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Theorem trfbas2 20107
Description: Conditions for the trace of a filter base  F to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Ft  A ) ) )

Proof of Theorem trfbas2
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5892 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
2 ssexg 4593 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  dom  fBas )  ->  A  e.  _V )
32ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  dom  fBas  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
41, 3sylan 471 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
5 restsspw 14687 . . . 4  |-  ( Ft  A )  C_  ~P A
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Ft  A )  C_  ~P A )
7 fbasne0 20094 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  =/=  (/) )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  F  =/=  (/) )
9 n0 3794 . . . . 5  |-  ( F  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  F )
108, 9sylib 196 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  E. x  x  e.  F )
11 elrestr 14684 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( Ft  A ) )
12113expia 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
x  e.  F  -> 
( x  i^i  A
)  e.  ( Ft  A ) ) )
134, 12syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  F  -> 
( x  i^i  A
)  e.  ( Ft  A ) ) )
14 ne0i 3791 . . . . . 6  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  ( Ft  A )  ->  ( Ft  A )  =/=  (/) )
1513, 14syl6 33 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  F  -> 
( Ft  A )  =/=  (/) ) )
1615exlimdv 1700 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( E. x  x  e.  F  ->  ( Ft  A )  =/=  (/) ) )
1710, 16mpd 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Ft  A )  =/=  (/) )
18 fbasssin 20100 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  z  e.  F  /\  w  e.  F )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
z  i^i  w )
)
19183expb 1197 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  (
z  e.  F  /\  w  e.  F )
)  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
z  i^i  w )
)
2019adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  ( z  i^i  w ) )
21 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  F  e.  ( fBas `  Y )
)
224ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  A  e.  _V )
23 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  x  e.  F )
2421, 22, 23, 11syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  ( x  i^i  A )  e.  ( Ft  A ) )
25 ssrin 3723 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
x  i^i  A )  C_  ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )
2625ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  ( x  i^i  A )  C_  (
( z  i^i  w
)  i^i  A )
)
27 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2827inex1 4588 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
2928elpw 4016 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A )  <->  ( x  i^i  A )  C_  (
( z  i^i  w
)  i^i  A )
)
3026, 29sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  ( x  i^i  A )  e.  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )
31 inelcm 3881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  e.  ( Ft  A )  /\  ( x  i^i  A )  e. 
~P ( ( z  i^i  w )  i^i 
A ) )  -> 
( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A ) )  =/=  (/) )
3224, 30, 31syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) )
3320, 32rexlimddv 2959 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  -> 
( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A ) )  =/=  (/) )
3433ralrimivva 2885 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. z  e.  F  A. w  e.  F  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) )
35 vex 3116 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
3635inex1 4588 . . . . . 6  |-  ( z  i^i  A )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  z  e.  F
)  ->  ( z  i^i  A )  e.  _V )
38 elrest 14683 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
x  e.  ( Ft  A )  <->  E. z  e.  F  x  =  ( z  i^i  A ) ) )
394, 38syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  ( Ft  A )  <->  E. z  e.  F  x  =  ( z  i^i  A ) ) )
40 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  w  e. 
_V
4140inex1 4588 . . . . . . 7  |-  ( w  i^i  A )  e. 
_V
4241a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  w  e.  F )  ->  (
w  i^i  A )  e.  _V )
43 elrest 14683 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
y  e.  ( Ft  A )  <->  E. w  e.  F  y  =  ( w  i^i  A ) ) )
444, 43syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
y  e.  ( Ft  A )  <->  E. w  e.  F  y  =  ( w  i^i  A ) ) )
4544adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  =  ( z  i^i  A ) )  ->  ( y  e.  ( Ft  A )  <->  E. w  e.  F  y  =  ( w  i^i  A ) ) )
46 ineq12 3695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  A )  i^i  ( w  i^i 
A ) ) )
47 inindir 3716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  i^i  w )  i^i  A )  =  ( ( z  i^i 
A )  i^i  (
w  i^i  A )
)
4846, 47syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  w )  i^i  A ) )
4948pweqd 4015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  ->  ~P ( x  i^i  y
)  =  ~P (
( z  i^i  w
)  i^i  A )
)
5049ineq2d 3700 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  -> 
( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  =  ( ( Ft  A )  i^i  ~P (
( z  i^i  w
)  i^i  A )
) )
5150neeq1d 2744 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  -> 
( ( ( Ft  A )  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) ) )
5251adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  y  =  ( w  i^i 
A ) )  -> 
( ( ( Ft  A )  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) ) )
5342, 45, 52ralxfr2d 4663 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  =  ( z  i^i  A ) )  ->  ( A. y  e.  ( Ft  A
) ( ( Ft  A )  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  A. w  e.  F  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) ) )
5437, 39, 53ralxfr2d 4663 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. x  e.  ( Ft  A ) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/)  <->  A. z  e.  F  A. w  e.  F  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) ) )
5534, 54mpbird 232 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. x  e.  ( Ft  A ) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) )
56 isfbas 20093 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  ( ( Ft  A )  C_  ~P A  /\  ( ( Ft  A )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( Ft  A )  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) ) ) ) )
5756baibd 907 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( Ft  A )  C_  ~P A )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  ( ( Ft  A )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( Ft  A )  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) ) ) )
58 3anan32 985 . . . . 5  |-  ( ( ( Ft  A )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( Ft  A )  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) )  <->  ( (
( Ft  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) )  /\  (/) 
e/  ( Ft  A ) ) )
5957, 58syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( Ft  A )  C_  ~P A )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  ( ( ( Ft  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Ft  A ) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) )  /\  (/) 
e/  ( Ft  A ) ) ) )
6059baibd 907 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( Ft  A )  C_  ~P A )  /\  (
( Ft  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) ) )  ->  ( ( Ft  A )  e.  ( fBas `  A )  <->  (/)  e/  ( Ft  A ) ) )
614, 6, 17, 55, 60syl22anc 1229 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  (/)  e/  ( Ft  A ) ) )
62 df-nel 2665 . 2  |-  ( (/)  e/  ( Ft  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Ft  A ) )
6361, 62syl6bb 261 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Ft  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662    e/ wnel 2663   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   dom cdm 4999   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ↾t crest 14676   fBascfbas 18205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-rest 14678  df-fbas 18215
This theorem is referenced by:  trfbas  20108  uzfbas  20162  trcfilu  20560
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