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Theorem trclfvdecomr 36391
Description: The transitive closure of a relation may be decomposed into a union of the relation and the composition of the relation with its transitive closure. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
trclfvdecomr  |-  ( R  e.  V  ->  (
t+ `  R
)  =  ( R  u.  ( ( t+ `  R )  o.  R ) ) )

Proof of Theorem trclfvdecomr
Dummy variables  m  n  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3040 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
2 oveq1 6315 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (
r ^r  n )  =  ( R ^r  n ) )
32iuneq2d 4296 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  U_ n  e.  NN  ( r ^r  n )  = 
U_ n  e.  NN  ( R ^r 
n ) )
4 dftrcl3 36383 . . . 4  |-  t+  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN  ( r ^r 
n ) )
5 nnex 10637 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
6 ovex 6336 . . . . 5  |-  ( R ^r  n )  e.  _V
75, 6iunex 6792 . . . 4  |-  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  e. 
_V
83, 4, 7fvmpt 5963 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  (
t+ `  R
)  =  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n ) )
91, 8syl 17 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  (
t+ `  R
)  =  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n ) )
10 nnuz 11218 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
11 2eluzge1 11228 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
12 uzsplit 11892 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
1 )  =  ( ( 1 ... (
2  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  ( ( 1 ... (
2  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
14 2m1e1 10746 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1514oveq2i 6319 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( 2  -  1 ) )  =  ( 1 ... 1
)
16 1z 10991 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
17 fzsn 11866 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... 1 )  =  { 1 }
1915, 18eqtri 2493 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( 2  -  1 ) )  =  { 1 }
2019uneq1i 3575 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... ( 2  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  2
) )  =  ( { 1 }  u.  ( ZZ>= `  2 )
)
2110, 13, 203eqtri 2497 . . . . 5  |-  NN  =  ( { 1 }  u.  ( ZZ>= `  2 )
)
22 iuneq1 4283 . . . . 5  |-  ( NN  =  ( { 1 }  u.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  U_ n  e.  NN  ( R ^r 
n )  =  U_ n  e.  ( {
1 }  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) ( R ^r 
n ) )
2321, 22ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  = 
U_ n  e.  ( { 1 }  u.  ( ZZ>= `  2 )
) ( R ^r  n )
24 iunxun 4354 . . . 4  |-  U_ n  e.  ( { 1 }  u.  ( ZZ>= `  2
) ) ( R ^r  n )  =  ( U_ n  e.  { 1 }  ( R ^r  n )  u.  U_ n  e.  ( ZZ>= `  2 )
( R ^r 
n ) )
25 1ex 9656 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
26 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( R ^r  n )  =  ( R ^r  1 ) )
2725, 26iunxsn 4352 . . . . 5  |-  U_ n  e.  { 1 }  ( R ^r  n )  =  ( R ^r  1 )
2827uneq1i 3575 . . . 4  |-  ( U_ n  e.  { 1 }  ( R ^r  n )  u. 
U_ n  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( R ^r  n ) )  =  ( ( R ^r 
1 )  u.  U_ n  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( R ^r  n ) )
2923, 24, 283eqtri 2497 . . 3  |-  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  =  ( ( R ^r  1 )  u. 
U_ n  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( R ^r  n ) )
30 relexp1g 13166 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  ( R ^r  1 )  =  R )
31 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
r ^r  m )  =  ( R ^r  m ) )
3231iuneq2d 4296 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  U_ m  e.  NN  ( r ^r  m )  = 
U_ m  e.  NN  ( R ^r 
m ) )
33 dftrcl3 36383 . . . . . . . . 9  |-  t+  =  ( r  e.  _V  |->  U_ m  e.  NN  ( r ^r 
m ) )
34 ovex 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( R ^r  m )  e.  _V
355, 34iunex 6792 . . . . . . . . 9  |-  U_ m  e.  NN  ( R ^r  m )  e. 
