Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trclfvdecomr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem trclfvdecomr 36391
 Description: The transitive closure of a relation may be decomposed into a union of the relation and the composition of the relation with its transitive closure. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
trclfvdecomr

Proof of Theorem trclfvdecomr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3040 . . 3
2 oveq1 6315 . . . . 5
32iuneq2d 4296 . . . 4
4 dftrcl3 36383 . . . 4
5 nnex 10637 . . . . 5
6 ovex 6336 . . . . 5
75, 6iunex 6792 . . . 4
83, 4, 7fvmpt 5963 . . 3
91, 8syl 17 . 2
10 nnuz 11218 . . . . . 6
11 2eluzge1 11228 . . . . . . 7
12 uzsplit 11892 . . . . . . 7
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6
14 2m1e1 10746 . . . . . . . . 9
1514oveq2i 6319 . . . . . . . 8
16 1z 10991 . . . . . . . . 9
17 fzsn 11866 . . . . . . . . 9
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8
1915, 18eqtri 2493 . . . . . . 7
2019uneq1i 3575 . . . . . 6
2110, 13, 203eqtri 2497 . . . . 5
22 iuneq1 4283 . . . . 5
2321, 22ax-mp 5 . . . 4
24 iunxun 4354 . . . 4
25 1ex 9656 . . . . . 6
26 oveq2 6316 . . . . . 6
2725, 26iunxsn 4352 . . . . 5
2827uneq1i 3575 . . . 4
2923, 24, 283eqtri 2497 . . 3
30 relexp1g 13166 . . . 4
31 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
3231iuneq2d 4296 . . . . . . . . 9
33 dftrcl3 36383 . . . . . . . . 9
34 ovex 6336 . . . . . . . . . 10
355, 34iunex 6792 . . . . . . . . 9
3632, 33, 35fvmpt 5963 . . . . . . . 8
371, 36syl 17 . . . . . . 7
3837coeq1d 5001 . . . . . 6
39 coiun1 36315 . . . . . . 7
40 uz2m1nn 11256 . . . . . . . . 9
4140adantl 473 . . . . . . . 8
42 eluzp1p1 11208 . . . . . . . . . . 11
4342, 10eleq2s 2567 . . . . . . . . . 10
44 1p1e2 10745 . . . . . . . . . . 11
4544fveq2i 5882 . . . . . . . . . 10
4643, 45syl6eleq 2559 . . . . . . . . 9
4746adantl 473 . . . . . . . 8
48 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10
4948coeq1d 5001 . . . . . . . . 9
50493ad2ant3 1053 . . . . . . . 8
51 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
52513ad2ant3 1053 . . . . . . . 8
53 relexpsucnnr 13165 . . . . . . . . 9
5453eqcomd 2477 . . . . . . . 8
55 relexpsucnnr 13165 . . . . . . . . . 10
5640, 55sylan2 482 . . . . . . . . 9
57 eluzelcn 11194 . . . . . . . . . . . 12
58 npcan1 10065 . . . . . . . . . . . 12
59 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12
6057, 58, 593syl 18 . . . . . . . . . . 11
6160eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10
6261adantl 473 . . . . . . . . 9
6356, 62mpbid 215 . . . . . . . 8
6441, 47, 50, 52, 54, 63cbviuneq12dv 36325 . . . . . . 7
6539, 64syl5eq 2517 . . . . . 6
6638, 65eqtrd 2505 . . . . 5
6766eqcomd 2477 . . . 4
6830, 67uneq12d 3580 . . 3
6929, 68syl5eq 2517 . 2
709, 69eqtrd 2505 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cun 3388  csn 3959  ciun 4269   ccom 4843  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  c1 9558   caddc 9560   cmin 9880  cn 10631  c2 10681  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  ctcl 13124   crelexp 13160 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-seq 12252  df-trcl 13126  df-relexp 13161 This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  36392  dmtrclfvRP  36393  frege124d  36424  frege131d  36427
 Copyright terms: Public domain W3C validator