A )  e. 
_V
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  u  e.  L )  ->  (
u  i^i  A )  e.  _V )
17 elrest 14366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
y  e.  ( Lt  A )  <->  E. u  e.  L  y  =  ( u  i^i  A ) ) )
188, 17syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
y  e.  ( Lt  A )  <->  E. u  e.  L  y  =  ( u  i^i  A ) ) )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  ->  ( y  e.  ( Lt  A )  <->  E. u  e.  L  y  =  ( u  i^i  A ) ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  y  =  ( u  i^i  A ) )  ->  y  =  ( u  i^i  A ) )
2120sseq1d 3383 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  y  =  ( u  i^i  A ) )  ->  ( y  C_  x  <->  ( u  i^i 
A )  C_  x
) )
2216, 19, 21rexxfr2d 4509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  ->  ( E. y  e.  ( Lt  A
) y  C_  x  <->  E. u  e.  L  ( u  i^i  A ) 
C_  x ) )
23 indir 3598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  u.  x )  i^i  A )  =  ( ( u  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  A )
)
24 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  x  C_  A )
25 df-ss 3342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  A  <->  ( x  i^i  A )  =  x )
2624, 25sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( x  i^i  A
)  =  x )
2726uneq2d 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  A )
)  =  ( ( u  i^i  A )  u.  x ) )
28 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( u  i^i  A
)  C_  x )
29 ssequn1 3526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  A ) 
C_  x  <->  ( (
u  i^i  A )  u.  x )  =  x )
3028, 29sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  i^i 
A )  u.  x
)  =  x )
3127, 30eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  A )
)  =  x )
3223, 31syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  u.  x )  i^i  A
)  =  x )
33 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
34 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  A  C_  Y )
3533, 34, 8syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  A  e.  _V )
36 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  u  e.  L )
37 filelss 19425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  u  e.  L )  ->  u  C_  Y )
3833, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  u  C_  Y )
3924, 34sstrd 3366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  x  C_  Y )
4038, 39unssd 3532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( u  u.  x
)  C_  Y )
41 ssun1 3519 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  C_  ( u  u.  x
)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  u  C_  ( u  u.  x ) )
43 filss 19426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
u  e.  L  /\  ( u  u.  x
)  C_  Y  /\  u  C_  ( u  u.  x ) ) )  ->  ( u  u.  x )  e.  L
)
4433, 36, 40, 42, 43syl13anc 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( u  u.  x
)  e.  L )
45 elrestr 14367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  ( u  u.  x )  e.  L )  ->  (
( u  u.  x
)  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
4633, 35, 44, 45syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  -> 
( ( u  u.  x )  i^i  A
)  e.  ( Lt  A ) )
4732, 46eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  /\  ( u  e.  L  /\  (
u  i^i  A )  C_  x ) )  ->  x  e.  ( Lt  A
) )
4847rexlimdvaa 2842 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  ->  ( E. u  e.  L  (
u  i^i  A )  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
4922, 48sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  C_  A
)  ->  ( E. y  e.  ( Lt  A
) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
5049ex 434 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  C_  A  ->  ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) ) )
5113, 50syl5 32 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  ~P A  ->  ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) ) )
5251ralrimiv 2798 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
53 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  L  /\  u  e.  L ) )  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
548adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  L  /\  u  e.  L ) )  ->  A  e.  _V )
55 filin 19427 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  z  e.  L  /\  u  e.  L )  ->  (
z  i^i  u )  e.  L )
56553expb 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
z  e.  L  /\  u  e.  L )
)  ->  ( z  i^i  u )  e.  L
)
5756adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  L  /\  u  e.  L ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  L )
58 elrestr 14367 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  ( z  i^i  u )  e.  L )  ->  (
( z  i^i  u
)  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
5953, 54, 57, 58syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  L  /\  u  e.  L ) )  -> 
( ( z  i^i  u )  i^i  A
)  e.  ( Lt  A ) )
6059ralrimivva 2808 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. z  e.  L  A. u  e.  L  ( (
z  i^i  u )  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
61 vex 2975 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
6261inex1 4433 . . . . . 6  |-  ( z  i^i  A )  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  z  e.  L )  ->  (
z  i^i  A )  e.  _V )
64 elrest 14366 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
x  e.  ( Lt  A )  <->  E. z  e.  L  x  =  ( z  i^i  A ) ) )
