Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem trfg 20984
 Description: The trace operation and the operation are inverses to one another in some sense, with growing the base set and ↾t shrinking it. See fgtr 20983 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfg t

Proof of Theorem trfg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 20941 . . . . . . 7
213ad2ant1 1051 . . . . . 6
3 filsspw 20944 . . . . . . . 8
433ad2ant1 1051 . . . . . . 7
5 simp2 1031 . . . . . . . 8
6 sspwb 4649 . . . . . . . 8
75, 6sylib 201 . . . . . . 7
84, 7sstrd 3428 . . . . . 6
9 simp3 1032 . . . . . 6
10 fbasweak 20958 . . . . . 6
112, 8, 9, 10syl3anc 1292 . . . . 5
12 fgcl 20971 . . . . 5
1311, 12syl 17 . . . 4
14 filtop 20948 . . . . 5
15143ad2ant1 1051 . . . 4
16 restval 15403 . . . 4 t
1713, 15, 16syl2anc 673 . . 3 t
18 elfg 20964 . . . . . . . 8
1911, 18syl 17 . . . . . . 7
2019simplbda 636 . . . . . 6
21 simpll1 1069 . . . . . . 7
22 simprl 772 . . . . . . 7
23 inss2 3644 . . . . . . . 8
2423a1i 11 . . . . . . 7
25 simprr 774 . . . . . . . 8
26 filelss 20945 . . . . . . . . . 10
27263ad2antl1 1192 . . . . . . . . 9
2827ad2ant2r 761 . . . . . . . 8
2925, 28ssind 3647 . . . . . . 7
30 filss 20946 . . . . . . 7
3121, 22, 24, 29, 30syl13anc 1294 . . . . . 6
3220, 31rexlimddv 2875 . . . . 5
33 eqid 2471 . . . . 5
3432, 33fmptd 6061 . . . 4
35 frn 5747 . . . 4
3634, 35syl 17 . . 3
3717, 36eqsstrd 3452 . 2 t
38 filelss 20945 . . . . . . 7
39383ad2antl1 1192 . . . . . 6
40 df-ss 3404 . . . . . 6
4139, 40sylib 201 . . . . 5
4213adantr 472 . . . . . 6
4315adantr 472 . . . . . 6
44 ssfg 20965 . . . . . . . 8
4511, 44syl 17 . . . . . . 7
4645sselda 3418 . . . . . 6
47 elrestr 15405 . . . . . 6 t
4842, 43, 46, 47syl3anc 1292 . . . . 5 t
4941, 48eqeltrrd 2550 . . . 4 t
5049ex 441 . . 3 t
5150ssrdv 3424 . 2 t
5237, 51eqssd 3435 1 t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wrex 2757   cin 3389   wss 3390  cpw 3942   cmpt 4454   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397  cfbas 19035  cfg 19036  cfil 20938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-rest 15399  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-fil 20939 This theorem is referenced by:  cmetss  22362  minveclem4a  22450  minveclem4aOLD  22462
 Copyright terms: Public domain W3C validator