Theorem trfg 20984

Description: The trace operation and the filGen operation are inverses to one another in some sense, with filGen growing the base set and ↾_t shrinking it. See fgtr 20983 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfg	|- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = F )

Proof of Theorem trfg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 20941	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> F e. ( fBas ` A ) )
2	1	3ad2ant1 1051	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` A ) )
3		filsspw 20944	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> F C_ ~P A )
4	3	3ad2ant1 1051	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ~P A )
5		simp2 1031	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> A C_ X )
6		sspwb 4649	. . . . . . . 8 |- ( A C_ X <-> ~P A C_ ~P X )
7	5, 6	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ~P A C_ ~P X )
8	4, 7	sstrd 3428	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ~P X )
9		simp3 1032	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> X e. V )
10		fbasweak 20958	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` A ) /\ F C_ ~P X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
11	2, 8, 9, 10	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
12		fgcl 20971	. . . . 5 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
14		filtop 20948	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> A e. F )
15	14	3ad2ant1 1051	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> A e. F )
16		restval 15403	. . . 4 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) )
17	13, 15, 16	syl2anc 673	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) )
18		elfg 20964	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( x e. ( X filGen F ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. F y C_ x ) ) )
19	11, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. ( X filGen F ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. F y C_ x ) ) )
20	19	simplbda 636	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) -> E. y e. F y C_ x )
21		simpll1 1069	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> F e. ( Fil ` A ) )
22		simprl 772	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y e. F )
23		inss2 3644	. . . . . . . 8 |- ( x i^i A ) C_ A
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> ( x i^i A ) C_ A )
25		simprr 774	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ x )
26		filelss 20945	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ y e. F ) -> y C_ A )
27	26	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ y e. F ) -> y C_ A )
28	27	ad2ant2r 761	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ A )
29	25, 28	ssind 3647	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ ( x i^i A ) )
30		filss 20946	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ ( y e. F /\ ( x i^i A ) C_ A /\ y C_ ( x i^i A ) ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
31	21, 22, 24, 29, 30	syl13anc 1294	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
32	20, 31	rexlimddv 2875	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
33		eqid 2471	. . . . 5 |- ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) = ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) )
34	32, 33	fmptd 6061	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) : ( X filGen F ) --> F )
35		frn 5747	. . . 4 |- ( ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) : ( X filGen F ) --> F -> ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) C_ F )
36	34, 35	syl 17	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) C_ F )
37	17, 36	eqsstrd 3452	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) C_ F )
38		filelss 20945	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ x e. F ) -> x C_ A )
39	38	3ad2antl1 1192	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x C_ A )
40		df-ss 3404	. . . . . 6 |- ( x C_ A <-> ( x i^i A ) = x )
41	39, 40	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( x i^i A ) = x )
42	13	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
43	15	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> A e. F )
44		ssfg 20965	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F C_ ( X filGen F ) )
45	11, 44	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ( X filGen F ) )
46	45	sselda 3418	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x e. ( X filGen F ) )
47		elrestr 15405	. . . . . 6 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ A e. F /\ x e. ( X filGen F ) ) -> ( x i^i A ) e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
48	42, 43, 46, 47	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( x i^i A ) e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
49	41, 48	eqeltrrd 2550	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
50	49	ex 441	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. F -> x e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) ) )
51	50	ssrdv 3424	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
52	37, 51	eqssd 3435	1 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   E.wrex 2757   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   |-> cmpt 4454   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾_t crest 15397   fBascfbas 19035   filGencfg 19036   Filcfil 20938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-rest 15399  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-fil 20939

This theorem is referenced by:  cmetss  22362  minveclem4a  22450  minveclem4aOLD  22462