Theorem trcltr 13936

Description: The transitive closure is transitive in R and A

Assertion

Ref	Expression
trcltr	|- ((X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V) -> (Y e. Trcl(R, A, X) -> Pred(R, A, Y) C_ Trcl(R, A, X)))

Distinct variable groups:   x,R   x,A   x,X

Proof of Theorem trcltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . 12 |- (b e. Pred(R, A, X) -> A.f b e. Pred(R, A, X))
2		ax17el 1752	. . . . . . . . . . . 12 |- (b e. a -> A.f b e. a)
3		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . 12 |- (b e. U_h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h) -> A.f b e. U_h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h))
4		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y = f /\ z = g) -> z = g)
5		iuneq1 3269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = f -> U_t e. y Pred(R, A, t) = U_t e. f Pred(R, A, t))
6		predeq3 13883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t = h -> Pred(R, A, t) = Pred(R, A, h))
7	6	cbviunv 3290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U_t e. f Pred(R, A, t) = U_h e. f Pred(R, A, h)
8	5, 7	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = f -> U_t e. y Pred(R, A, t) = U_h e. f Pred(R, A, h))
9	8	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y = f /\ z = g) -> U_t e. y Pred(R, A, t) = U_h e. f Pred(R, A, h))
10	4, 9	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y = f /\ z = g) -> (z = U_t e. y Pred(R, A, t) <-> g = U_h e. f Pred(R, A, h)))
11	10	cbvopabv 3404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- {<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)} = {<.f, g>. | g = U_h e. f Pred(R, A, h)}
12		rdgeq1 5142	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)} = {<.f, g>. | g = U_h e. f Pred(R, A, h)} -> rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) = rec({<.f, g>. | g = U_h e. f Pred(R, A, h)}, Pred(R, A, X)))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) = rec({<.f, g>. | g = U_h e. f Pred(R, A, h)}, Pred(R, A, X))
14		reseq1 4218	. . . . . . . . . . . . 13 |- (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) = rec({<.f, g>. | g = U_h e. f Pred(R, A, h)}, Pred(R, A, X)) -> (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om) = (rec({<.f, g>. | g = U_h e. f Pred(R, A, h)}, Pred(R, A, X)) |` om))
15	13, 14	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om) = (rec({<.f, g>. | g = U_h e. f Pred(R, A, h)}, Pred(R, A, X)) |` om)
16		iuneq1 3269	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) -> U_h e. f Pred(R, A, h) = U_h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h))
17	1, 2, 3, 15, 16	frsucopab 5162	. . . . . . . . . . 11 |- ((a e. om /\ U_h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h) e. _V) -> ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` suc a) = U_h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h))
18		iunexg 4838	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) e. _V /\ A.h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h) e. _V) -> U_h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h) e. _V)
19		fvex 4689	. . . . . . . . . . . 12 |- ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) e. _V
20		setlikespec 13898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V) -> Pred(R, A, X) e. _V)
21		trcllem1 13933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Pred(R, A, X) e. _V -> ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) C_ A)
22	20, 21	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V) -> ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) C_ A)
23		ssralv 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) C_ A -> (A.h e. A Pred(R, A, h) e. _V -> A.h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h) e. _V))
24		cbvsetlike 13892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V <-> A.h e. A Pred(R, A, h) e. _V)
25	23, 24	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) C_ A -> (A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V -> A.h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h) e. _V))
26	25	com12 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V -> (((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) C_ A -> A.h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h) e. _V))
27	26	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V) -> (((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) C_ A -> A.h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h) e. _V))
28	22, 27	mpd 29	. . . . . . . . . . . 12 |- ((X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V) -> A.h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h) e. _V)
29	18, 19, 28	sylancr 526	. . . . . . . . . . 11 |- ((X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V) -> U_h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h) e. _V)
30	17, 29	sylan2 500	. . . . . . . . . 10 |- ((a e. om /\ (X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V)) -> ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` suc a) = U_h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h))
31	30	sseq2d 2645	. . . . . . . . 9 |- ((a e. om /\ (X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V)) -> (Pred(R, A, Y) C_ ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` suc a) <-> Pred(R, A, Y) C_ U_h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h)))
32		predeq3 13883	. . . . . . . . . 10 |- (h = Y -> Pred(R, A, h) = Pred(R, A, Y))