658, 64syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  ( Lt  A )  <->  E. z  e.  L  x  =  ( z  i^i  A ) ) )
6615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  u  e.  L )  ->  (
u  i^i  A )  e.  _V )
6718adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  ->  (
y  e.  ( Lt  A )  <->  E. u  e.  L  y  =  ( u  i^i  A ) ) )
68 ineq12 3547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( u  i^i  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  A )  i^i  ( u  i^i 
A ) ) )
69 inindir 3568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  i^i  u )  i^i  A )  =  ( ( z  i^i 
A )  i^i  (
u  i^i  A )
)
7068, 69syl6eqr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( u  i^i  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  u )  i^i  A ) )
7170adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  y  =  ( u  i^i 
A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  u )  i^i  A ) )
7271eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  y  =  ( u  i^i 
A ) )  -> 
( ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A )  <->  ( (
z  i^i  u )  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) ) )
7366, 67, 72ralxfr2d 4508 . . . . 5  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  ->  ( A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A )  <->  A. u  e.  L  ( (
z  i^i  u )  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) ) )
7463, 65, 73ralxfr2d 4508 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A )  <->  A. z  e.  L  A. u  e.  L  ( (
z  i^i  u )  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) ) )
7560, 74mpbird 232 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) )
76 isfil2 19429 . . . . . 6  |-  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <-> 
( ( ( Lt  A )  C_  ~P A  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )
77 restsspw 14370 . . . . . . . 8  |-  ( Lt  A )  C_  ~P A
78 3anass 969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Lt  A )  C_  ~P A  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  <->  ( ( Lt  A )  C_  ~P A  /\  ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) ) ) )
7977, 78mpbiran 909 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lt  A )  C_  ~P A  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  <->  ( -.  (/) 
e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) ) )
80793anbi1i 1178 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Lt  A ) 
C_  ~P A  /\  -.  (/) 
e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )
81 3anass 969 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) ) )
8276, 80, 813bitri 271 . . . . 5  |-  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <-> 
( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) ) )
83 anass 649 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  A  e.  ( Lt  A ) )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )  <-> 
( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  ( A  e.  ( Lt  A
)  /\  ( A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) ) ) )
84 ancom 450 . . . . 5  |-  ( ( -.  (/)  e.  ( Lt  A )  /\  ( A  e.  ( Lt  A )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A
) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( Lt  A )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A
) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
8582, 83, 843bitri 271 . . . 4  |-  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <-> 
( ( A  e.  ( Lt  A )  /\  ( A. x  e.  ~P  A ( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )  /\  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
8685baib 896 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Lt  A )  /\  ( A. x  e.  ~P  A
( E. y  e.  ( Lt  A ) y  C_  x  ->  x  e.  ( Lt  A ) )  /\  A. x  e.  ( Lt  A ) A. y  e.  ( Lt  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( Lt  A ) ) )  ->  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
8712, 52, 75, 86syl12anc 1216 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
88 nesym 2647 . . . 4  |-  ( ( v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
8988ralbii 2739 . . 3  |-  ( A. v  e.  L  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  A. v  e.  L  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
90 elrest 14366 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  ( (/) 
e.  ( Lt  A )  <->  E. v  e.  L  (/)  =  ( v  i^i 
A ) ) )
918, 90syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( (/) 
e.  ( Lt  A )  <->  E. v  e.  L  (/)  =  ( v  i^i 
A ) ) )
92 dfrex2 2728 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  L  (/)  =  ( v  i^i 
A )  <->  -.  A. v  e.  L  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
9391, 92syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( (/) 
e.  ( Lt  A )  <->  -.  A. v  e.  L  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) ) )
9493con2bid 329 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. v  e.  L  -.  (/)  =  ( v  i^i  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
9589, 94syl5bb 257 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  -.  (/)  e.  ( Lt  A ) ) )
9687, 95bitr4d 256 1  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ↾t crest 14359   Filcfil 19418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-rest 14361  df-fbas 17814  df-fil 19419
This theorem is referenced by:  trfil3  19461  trnei  19465
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