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Theorem trclfvdecomr 36290
Description: The transitive closure of a relation may be decomposed into a union of the relation and the composition of the relation with its transitive closure. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
trclfvdecomr  |-  ( R  e.  V  ->  (
t+ `  R
)  =  ( R  u.  ( ( t+ `  R )  o.  R ) ) )

Proof of Theorem trclfvdecomr
Dummy variables  m  n  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3089 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
2 oveq1 6312 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (
r ^r  n )  =  ( R ^r  n ) )
32iuneq2d 4326 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  U_ n  e.  NN  ( r ^r  n )  = 
U_ n  e.  NN  ( R ^r 
n ) )
4 dftrcl3 36282 . . . 4  |-  t+  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN  ( r ^r 
n ) )
5 nnex 10622 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
6 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( R ^r  n )  e.  _V
75, 6iunex 6787 . . . 4  |-  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  e. 
_V
83, 4, 7fvmpt 5964 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  (
t+ `  R
)  =  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n ) )
91, 8syl 17 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  (
t+ `  R
)  =  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n ) )
10 nnuz 11201 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
11 2eluzge1 11212 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
12 uzsplit 11873 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
1 )  =  ( ( 1 ... (
2  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  ( ( 1 ... (
2  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
14 2m1e1 10731 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1514oveq2i 6316 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( 2  -  1 ) )  =  ( 1 ... 1
)
16 1z 10974 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
17 fzsn 11847 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... 1 )  =  { 1 }
1915, 18eqtri 2451 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( 2  -  1 ) )  =  { 1 }
2019uneq1i 3616 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... ( 2  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  2
) )  =  ( { 1 }  u.  ( ZZ>= `  2 )
)
2110, 13, 203eqtri 2455 . . . . 5  |-  NN  =  ( { 1 }  u.  ( ZZ>= `  2 )
)
22 iuneq1 4313 . . . . 5  |-  ( NN  =  ( { 1 }  u.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  U_ n  e.  NN  ( R ^r 
n )  =  U_ n  e.  ( {
1 }  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) ( R ^r 
n ) )
2321, 22ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  = 
U_ n  e.  ( { 1 }  u.  ( ZZ>= `  2 )
) ( R ^r  n )
24 iunxun 4384 . . . 4  |-  U_ n  e.  ( { 1 }  u.  ( ZZ>= `  2
) ) ( R ^r  n )  =  ( U_ n  e.  { 1 }  ( R ^r  n )  u.  U_ n  e.  ( ZZ>= `  2 )
( R ^r 
n ) )
25 1ex 9645 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
26 oveq2 6313 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( R ^r  n )  =  ( R ^r  1 ) )
2725, 26iunxsn 4382 . . . . 5  |-  U_ n  e.  { 1 }  ( R ^r  n )  =  ( R ^r  1 )
2827uneq1i 3616 . . . 4  |-  ( U_ n  e.  { 1 }  ( R ^r  n )  u. 
U_ n  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( R ^r  n ) )  =  ( ( R ^r 
1 )  u.  U_ n  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( R ^r  n ) )
2923, 24, 283eqtri 2455 . . 3  |-  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  =  ( ( R ^r  1 )  u. 
U_ n  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( R ^r  n ) )
30 relexp1g 13089 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
31 oveq1 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
r ^r  m )  =  ( R ^r  m ) )
3231iuneq2d 4326 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  U_ m  e.  NN  ( r ^r  m )  = 
U_ m  e.  NN  ( R ^r 
m ) )
33 dftrcl3 36282 . . . . . . . . 9  |-  t+  =  ( r  e.  _V  |->  U_ m  e.  NN  ( r ^r 
m ) )
34 ovex 6333 . . . . . . . . . 10  |-  ( R ^r  m )  e.  _V
355, 34iunex 6787 . . . . . . . . 9  |-  U_ m  e.  NN  ( R ^r  m )  e. 
