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Theorem trfg 20122
Description: The trace operation and the  filGen operation are inverses to one another in some sense, with  filGen growing the base set and ↾t shrinking it. See fgtr 20121 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfg  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  F )

Proof of Theorem trfg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 20079 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  F  e.  ( fBas `  A )
)
213ad2ant1 1012 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  A
) )
3 filsspw 20082 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  F  C_  ~P A )
433ad2ant1 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_ 
~P A )
5 simp2 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  A  C_  X )
6 sspwb 4691 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  X  <->  ~P A  C_ 
~P X )
75, 6sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ~P A  C_  ~P X )
84, 7sstrd 3509 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_ 
~P X )
9 simp3 993 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
10 fbasweak 20096 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  A )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
112, 8, 9, 10syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
12 fgcl 20109 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
14 filtop 20086 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  A  e.  F )
15143ad2ant1 1012 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  A  e.  F )
16 restval 14673 . . . 4  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  F )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  ran  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) )
1713, 15, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  ran  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) )
18 elfg 20102 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen F )  <-> 
( x  C_  X  /\  E. y  e.  F  y  C_  x ) ) )
1911, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  ( X
filGen F )  <->  ( x  C_  X  /\  E. y  e.  F  y  C_  x ) ) )
2019simplbda 624 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  E. y  e.  F  y  C_  x )
21 simpll1 1030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  ->  F  e.  ( Fil `  A ) )
22 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  F )
23 inss2 3714 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
2423a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
( x  i^i  A
)  C_  A )
25 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  x )
26 filelss 20083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  A )
27263ad2antl1 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  A )
2827ad2ant2r 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  A )
2925, 28ssind 3717 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  ( x  i^i  A ) )
30 filss 20084 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  (
y  e.  F  /\  ( x  i^i  A ) 
C_  A  /\  y  C_  ( x  i^i  A
) ) )  -> 
( x  i^i  A
)  e.  F )
3121, 22, 24, 29, 30syl13anc 1225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
( x  i^i  A
)  e.  F )
3220, 31rexlimddv 2954 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  F
)
33 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i 
A ) )  =  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )
3432, 33fmptd 6038 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) : ( X filGen F ) --> F )
35 frn 5730 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) : ( X filGen F ) --> F  ->  ran  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )  C_  F )
3634, 35syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )  C_  F )
3717, 36eqsstrd 3533 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  C_  F )
38 filelss 20083 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  A )
39383ad2antl1 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  A )
40 df-ss 3485 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  A  <->  ( x  i^i  A )  =  x )
4139, 40sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  A )  =  x )
4213adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
4315adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  A  e.  F )
44 ssfg 20103 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
4511, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
4645sselda 3499 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  e.  ( X filGen F ) )
47 elrestr 14675 . . . . . 6  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  F  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
4842, 43, 46, 47syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
4941, 48eqeltrrd 2551 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
5049ex 434 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  F  ->  x  e.  ( ( X filGen F )t  A ) ) )
5150ssrdv 3505 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_  ( ( X filGen F )t  A ) )
5237, 51eqssd 3516 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2810    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4005    |-> cmpt 4500   ran crn 4995   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   ↾t crest 14667   fBascfbas 18172   filGencfg 18173   Filcfil 20076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-rest 14669  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-fil 20077
This theorem is referenced by:  cmetss  21483  minveclem4a  21575
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