Theorem trdom2 14755

Description: The domain of a right translation.

Hypotheses

Ref	Expression
trfun.2	|- F = (x e. X |-> (xGA))
trinv.1	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
trdom2	|- ((G e. Grp /\ A e. X) -> dom F = X)

Distinct variable groups:   x,A   x,G   x,X

Proof of Theorem trdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 4907	. . . 4 |- (xGA) e. _V
2	1	a1i 8	. . 3 |- (((G e. Grp /\ A e. X) /\ x e. X) -> (xGA) e. _V)
3	2	r19.21aiva 2176	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> A.x e. X (xGA) e. _V)
4		trfun.2	. . 3 |- F = (x e. X |-> (xGA))
5	4	cmpdom 14481	. 2 |- (A.x e. X (xGA) e. _V <-> dom F = X)
6	3, 5	sylib 215	1 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> dom F = X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  dom cdm 3986  ran crn 3987  (class class class)co 4884   e. cmpt 5004  Grpcgr 9311

This theorem is referenced by:  imtr 14762

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006

Copyright terms: Public domain