Theorem trfg 19463

Description: The trace operation and the filGen operation are inverses to one another in some sense, with filGen growing the base set and ↾_t shrinking it. See fgtr 19462 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfg	|- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = F )

Proof of Theorem trfg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 19420	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> F e. ( fBas ` A ) )
2	1	3ad2ant1 1009	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` A ) )
3		filsspw 19423	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> F C_ ~P A )
4	3	3ad2ant1 1009	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ~P A )
5		simp2 989	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> A C_ X )
6		sspwb 4540	. . . . . . . 8 |- ( A C_ X <-> ~P A C_ ~P X )
7	5, 6	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ~P A C_ ~P X )
8	4, 7	sstrd 3365	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ~P X )
9		simp3 990	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> X e. V )
10		fbasweak 19437	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` A ) /\ F C_ ~P X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
11	2, 8, 9, 10	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
12		fgcl 19450	. . . . 5 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
13	11, 12	syl 16	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
14		filtop 19427	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> A e. F )
15	14	3ad2ant1 1009	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> A e. F )
16		restval 14364	. . . 4 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) )
17	13, 15, 16	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) )
18		elfg 19443	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( x e. ( X filGen F ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. F y C_ x ) ) )
19	11, 18	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. ( X filGen F ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. F y C_ x ) ) )
20	19	simplbda 624	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) -> E. y e. F y C_ x )
21		simpll1 1027	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> F e. ( Fil ` A ) )
22		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y e. F )
23		inss2 3570	. . . . . . . 8 |- ( x i^i A ) C_ A
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> ( x i^i A ) C_ A )
25		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ x )
26		filelss 19424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ y e. F ) -> y C_ A )
27	26	3ad2antl1 1150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ y e. F ) -> y C_ A )
28	27	ad2ant2r 746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ A )
29	25, 28	ssind 3573	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ ( x i^i A ) )
30		filss 19425	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ ( y e. F /\ ( x i^i A ) C_ A /\ y C_ ( x i^i A ) ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
31	21, 22, 24, 29, 30	syl13anc 1220	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
32	20, 31	rexlimddv 2844	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
33		eqid 2442	. . . . 5 |- ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) = ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) )
34	32, 33	fmptd 5866	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) : ( X filGen F ) --> F )
35		frn 5564	. . . 4 |- ( ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) : ( X filGen F ) --> F -> ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) C_ F )
36	34, 35	syl 16	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) C_ F )
37	17, 36	eqsstrd 3389	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) C_ F )
38		filelss 19424	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ x e. F ) -> x C_ A )
39	38	3ad2antl1 1150	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x C_ A )
40		df-ss 3341	. . . . . 6 |- ( x C_ A <-> ( x i^i A ) = x )
41	39, 40	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( x i^i A ) = x )
42	13	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
43	15	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> A e. F )
44		ssfg 19444	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F C_ ( X filGen F ) )
45	11, 44	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ( X filGen F ) )
46	45	sselda 3355	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x e. ( X filGen F ) )
47		elrestr 14366	. . . . . 6 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ A e. F /\ x e. ( X filGen F ) ) -> ( x i^i A ) e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
48	42, 43, 46, 47	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( x i^i A ) e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
49	41, 48	eqeltrrd 2517	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
50	49	ex 434	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. F -> x e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) ) )
51	50	ssrdv 3361	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
52	37, 51	eqssd 3372	1 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2715   i^i cin 3326   C_ wss 3327   ~Pcpw 3859   e. cmpt 4349   ran crn 4840   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   ↾_t crest 14358   fBascfbas 17803   filGencfg 17804   Filcfil 19417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-rest 14360  df-fbas 17813  df-fg 17814  df-fil 19418

This theorem is referenced by:  cmetss  20824  minveclem4a  20916