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Theorem trfg 20984
Description: The trace operation and the  filGen operation are inverses to one another in some sense, with  filGen growing the base set and ↾t shrinking it. See fgtr 20983 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfg  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  F )

Proof of Theorem trfg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 20941 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  F  e.  ( fBas `  A )
)
213ad2ant1 1051 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  A
) )
3 filsspw 20944 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  F  C_  ~P A )
433ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_ 
~P A )
5 simp2 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  A  C_  X )
6 sspwb 4649 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  X  <->  ~P A  C_ 
~P X )
75, 6sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ~P A  C_  ~P X )
84, 7sstrd 3428 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_ 
~P X )
9 simp3 1032 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
10 fbasweak 20958 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  A )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
112, 8, 9, 10syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
12 fgcl 20971 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
1311, 12syl 17 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
14 filtop 20948 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  A  e.  F )
15143ad2ant1 1051 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  A  e.  F )
16 restval 15403 . . . 4  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  F )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  ran  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) )
1713, 15, 16syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  ran  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) )
18 elfg 20964 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen F )  <-> 
( x  C_  X  /\  E. y  e.  F  y  C_  x ) ) )
1911, 18syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  ( X
filGen F )  <->  ( x  C_  X  /\  E. y  e.  F  y  C_  x ) ) )
2019simplbda 636 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  E. y  e.  F  y  C_  x )
21 simpll1 1069 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  ->  F  e.  ( Fil `  A ) )
22 simprl 772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  F )
23 inss2 3644 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
2423a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
( x  i^i  A
)  C_  A )
25 simprr 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  x )
26 filelss 20945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  A )
27263ad2antl1 1192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  A )
2827ad2ant2r 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  A )
2925, 28ssind 3647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  ( x  i^i  A ) )
30 filss 20946 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  (
y  e.  F  /\  ( x  i^i  A ) 
C_  A  /\  y  C_  ( x  i^i  A
) ) )  -> 
( x  i^i  A
)  e.  F )
3121, 22, 24, 29, 30syl13anc 1294 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
( x  i^i  A
)  e.  F )
3220, 31rexlimddv 2875 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  F
)
33 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i 
A ) )  =  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )
3432, 33fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) : ( X filGen F ) --> F )
35 frn 5747 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) : ( X filGen F ) --> F  ->  ran  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )  C_  F )
3634, 35syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )  C_  F )
3717, 36eqsstrd 3452 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  C_  F )
38 filelss 20945 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  A )
39383ad2antl1 1192 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  A )
40 df-ss 3404 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  A  <->  ( x  i^i  A )  =  x )
4139, 40sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  A )  =  x )
4213adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
4315adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  A  e.  F )
44 ssfg 20965 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
4511, 44syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
4645sselda 3418 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  e.  ( X filGen F ) )
47 elrestr 15405 . . . . . 6  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  F  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
4842, 43, 46, 47syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
4941, 48eqeltrrd 2550 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
5049ex 441 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  F  ->  x  e.  ( ( X filGen F )t  A ) ) )
5150ssrdv 3424 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_  ( ( X filGen F )t  A ) )
5237, 51eqssd 3435 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   fBascfbas 19035   filGencfg 19036   Filcfil 20938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-rest 15399  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-fil 20939
This theorem is referenced by:  cmetss  22362  minveclem4a  22450  minveclem4aOLD  22462
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