Theorem trclfvdecomr 36290

Description: The transitive closure of a relation may be decomposed into a union of the relation and the composition of the relation with its transitive closure. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvdecomr	|- ( R e. V -> ( t+ ` R ) = ( R u. ( ( t+ ` R ) o. R ) ) )

Proof of Theorem trclfvdecomr

Dummy variables m n r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3089	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
2		oveq1 6312	. . . . 5 |- ( r = R -> ( r ^r n ) = ( R ^r n ) )
3	2	iuneq2d 4326	. . . 4 |- ( r = R -> U_ n e. NN ( r ^r n ) = U_ n e. NN ( R ^r n ) )
4		dftrcl3 36282	. . . 4 |- t+ = ( r e. _V |-> U_ n e. NN ( r ^r n ) )
5		nnex 10622	. . . . 5 |- NN e. _V
6		ovex 6333	. . . . 5 |- ( R ^r n ) e. _V
7	5, 6	iunex 6787	. . . 4 |- U_ n e. NN ( R ^r n ) e. _V
8	3, 4, 7	fvmpt 5964	. . 3 |- ( R e. _V -> ( t+ ` R ) = U_ n e. NN ( R ^r n ) )
9	1, 8	syl 17	. 2 |- ( R e. V -> ( t+ ` R ) = U_ n e. NN ( R ^r n ) )
10		nnuz 11201	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11		2eluzge1 11212	. . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
12		uzsplit 11873	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 1 ) = ( ( 1 ... ( 2 - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ( 1 ... ( 2 - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` 2 ) )
14		2m1e1 10731	. . . . . . . . 9 |- ( 2 - 1 ) = 1
15	14	oveq2i 6316	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( 2 - 1 ) ) = ( 1 ... 1 )
16		1z 10974	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
17		fzsn 11847	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... 1 ) = { 1 }
19	15, 18	eqtri 2451	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( 2 - 1 ) ) = { 1 }
20	19	uneq1i 3616	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... ( 2 - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` 2 ) ) = ( { 1 } u. ( ZZ>= ` 2 ) )
21	10, 13, 20	3eqtri 2455	. . . . 5 |- NN = ( { 1 } u. ( ZZ>= ` 2 ) )
22		iuneq1 4313	. . . . 5 |- ( NN = ( { 1 } u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> U_ n e. NN ( R ^r n ) = U_ n e. ( { 1 } u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ( R ^r n ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . 4 |- U_ n e. NN ( R ^r n ) = U_ n e. ( { 1 } u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ( R ^r n )
24		iunxun 4384	. . . 4 |- U_ n e. ( { 1 } u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ( R ^r n ) = ( U_ n e. { 1 } ( R ^r n ) u. U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) )
25		1ex 9645	. . . . . 6 |- 1 e. _V
26		oveq2 6313	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( R ^r n ) = ( R ^r 1 ) )
27	25, 26	iunxsn 4382	. . . . 5 |- U_ n e. { 1 } ( R ^r n ) = ( R ^r 1 )
28	27	uneq1i 3616	. . . 4 |- ( U_ n e. { 1 } ( R ^r n ) u. U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) ) = ( ( R ^r 1 ) u. U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) )
29	23, 24, 28	3eqtri 2455	. . 3 |- U_ n e. NN ( R ^r n ) = ( ( R ^r 1 ) u. U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) )
30		relexp1g 13089	. . . 4 |- ( R e. V -> ( R ^r 1 ) = R )
31		oveq1 6312	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( r ^r m ) = ( R ^r m ) )
32	31	iuneq2d 4326	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> U_ m e. NN ( r ^r m ) = U_ m e. NN ( R ^r m ) )
33		dftrcl3 36282	. . . . . . . . 9 |- t+ = ( r e. _V |-> U_ m e. NN ( r ^r m ) )
34		ovex 6333	. . . . . . . . . 10 |- ( R ^r m ) e. _V
35	5, 34	iunex 6787	. . . . . . . . 9 |- U_ m e. NN ( R ^r m ) e. _V
36	32, 33, 35	fvmpt 5964	. . . . . . . 8 |- ( R e. _V -> ( t+ ` R ) = U_ m e. NN ( R ^r m ) )
37	1, 36	syl 17	. . . . . . 7 |- ( R e. V -> ( t+ ` R ) = U_ m e. NN ( R ^r m ) )
38	37	coeq1d 5015	. . . . . 6 |- ( R e. V -> ( ( t+ ` R ) o. R ) = ( U_ m e. NN ( R ^r m ) o. R ) )
39		coiun1 36214	. . . . . . 7 |- ( U_ m e. NN ( R ^r m ) o. R ) = U_ m e. NN ( ( R ^r m ) o. R )
40		uz2m1nn 11240	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n - 1 ) e. NN )
41	40	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( n - 1 ) e. NN )
42		eluzp1p1 11191	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
