Theorem trclval 15271

Description: The transitive closure of a set A.

Assertion

Ref	Expression
trclval	|- (A e. B -> (tr` A) = U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` a))

Distinct variable groups:   A,a   w,a,z

Proof of Theorem trclval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgeq2 5143	. . . . . . 7 |- (x = A -> rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) = rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A))
2		reseq1 4218	. . . . . . 7 |- (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) = rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) -> (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om) = (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om))
3	1, 2	syl 12	. . . . . 6 |- (x = A -> (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om) = (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om))
4	3	fveq1d 4683	. . . . 5 |- (x = A -> ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om)` a) = ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` a))
5	4	adantr 425	. . . 4 |- ((x = A /\ a e. om) -> ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om)` a) = ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` a))
6	5	iuneq2dv 3279	. . 3 |- (x = A -> U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om)` a) = U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` a))
7		df-trcls 15270	. . . 4 |- tr = {<.x, y>. | y = U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om)` a)}
8		relopab 4104	. . . . 5 |- Rel {<.x, y>. | y = U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om)` a)}
9		resid 4258	. . . . 5 |- (Rel {<.x, y>. | y = U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om)` a)} -> ({<.x, y>. | y = U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om)` a)} |` _V) = {<.x, y>. | y = U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om)` a)})
10	8, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- ({<.x, y>. | y = U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om)` a)} |` _V) = {<.x, y>. | y = U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om)` a)}
11		resopab 4252	. . . 4 |- ({<.x, y>. | y = U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om)` a)} |` _V) = {<.x, y>. | (x e. _V /\ y = U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om)` a))}
12	7, 10, 11	3eqtr2i 1915	. . 3 |- tr = {<.x, y>. | (x e. _V /\ y = U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, x) |` om)` a))}
13	6, 12	fvopab4g 4742	. 2 |- ((A e. _V /\ U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` a) e. _V) -> (tr` A) = U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` a))
14		elisset 2299	. 2 |- (A e. B -> A e. _V)
15		omex 5733	. . 3 |- om e. _V
16		fvex 4689	. . . . 5 |- ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` a) e. _V
17	16	a1i 8	. . . 4 |- (a e. om -> ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` a) e. _V)
18	17	rgen 2159	. . 3 |- A.a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` a) e. _V
19		iunexg 4838	. . 3 |- ((om e. _V /\ A.a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` a) e. _V) -> U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` a) e. _V)
20	15, 18, 19	mp2an 761	. 2 |- U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` a) e. _V
21	13, 14, 20	sylancl 525	1 |- (A e. B -> (tr` A) = U_a e. om ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` a))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   u. cun 2591  U.cuni 3177  U_ciun 3255  {copab 3395  omcom 3949   |` cres 3988  Rel wrel 3991  ` cfv 3998  reccrdg 5139  trctr 15269

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-trcls 15270

Copyright terms: Public domain