_V
3632, 33, 35fvmpt 5963 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  _V  ->  (
t+ `  R
)  =  U_ m  e.  NN  ( R ^r  m ) )
371, 36syl 17 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  (
t+ `  R
)  =  U_ m  e.  NN  ( R ^r  m ) )
3837coeq1d 5001 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  (
( t+ `  R )  o.  R
)  =  ( U_ m  e.  NN  ( R ^r  m )  o.  R ) )
39 coiun1 36315 . . . . . . 7  |-  ( U_ m  e.  NN  ( R ^r  m )  o.  R )  = 
U_ m  e.  NN  ( ( R ^r  m )  o.  R )
40 uz2m1nn 11256 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( n  -  1 )  e.  NN )
4140adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( n  -  1 )  e.  NN )
42 eluzp1p1 11208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
4342, 10eleq2s 2567 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) ) )
44 1p1e2 10745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  1 )  =  2
4544fveq2i 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  2 )
4643, 45syl6eleq 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
4746adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
48 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  ( R ^r  m )  =  ( R ^r  ( n  - 
1 ) ) )
4948coeq1d 5001 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( R ^r 
m )  o.  R
)  =  ( ( R ^r  ( n  -  1 ) )  o.  R ) )
50493ad2ant3 1053 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  m  =  ( n  - 
1 ) )  -> 
( ( R ^r  m )  o.  R )  =  ( ( R ^r 
( n  -  1 ) )  o.  R
) )
51 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( R ^r  n )  =  ( R ^r  ( m  + 
1 ) ) )
52513ad2ant3 1053 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  m  e.  NN  /\  n  =  ( m  + 
1 ) )  -> 
( R ^r 
n )  =  ( R ^r  ( m  +  1 ) ) )
53 relexpsucnnr 13165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  m  e.  NN )  ->  ( R ^r 
( m  +  1 ) )  =  ( ( R ^r 
m )  o.  R
) )
5453eqcomd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( R ^r  m )  o.  R )  =  ( R ^r  ( m  +  1 ) ) )
55 relexpsucnnr 13165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( n  -  1
)  e.  NN )  ->  ( R ^r  ( ( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r  ( n  - 
1 ) )  o.  R ) )
5640, 55sylan2 482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( R ^r 
( ( n  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r 
( n  -  1 ) )  o.  R
) )
57 eluzelcn 11194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  n  e.  CC )
58 npcan1 10065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  CC  ->  (
( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
59 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n  ->  ( R ^r  ( ( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( R ^r  n ) )
6057, 58, 593syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( R ^r  ( ( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( R ^r  n ) )
6160eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( R ^r  ( ( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r  ( n  -  1 ) )  o.  R )  <->  ( R ^r  n )  =  ( ( R ^r  ( n  -  1 ) )  o.  R ) ) )
6261adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( R ^r  ( ( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^r  ( n  - 
1 ) )  o.  R )  <->  ( R ^r  n )  =  ( ( R ^r  ( n  -  1 ) )  o.  R ) ) )
6356, 62mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( R ^r 
n )  =  ( ( R ^r 
( n  -  1 ) )  o.  R
) )
6441, 47, 50, 52, 54, 63cbviuneq12dv 36325 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  U_ m  e.  NN  ( ( R ^r  m )  o.  R )  = 
U_ n  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( R ^r  n ) )
6539, 64syl5eq 2517 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  ( U_ m  e.  NN  ( R ^r 
m )  o.  R
)  =  U_ n  e.  ( ZZ>= `  2 )
( R ^r 
n ) )
6638, 65eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (
( t+ `  R )  o.  R
)  =  U_ n  e.  ( ZZ>= `  2 )
( R ^r 
n ) )
6766eqcomd 2477 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U_ n  e.  ( ZZ>= `  2 )
( R ^r 
n )  =  ( ( t+ `  R )  o.  R
) )
6830, 67uneq12d 3580 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  (
( R ^r 
1 )  u.  U_ n  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( R ^r  n ) )  =  ( R  u.  ( ( t+ `  R )  o.  R ) ) )
6929, 68syl5eq 2517 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  U_ n  e.  NN  ( R ^r  n )  =  ( R  u.  (
( t+ `  R )  o.  R
) ) )
709, 69eqtrd 2505 1  |-  ( R  e.  V  ->  (
t+ `  R
)  =  ( R  u.  ( ( t+ `  R )  o.  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    u. cun 3388   {csn 3959   U_ciun 4269    o. ccom 4843   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   1c1 9558    + caddc 9560    - cmin 9880   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   t+ctcl 13124   ^r crelexp 13160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-seq 12252  df-trcl 13126  df-relexp 13161
This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  36392  dmtrclfvRP  36393  frege124d  36424  frege131d  36427
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