33	32	ssiun2s 3297	. . . . . . . . 9 |- (Y e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) -> Pred(R, A, Y) C_ U_h e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)Pred(R, A, h))
34	31, 33	syl5bir 227	. . . . . . . 8 |- ((a e. om /\ (X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V)) -> (Y e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) -> Pred(R, A, Y) C_ ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` suc a)))
35	34	expcom 403	. . . . . . 7 |- ((X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V) -> (a e. om -> (Y e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) -> Pred(R, A, Y) C_ ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` suc a))))
36	35	imp32 390	. . . . . 6 |- (((X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V) /\ (a e. om /\ Y e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a))) -> Pred(R, A, Y) C_ ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` suc a))
37		fnfvelrn 4786	. . . . . . . 8 |- (((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om) Fn om /\ suc a e. om) -> ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` suc a) e. ran (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om))
38		frfnom 5159	. . . . . . . 8 |- (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om) Fn om
39		peano2 3972	. . . . . . . 8 |- (a e. om -> suc a e. om)
40	37, 38, 39	sylancr 526	. . . . . . 7 |- (a e. om -> ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` suc a) e. ran (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om))
41	40	ad2antrl 442	. . . . . 6 |- (((X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V) /\ (a e. om /\ Y e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a))) -> ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` suc a) e. ran (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om))
42		ssuni 3201	. . . . . 6 |- ((Pred(R, A, Y) C_ ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` suc a) /\ ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` suc a) e. ran (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)) -> Pred(R, A, Y) C_ U.ran (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om))
43	36, 41, 42	syl11anc 524	. . . . 5 |- (((X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V) /\ (a e. om /\ Y e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a))) -> Pred(R, A, Y) C_ U.ran (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om))
44	43	exp32 408	. . . 4 |- ((X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V) -> (a e. om -> (Y e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) -> Pred(R, A, Y) C_ U.ran (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om))))
45		fndm 4512	. . . . . 6 |- ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om) Fn om -> dom (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om) = om)
46	38, 45	ax-mp 7	. . . . 5 |- dom (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om) = om
47	46	eleq2i 1961	. . . 4 |- (a e. dom (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om) <-> a e. om)
48	44, 47	syl5ib 223	. . 3 |- ((X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V) -> (a e. dom (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om) -> (Y e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) -> Pred(R, A, Y) C_ U.ran (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om))))
49	48	r19.23adv 2215	. 2 |- ((X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V) -> (E.a e. dom (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)Y e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a) -> Pred(R, A, Y) C_ U.ran (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)))
50		df-trcl 13925	. . . 4 |- Trcl(R, A, X) = U.ran (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)
51	50	eleq2i 1961	. . 3 |- (Y e. Trcl(R, A, X) <-> Y e. U.ran (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om))
52		fnfun 4510	. . . . 5 |- ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om) Fn om -> Fun (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om))
53	38, 52	ax-mp 7	. . . 4 |- Fun (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)
54		elunirn 4844	. . . 4 |- (Fun (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om) -> (Y e. U.ran (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om) <-> E.a e. dom (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)Y e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a)))
55	53, 54	ax-mp 7	. . 3 |- (Y e. U.ran (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om) <-> E.a e. dom (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)Y e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a))
56	51, 55	bitri 190	. 2 |- (Y e. Trcl(R, A, X) <-> E.a e. dom (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)Y e. ((rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om)` a))
57	50	sseq2i 2642	. 2 |- (Pred(R, A, Y) C_ Trcl(R, A, X) <-> Pred(R, A, Y) C_ U.ran (rec({<.y, z>. | z = U_t e. y Pred(R, A, t)}, Pred(R, A, X)) |` om))
58	49, 56, 57	3imtr4g 612	1 |- ((X e. A /\ A.x e. A Pred(R, A, x) e. _V) -> (Y e. Trcl(R, A, X) -> Pred(R, A, Y) C_ Trcl(R, A, X)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177  U_ciun 3255  {copab 3395  suc csuc 3659  omcom 3949  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  reccrdg 5139  Predcpred 13879  Trclctrcl 13924

This theorem is referenced by:  frmin 13938

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-15 1751  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-pred 13880  df-trcl 13925

Copyright terms: Public domain