Theorem trclex 13937

Description: The transitive closure of a relation exists (NOTE: this is the first theorem in the transitive closure series that requires infinity).

Assertion

Ref	Expression
trclex	|- Trcl(R, A, X) e. _V

Proof of Theorem trclex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trcl 13925	. 2 |- Trcl(R, A, X) = U.ran (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om)
2		frfnom 5159	. . . . 5 |- (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) Fn om
3		omex 5733	. . . . 5 |- om e. _V
4		fnex 4535	. . . . 5 |- (((rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) Fn om /\ om e. _V) -> (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) e. _V)
5	2, 3, 4	mp2an 761	. . . 4 |- (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) e. _V
6	5	rnex 4209	. . 3 |- ran (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) e. _V
7	6	uniex 3794	. 2 |- U.ran (rec({<.a, b>. | b = U_y e. a Pred(R, A, y)}, Pred(R, A, X)) |` om) e. _V
8	1, 7	eqeltri 1967	1 |- Trcl(R, A, X) e. _V

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  U.cuni 3177  U_ciun 3255  {copab 3395  omcom 3949  ran crn 3987   |` cres 3988   Fn wfn 3993  reccrdg 5139  Predcpred 13879  Trclctrcl 13924

This theorem is referenced by:  frmin 13938

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-trcl 13925

Copyright terms: Public domain