MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfil1 Structured version   Unicode version

Theorem trfil1 20253
Description: Conditions for the trace of a filter  L to be a filter. (Contributed by FL, 2-Sep-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil1  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  =  U. ( Lt  A ) )

Proof of Theorem trfil1
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  C_  Y )
2 dfss1 3685 . . . . 5  |-  ( A 
C_  Y  <->  ( Y  i^i  A )  =  A )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Y  i^i  A )  =  A )
4 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
5 id 22 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  Y  ->  A  C_  Y )
6 filtop 20222 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  L )
7 ssexg 4579 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  L )  ->  A  e.  _V )
85, 6, 7syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
96adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  Y  e.  L )
10 elrestr 14698 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  Y  e.  L )  ->  ( Y  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
114, 8, 9, 10syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Y  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
123, 11eqeltrrd 2530 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  ( Lt  A ) )
13 elssuni 4260 . . 3  |-  ( A  e.  ( Lt  A )  ->  A  C_  U. ( Lt  A ) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  C_ 
U. ( Lt  A ) )
15 restsspw 14701 . . . 4  |-  ( Lt  A )  C_  ~P A
16 sspwuni 4397 . . . 4  |-  ( ( Lt  A )  C_  ~P A 
<-> 
U. ( Lt  A ) 
C_  A )
1715, 16mpbi 208 . . 3  |-  U. ( Lt  A )  C_  A
1817a1i 11 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  U. ( Lt  A )  C_  A
)
1914, 18eqssd 3503 1  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  =  U. ( Lt  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   _Vcvv 3093    i^i cin 3457    C_ wss 3458   ~Pcpw 3993   U.cuni 4230   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   ↾t crest 14690   Filcfil 20212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-rest 14692  df-fbas 18284  df-fil 20213
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator