Theorem trfg 20122

Description: The trace operation and the filGen operation are inverses to one another in some sense, with filGen growing the base set and ↾_t shrinking it. See fgtr 20121 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfg	|- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = F )

Proof of Theorem trfg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 20079	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> F e. ( fBas ` A ) )
2	1	3ad2ant1 1012	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` A ) )
3		filsspw 20082	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> F C_ ~P A )
4	3	3ad2ant1 1012	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ~P A )
5		simp2 992	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> A C_ X )
6		sspwb 4691	. . . . . . . 8 |- ( A C_ X <-> ~P A C_ ~P X )
7	5, 6	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ~P A C_ ~P X )
8	4, 7	sstrd 3509	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ~P X )
9		simp3 993	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> X e. V )
10		fbasweak 20096	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` A ) /\ F C_ ~P X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
11	2, 8, 9, 10	syl3anc 1223	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
12		fgcl 20109	. . . . 5 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
13	11, 12	syl 16	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
14		filtop 20086	. . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` A ) -> A e. F )
15	14	3ad2ant1 1012	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> A e. F )
16		restval 14673	. . . 4 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) )
17	13, 15, 16	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) )
18		elfg 20102	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( x e. ( X filGen F ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. F y C_ x ) ) )
19	11, 18	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. ( X filGen F ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. F y C_ x ) ) )
20	19	simplbda 624	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) -> E. y e. F y C_ x )
21		simpll1 1030	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> F e. ( Fil ` A ) )
22		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y e. F )
23		inss2 3714	. . . . . . . 8 |- ( x i^i A ) C_ A
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> ( x i^i A ) C_ A )
25		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ x )
26		filelss 20083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ y e. F ) -> y C_ A )
27	26	3ad2antl1 1153	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ y e. F ) -> y C_ A )
28	27	ad2ant2r 746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ A )
29	25, 28	ssind 3717	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> y C_ ( x i^i A ) )
30		filss 20084	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ ( y e. F /\ ( x i^i A ) C_ A /\ y C_ ( x i^i A ) ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
31	21, 22, 24, 29, 30	syl13anc 1225	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) /\ ( y e. F /\ y C_ x ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
32	20, 31	rexlimddv 2954	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. ( X filGen F ) ) -> ( x i^i A ) e. F )
33		eqid 2462	. . . . 5 |- ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) = ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) )
34	32, 33	fmptd 6038	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) : ( X filGen F ) --> F )
35		frn 5730	. . . 4 |- ( ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) : ( X filGen F ) --> F -> ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) C_ F )
36	34, 35	syl 16	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ran ( x e. ( X filGen F ) |-> ( x i^i A ) ) C_ F )
37	17, 36	eqsstrd 3533	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) C_ F )
38		filelss 20083	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ x e. F ) -> x C_ A )
39	38	3ad2antl1 1153	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x C_ A )
40		df-ss 3485	. . . . . 6 |- ( x C_ A <-> ( x i^i A ) = x )
41	39, 40	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( x i^i A ) = x )
42	13	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
43	15	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> A e. F )
44		ssfg 20103	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F C_ ( X filGen F ) )
45	11, 44	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ( X filGen F ) )
46	45	sselda 3499	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x e. ( X filGen F ) )
47		elrestr 14675	. . . . . 6 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ A e. F /\ x e. ( X filGen F ) ) -> ( x i^i A ) e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
48	42, 43, 46, 47	syl3anc 1223	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> ( x i^i A ) e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
49	41, 48	eqeltrrd 2551	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) /\ x e. F ) -> x e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
50	49	ex 434	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( x e. F -> x e. ( ( X filGen F ) ↾t A ) ) )
51	50	ssrdv 3505	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> F C_ ( ( X filGen F ) ↾t A ) )
52	37, 51	eqssd 3516	1 |- ( ( F e. ( Fil ` A ) /\ A C_ X /\ X e. V ) -> ( ( X filGen F ) ↾t A ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   E.wrex 2810   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ~Pcpw 4005   |-> cmpt 4500   ran crn 4995   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   ↾_t crest 14667   fBascfbas 18172   filGencfg 18173   Filcfil 20076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-rest 14669  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-fil 20077

This theorem is referenced by:  cmetss  21483  minveclem4a  21575