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Theorem trfil2 20957
Description: Conditions for the trace of a filter L to be a filter. (Contributed by FL, 2-Sep-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil2 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) ) )
Distinct variable groups:   v, A   v, L   v, Y
Proof of Theorem trfil2
Dummy variables u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 467 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A C_ Y )
2 dfss1 3649 . . . . 5 |- ( A C_ Y <-> ( Y i^i A ) = A )
31, 2sylib 201 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( Y i^i A ) = A )
4 simpl 463 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
5 id 22 . . . . . 6 |- ( A C_ Y -> A C_ Y )
6 filtop 20925 . . . . . 6 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> Y e. L )
7 ssexg 4565 . . . . . 6 |- ( ( A C_ Y /\ Y e. L ) -> A e. _V )
85, 6, 7syl2anr 485 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A e. _V )
96adantr 471 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> Y e. L )
10 elrestr 15382 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V /\ Y e. L ) -> ( Y i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
114, 8, 9, 10syl3anc 1276 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( Y i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
123, 11eqeltrrd 2541 . . 3 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A e. ( L ↾t A ) )
13 elpwi 3972 . . . . 5 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
14 vex 3060 . . . . . . . . . 10 |- u e. _V
1514inex1 4560 . . . . . . . . 9 |- ( u i^i A ) e. _V
1615a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ u e. L ) -> ( u i^i A ) e. _V )
17 elrest 15381 . . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( y e. ( L ↾t A ) <-> E. u e. L y = ( u i^i A ) ) )
188, 17syldan 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( y e. ( L ↾t A ) <-> E. u e. L y = ( u i^i A ) ) )
1918adantr 471 . . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( y e. ( L ↾t A ) <-> E. u e. L y = ( u i^i A ) ) )
20 simpr 467 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> y = ( u i^i A ) )
2120sseq1d 3471 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( y C_ x <-> ( u i^i A ) C_ x ) )
2216, 19, 21rexxfr2d 4634 . . . . . . 7 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x <-> E. u e. L ( u i^i A ) C_ x ) )
23 indir 3703 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u u. x ) i^i A ) = ( ( u i^i A ) u. ( x i^i A ) )
24 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> x C_ A )
25 df-ss 3430 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x C_ A <-> ( x i^i A ) = x )
2624, 25sylib 201 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( x i^i A ) = x )
2726uneq2d 3600 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u i^i A ) u. ( x i^i A ) ) = ( ( u i^i A ) u. x ) )
28 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( u i^i A ) C_ x )
29 ssequn1 3616 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i A ) C_ x <-> ( ( u i^i A ) u. x ) = x )
3028, 29sylib 201 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u i^i A ) u. x ) = x )
3127, 30eqtrd 2496 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u i^i A ) u. ( x i^i A ) ) = x )
3223, 31syl5eq 2508 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u u. x ) i^i A ) = x )
33 simplll 773 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
34 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> A C_ Y )
3533, 34, 8syl2anc 671 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> A e. _V )
36 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> u e. L )
37 filelss 20922 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ u e. L ) -> u C_ Y )
3833, 36, 37syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> u C_ Y )
3924, 34sstrd 3454 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> x C_ Y )
4038, 39unssd 3622 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( u u. x ) C_ Y )
41 ssun1 3609 . . . . . . . . . . . 12 |- u C_ ( u u. x )
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> u C_ ( u u. x ) )
43 filss 20923 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ ( u e. L /\ ( u u. x ) C_ Y /\ u C_ ( u u. x ) ) ) -> ( u u. x ) e. L )
4433, 36, 40, 42, 43syl13anc 1278 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( u u. x ) e. L )
45 elrestr 15382 . . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V /\ ( u u. x ) e. L ) -> ( ( u u. x ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
4633, 35, 44, 45syl3anc 1276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u u. x ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
4732, 46eqeltrrd 2541 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> x e. ( L ↾t A ) )
4847rexlimdvaa 2892 . . . . . . 7 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( E. u e. L ( u i^i A ) C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) )
4922, 48sylbid 223 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) )
5049ex 440 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x C_ A -> ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) ) )
5113, 50syl5 33 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x e. ~P A -> ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) ) )
5251ralrimiv 2812 . . 3 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) )
