Theorem trfg 20684

Description: The trace operation and the filGen operation are inverses to one another in some sense, with filGen growing the base set and ↾_t shrinking it. See fgtr 20683 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfg	|- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = F )

Proof of Theorem trfg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 20641	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> F e. ( fBas ` A ) )
2	1	3ad2ant1 1018	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` A ) )
3		filsspw 20644	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> F C_ ~P A )
4	3	3ad2ant1 1018	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ~P A )
5		simp2 998	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> A C_ X )
6		sspwb 4640	. . . . . . . 8 |- ( A C_ X <-> ~P A C_ ~P X )
7	5, 6	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ~P A C_ ~P X )
8	4, 7	sstrd 3452	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ~P X )
9		simp3 999	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> X e. V )
10		fbasweak 20658	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` A ) /\ F C_ ~P X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
11	2, 8, 9, 10	syl3anc 1230	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
12		fgcl 20671	. . . . 5 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
14		filtop 20648	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> A e. F )
15	14	3ad2ant1 1018	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> A e. F )
16		restval 15041	. . . 4 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) )
17	13, 15, 16	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) )
18		elfg 20664	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( x e. ( X filGen F ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. F y C_ x ) ) )
19	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. ( X filGen F ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. F y C_ x ) ) )
20	19	simplbda 622	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) -> E. y e. F y C_ x )
21		simpll1 1036	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> F e. ( Fil ` A ) )
22		simprl 756	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y e. F )
23		inss2 3660	. . . . . . . 8 |- ( x i^i A ) C_ A
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> ( x i^i A ) C_ A )
25		simprr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ x )
26		filelss 20645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ y e. F ) -> y C_ A )
27	26	3ad2antl1 1159	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ y e. F ) -> y C_ A )
28	27	ad2ant2r 745	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ A )
29	25, 28	ssind 3663	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ ( x i^i A ) )
30		filss 20646	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ ( y e. F /\ ( x i^i A ) C_ A /\ y C_ ( x i^i A ) ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
31	21, 22, 24, 29, 30	syl13anc 1232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
32	20, 31	rexlimddv 2900	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
33		eqid 2402	. . . . 5 |- ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) = ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) )
34	32, 33	fmptd 6033	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) : ( X filGen F ) --> F )
35		frn 5720	. . . 4 |- ( ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) : ( X filGen F ) --> F -> ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) C_ F )
36	34, 35	syl 17	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) C_ F )
37	17, 36	eqsstrd 3476	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) C_ F )
38		filelss 20645	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ x e. F ) -> x C_ A )
39	38	3ad2antl1 1159	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x C_ A )
40		df-ss 3428	. . . . . 6 |- ( x C_ A <-> ( x i^i A ) = x )
41	39, 40	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( x i^i A ) = x )
42	13	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
43	15	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> A e. F )
44		ssfg 20665	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F C_ ( X filGen F ) )
45	11, 44	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ( X filGen F ) )
46	45	sselda 3442	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x e. ( X filGen F ) )
47		elrestr 15043	. . . . . 6 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ A e. F /\ x e. ( X filGen F ) ) -> ( x i^i A ) e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
48	42, 43, 46, 47	syl3anc 1230	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( x i^i A ) e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
49	41, 48	eqeltrrd 2491	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
50	49	ex 432	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. F -> x e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) ) )
51	50	ssrdv 3448	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
52	37, 51	eqssd 3459	1 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   E.wrex 2755   i^i cin 3413   C_ wss 3414   ~Pcpw 3955   |-> cmpt 4453   ran crn 4824   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   ↾_t crest 15035   fBascfbas 18726   filGencfg 18727   Filcfil 20638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-rest 15037  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-fil 20639

This theorem is referenced by:  cmetss  22045  minveclem4a  22137