_V
3632, 33, 35fvmpt 5964 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  _V  ->  (
t+ `  R
)  =  U_ m  e.  NN  ( R ^r  m ) )
371, 36syl 17 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  (
t+ `  R
)  =  U_ m  e.  NN  ( R ^r  m ) )
3837coeq1d 5015 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  (
( t+ `  R )  o.  R
)  =  ( U_ m  e.  NN  ( R ^r  m )  o.  R ) )
39 coiun1 36214 . . . . . . 7  |-  ( U_ m  e.  NN  ( R ^r  m )  o.  R )  = 
U_ m  e.  NN  ( ( R ^r  m )  o.  R )
40 uz2m1nn 11240 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( n  -  1 )  e.  NN )
4140adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( n  -  1 )  e.  NN )
42 eluzp1p1 11191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
4342, 10eleq2s 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) ) )
44 1p1e2 10730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  1 )  =  2
4544fveq2i 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  2 )
4643, 45syl6eleq 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
4746adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
48 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  ( R ^r  m )  =  ( R ^r  ( n  - 
1 ) ) )
4948coeq1d 5015 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( R ^r 
m )  o.  R
)  =  ( ( R ^r  ( n  -  1 ) )  o.  R ) )
50493ad2ant3 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  m  =  ( n  - 
1 ) )  -> 
( ( R ^r  m )  o.  R )  =  ( ( R ^r 
( n  -  1 ) )  o.  R
) )
51 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( R ^r  n )  =  ( R ^r  ( m  + 
1 ) ) )
52513ad2ant3 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  m  e.  NN  /\  n  =  ( m  + 
1 ) )  -> 
( R ^r 
n )  =  ( R ^r  ( m  +  1 ) ) )
53 relexpsucnnr 13088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  m  e.  NN )  ->  ( R ^r 
( m  +  1 ) )  =  ( ( R ^r 
m )  o.  R
) )
5453eqcomd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( R ^r  m )  o.  R )  =  ( R ^r  ( m  +  1 ) ) )
55 relexpsucnnr 13088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( n  -  1
)  e.  NN )  ->  ( R ^r  ( ( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r  ( n  - 
1 ) )  o.  R ) )
5640, 55sylan2 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( R ^r 
( ( n  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r 
( n  -  1 ) )  o.  R
) )
57 eluzelcn 11177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  n  e.  CC )
58 npcan1 10051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  CC  ->  (
( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
59 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n  ->  ( R ^r  ( ( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( R ^r  n ) )
6057, 58, 593syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( R ^r  ( ( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( R ^r  n ) )
6160eqeq1d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( R ^r  ( ( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r  ( n  -  1 ) )  o.  R )  <->  ( R ^r  n )  =  ( ( R ^r  ( n  -  1 ) )  o.  R ) ) )
6261adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( R ^r  ( ( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r  ( n  - 
1 ) )  o.  R )  <->  ( R ^r  n )  =  ( ( R ^r  ( n  -  1 ) )  o.  R ) ) )
6356, 62mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( R ^r 
n )  =  ( ( R ^r 
( n  -  1 ) )  o.  R
) )
6441, 47, 50, 52, 54, 63cbviuneq12dv 36224 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  U_ m  e.  NN  ( ( R ^r  m )  o.  R )  = 
U_ n  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( R ^r  n ) )
6539, 64syl5eq 2475 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  ( U_ m  e.  NN  ( R ^r 
m )  o.  R
)  =  U_ n  e.  ( ZZ>= `  2 )
( R ^r 
n ) )
6638, 65eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (
( t+ `  R )  o.  R
)  =  U_ n  e.  ( ZZ>= `  2 )
( R ^r 
n ) )
6766eqcomd 2430 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U_ n  e.  ( ZZ>= `  2 )
( R ^r 
n )  =  ( ( t+ `  R )  o.  R
) )
6830, 67uneq12d 3621 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  (
( R ^r 
1 )  u.  U_ n  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( R ^r  n ) )  =  ( R  u.  ( ( t+ `  R )  o.  R ) ) )
6929, 68syl5eq 2475 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  =  ( R  u.  (
( t+ `  R )  o.  R
) ) )
709, 69eqtrd 2463 1  |-  ( R  e.  V  ->  (
t+ `  R
)  =  ( R  u.  ( ( t+ `  R )  o.  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3080    u. cun 3434   {csn 3998   U_ciun 4299    o. ccom 4857   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   1c1 9547    + caddc 9549    - cmin 9867   NNcn 10616   2c2 10666   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791   t+ctcl 13049   ^r crelexp 13083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-seq 12220  df-trcl 13051  df-relexp 13084
This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  36291  dmtrclfvRP  36292  frege124d  36323  frege131d  36326
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