43	42, 10	eleq2s 2527	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
44		1p1e2 10730	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 + 1 ) = 2
45	44	fveq2i 5884	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 2 )
46	43, 45	syl6eleq 2517	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
47	46	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
48		oveq2 6313	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( R ^r m ) = ( R ^r ( n - 1 ) ) )
49	48	coeq1d 5015	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( ( R ^r m ) o. R ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) )
50	49	3ad2ant3 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ n e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ m = ( n - 1 ) ) -> ( ( R ^r m ) o. R ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) )
51		oveq2 6313	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( R ^r n ) = ( R ^r ( m + 1 ) ) )
52	51	3ad2ant3 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ m e. NN /\ n = ( m + 1 ) ) -> ( R ^r n ) = ( R ^r ( m + 1 ) ) )
53		relexpsucnnr 13088	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ m e. NN ) -> ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( ( R ^r m ) o. R ) )
54	53	eqcomd 2430	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ m e. NN ) -> ( ( R ^r m ) o. R ) = ( R ^r ( m + 1 ) ) )
55		relexpsucnnr 13088	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ ( n - 1 ) e. NN ) -> ( R ^r ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) )
56	40, 55	sylan2 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R ^r ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) )
57		eluzelcn 11177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> n e. CC )
58		npcan1 10051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. CC -> ( ( n - 1 ) + 1 ) = n )
59		oveq2 6313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n - 1 ) + 1 ) = n -> ( R ^r ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( R ^r n ) )
60	57, 58, 59	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( R ^r ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( R ^r n ) )
61	60	eqeq1d 2424	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( R ^r ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) <-> ( R ^r n ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) ) )
62	61	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( R ^r ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) <-> ( R ^r n ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) ) )
63	56, 62	mpbid 213	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R ^r n ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) )
64	41, 47, 50, 52, 54, 63	cbviuneq12dv 36224	. . . . . . 7 |- ( R e. V -> U_ m e. NN ( ( R ^r m ) o. R ) = U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) )
65	39, 64	syl5eq 2475	. . . . . 6 |- ( R e. V -> ( U_ m e. NN ( R ^r m ) o. R ) = U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) )
66	38, 65	eqtrd 2463	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( ( t+ ` R ) o. R ) = U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) )
67	66	eqcomd 2430	. . . 4 |- ( R e. V -> U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) = ( ( t+ ` R ) o. R ) )
68	30, 67	uneq12d 3621	. . 3 |- ( R e. V -> ( ( R ^r 1 ) u. U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) ) = ( R u. ( ( t+ ` R ) o. R ) ) )
69	29, 68	syl5eq 2475	. 2 |- ( R e. V -> U_ n e. NN ( R ^r n ) = ( R u. ( ( t+ ` R ) o. R ) ) )
70	9, 69	eqtrd 2463	1 |- ( R e. V -> ( t+ ` R ) = ( R u. ( ( t+ ` R ) o. R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   _Vcvv 3080   u. cun 3434   {csn 3998   U_ciun 4299   o. ccom 4857   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   1c1 9547   + caddc 9549   - cmin 9867   NNcn 10616   2c2 10666   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791   t+ctcl 13049   ^r crelexp 13083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-seq 12220  df-trcl 13051  df-relexp 13084

This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  36291  dmtrclfvRP  36292  frege124d  36323  frege131d  36326