53 simpll 765 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
548adantr 471 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> A e. _V )
55 filin 20924 . . . . . . . 8 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ z e. L /\ u e. L ) -> ( z i^i u ) e. L )
56553expb 1216 . . . . . . 7 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> ( z i^i u ) e. L )
5756adantlr 726 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> ( z i^i u ) e. L )
58 elrestr 15382 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V /\ ( z i^i u ) e. L ) -> ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
5953, 54, 57, 58syl3anc 1276 . . . . 5 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
6059ralrimivva 2821 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A. z e. L A. u e. L ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
61 vex 3060 . . . . . . 7 |- z e. _V
6261inex1 4560 . . . . . 6 |- ( z i^i A ) e. _V
6362a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ z e. L ) -> ( z i^i A ) e. _V )
64 elrest 15381 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( x e. ( L ↾t A ) <-> E. z e. L x = ( z i^i A ) ) )
658, 64syldan 477 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x e. ( L ↾t A ) <-> E. z e. L x = ( z i^i A ) ) )
6615a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) /\ u e. L ) -> ( u i^i A ) e. _V )
6718adantr 471 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) -> ( y e. ( L ↾t A ) <-> E. u e. L y = ( u i^i A ) ) )
68 ineq12 3641 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( z i^i A ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( x i^i y ) = ( ( z i^i A ) i^i ( u i^i A ) ) )
69 inindir 3662 . . . . . . . . 9 |- ( ( z i^i u ) i^i A ) = ( ( z i^i A ) i^i ( u i^i A ) )
7068, 69syl6eqr 2514 . . . . . . . 8 |- ( ( x = ( z i^i A ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( x i^i y ) = ( ( z i^i u ) i^i A ) )
7170adantll 725 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( x i^i y ) = ( ( z i^i u ) i^i A ) )
7271eleq1d 2524 . . . . . 6 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) <-> ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
7366, 67, 72ralxfr2d 4633 . . . . 5 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) -> ( A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) <-> A. u e. L ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
7463, 65, 73ralxfr2d 4633 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) <-> A. z e. L A. u e. L ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
7560, 74mpbird 240 . . 3 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) )
76 isfil2 20926 . . . . . 6 |- ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> ( ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) )
77 restsspw 15385 . . . . . . . 8 |- ( L ↾t A ) C_ ~P A
78 3anass 995 . . . . . . . 8 |- ( ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) <-> ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) ) )
7977, 78mpbiran 934 . . . . . . 7 |- ( ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) <-> ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) )
80793anbi1i 1205 . . . . . 6 |- ( ( ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) <-> ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) )
81 3anass 995 . . . . . 6 |- ( ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) <-> ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) )
8276, 80, 813bitri 279 . . . . 5 |- ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) )
83 anass 659 . . . . 5 |- ( ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) <-> ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) ) )
84 ancom 456 . . . . 5 |- ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
8582, 83, 843bitri 279 . . . 4 |- ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> ( ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
8685baib 919 . . 3 |- ( ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
8712, 52, 75, 86syl12anc 1274 . 2 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
88 nesym 2692 . . . 4 |- ( ( v i^i A ) =/= (/) <-> -. (/) = ( v i^i A ) )
8988ralbii 2831 . . 3 |- ( A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) <-> A. v e. L -. (/) = ( v i^i A ) )
90 elrest 15381 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( (/) e. ( L ↾t A ) <-> E. v e. L (/) = ( v i^i A ) ) )
918, 90syldan 477 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( (/) e. ( L ↾t A ) <-> E. v e. L (/) = ( v i^i A ) ) )
92 dfrex2 2850 . . . . 5 |- ( E. v e. L (/) = ( v i^i A ) <-> -. A. v e. L -. (/) = ( v i^i A ) )
9391, 92syl6bb 269 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( (/) e. ( L ↾t A ) <-> -. A. v e. L -. (/) = ( v i^i A ) ) )
9493con2bid 335 . . 3 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( A. v e. L -. (/) = ( v i^i A ) <-> -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
9589, 94syl5bb 265 . 2 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) <-> -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
9687, 95bitr4d 264 1 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   u. cun 3414   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   ↾t crest 15374   Filcfil 20915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-rest 15376  df-fbas 19022  df-fil 20916
This theorem is referenced by:  trfil3  20958  trnei  20962
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