Theorem trclpred 13934

Description: Assuming it exists, the predecessor class is a subset of the transitive closure.

Assertion

Ref	Expression
trclpred	|- (Pred(R, A, X) e. B -> Pred(R, A, X) C_ Trcl(R, A, X))

Proof of Theorem trclpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fr0g 5160	. . . . . 6 |- (Pred(R, A, X) e. B -> ((rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)` (/)) = Pred(R, A, X))
2		frfnom 5159	. . . . . . . 8 |- (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) Fn om
3		fnfun 4510	. . . . . . . 8 |- ((rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) Fn om -> Fun (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- Fun (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)
5		peano1 3971	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
6		fndm 4512	. . . . . . . . 9 |- ((rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) Fn om -> dom (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) = om)
7	2, 6	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- dom (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) = om
8	5, 7	eleqtrri 1970	. . . . . . 7 |- (/) e. dom (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)
9		funbrfvbg 4716	. . . . . . 7 |- ((Fun (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) /\ (/) e. dom (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) /\ Pred(R, A, X) e. B) -> (((rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)` (/)) = Pred(R, A, X) <-> (/)(rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)Pred(R, A, X)))
10	4, 8, 9	mp3an12 1181	. . . . . 6 |- (Pred(R, A, X) e. B -> (((rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)` (/)) = Pred(R, A, X) <-> (/)(rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)Pred(R, A, X)))
11	1, 10	mpbid 212	. . . . 5 |- (Pred(R, A, X) e. B -> (/)(rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)Pred(R, A, X))
12		0ex 3446	. . . . . 6 |- (/) e. _V
13		breq1 3341	. . . . . 6 |- (z = (/) -> (z(rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)Pred(R, A, X) <-> (/)(rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)Pred(R, A, X)))
14	12, 13	cla4ev 2371	. . . . 5 |- ((/)(rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)Pred(R, A, X) -> E.z z(rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)Pred(R, A, X))
15	11, 14	syl 12	. . . 4 |- (Pred(R, A, X) e. B -> E.z z(rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)Pred(R, A, X))
16		elrng 13878	. . . 4 |- (Pred(R, A, X) e. B -> (Pred(R, A, X) e. ran (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) <-> E.z z(rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)Pred(R, A, X)))
17	15, 16	mpbird 213	. . 3 |- (Pred(R, A, X) e. B -> Pred(R, A, X) e. ran (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om))
18		elssuni 3206	. . 3 |- (Pred(R, A, X) e. ran (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) -> Pred(R, A, X) C_ U.ran (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om))
19	17, 18	syl 12	. 2 |- (Pred(R, A, X) e. B -> Pred(R, A, X) C_ U.ran (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om))
20		df-trcl 13925	. 2 |- Trcl(R, A, X) = U.ran (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)
21	19, 20	syl6ssr 2664	1 |- (Pred(R, A, X) e. B -> Pred(R, A, X) C_ Trcl(R, A, X))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177  U_ciun 3255   class class class wbr 3338  {copab 3395  omcom 3949  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  reccrdg 5139  Predcpred 13879  Trclctrcl 13924

This theorem is referenced by:  frmin 13938

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-trcl 13925

Copyright terms: Public domain