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Theorem trcl 8213
Description: For any set  A, show the properties of its transitive closure  C. Similar to Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73 except that we show an explicit expression for the transitive closure rather than just its existence. See tz9.1 8214 for an abbreviated version showing existence. (Contributed by NM, 14-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
trcl.1  |-  A  e. 
_V
trcl.2  |-  F  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om )
trcl.3  |-  C  = 
U_ y  e.  om  ( F `  y )
Assertion
Ref Expression
trcl  |-  ( A 
C_  C  /\  Tr  C  /\  A. x ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  C  C_  x ) )
Distinct variable groups:    x, z    x, y, A    x, F, y
Allowed substitution hints:    A( z)    C( x, y, z)    F( z)

Proof of Theorem trcl
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1 6722 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
2 trcl.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om )
32fveq1i 5878 . . . . . . 7  |-  ( F `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om ) `  (/) )
4 trcl.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
5 fr0g 7157 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om ) `  (/) )  =  A )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  A
73, 6eqtr2i 2452 . . . . . 6  |-  A  =  ( F `  (/) )
87eqimssi 3518 . . . . 5  |-  A  C_  ( F `  (/) )
9 fveq2 5877 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  (/) ) )
109sseq2d 3492 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A 
C_  ( F `  y )  <->  A  C_  ( F `  (/) ) ) )
1110rspcev 3182 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  A  C_  ( F `  (/) ) )  ->  E. y  e.  om  A  C_  ( F `  y ) )
121, 8, 11mp2an 676 . . . 4  |-  E. y  e.  om  A  C_  ( F `  y )
13 ssiun 4338 . . . 4  |-  ( E. y  e.  om  A  C_  ( F `  y
)  ->  A  C_  U_ y  e.  om  ( F `  y ) )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  A  C_  U_ y  e.  om  ( F `  y )
15 trcl.3 . . 3  |-  C  = 
U_ y  e.  om  ( F `  y )
1614, 15sseqtr4i 3497 . 2  |-  A  C_  C
17 dftr2 4517 . . . 4  |-  ( Tr 
U_ y  e.  om  ( F `  y )  <->  A. v A. u ( ( v  e.  u  /\  u  e.  U_ y  e.  om  ( F `  y ) )  -> 
v  e.  U_ y  e.  om  ( F `  y ) ) )
18 eliun 4301 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  U_ y  e. 
om  ( F `  y )  <->  E. y  e.  om  u  e.  ( F `  y ) )
1918anbi2i 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  u  /\  u  e.  U_ y  e. 
om  ( F `  y ) )  <->  ( v  e.  u  /\  E. y  e.  om  u  e.  ( F `  y ) ) )
20 r19.42v 2983 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  om  (
v  e.  u  /\  u  e.  ( F `  y ) )  <->  ( v  e.  u  /\  E. y  e.  om  u  e.  ( F `  y ) ) )
2119, 20bitr4i 255 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  u  /\  u  e.  U_ y  e. 
om  ( F `  y ) )  <->  E. y  e.  om  ( v  e.  u  /\  u  e.  ( F `  y
) ) )
22 elunii 4221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  u  /\  u  e.  ( F `  y ) )  -> 
v  e.  U. ( F `  y )
)
23 ssun2 3630 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( F `  y )  C_  ( ( F `  y )  u.  U. ( F `  y ) )
24 fvex 5887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
2524uniex 6597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( F `  y )  e.  _V
2624, 25unex 6599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  y )  u.  U. ( F `
 y ) )  e.  _V
27 id 23 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
28 unieq 4224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  U. x  =  U. z )
2927, 28uneq12d 3621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x  u.  U. x
)  =  ( z  u.  U. z ) )
30 id 23 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  x  =  ( F `  y ) )
31 unieq 4224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  U. x  =  U. ( F `  y ) )
3230, 31uneq12d 3621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
x  u.  U. x
)  =  ( ( F `  y )  u.  U. ( F `
 y ) ) )
332, 29, 32frsucmpt2 7161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( ( F `  y )  u.  U. ( F `  y ) )  e.  _V )  ->  ( F `  suc  y )  =  ( ( F `  y
)  u.  U. ( F `  y )
) )
3426, 33mpan2 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( F `  suc  y )  =  ( ( F `
 y )  u. 
U. ( F `  y ) ) )
3523, 34syl5sseqr 3513 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  U. ( F `  y )  C_  ( F `  suc  y ) )
3635sseld 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
v  e.  U. ( F `  y )  ->  v  e.  ( F `
 suc  y )
) )
3722, 36syl5 33 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
( v  e.  u  /\  u  e.  ( F `  y )
)  ->  v  e.  ( F `  suc  y
) ) )
3837reximia 2891 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  om  (
v  e.  u  /\  u  e.  ( F `  y ) )  ->  E. y  e.  om  v  e.  ( F `  suc  y ) )
3921, 38sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  u  /\  u  e.  U_ y  e. 
om  ( F `  y ) )  ->  E. y  e.  om  v  e.  ( F `  suc  y ) )
40 peano2 6723 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
41 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  suc  y  -> 
( F `  u
)  =  ( F `
 suc  y )
)
4241eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  suc  y  -> 
( v  e.  ( F `  u )  <-> 
v  e.  ( F `
 suc  y )
) )
4342rspcev 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\  v  e.  ( F `
 suc  y )
)  ->  E. u  e.  om  v  e.  ( F `  u ) )
4443ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  y  e.  om  ->  ( v  e.  ( F `
 suc  y )  ->  E. u  e.  om  v  e.  ( F `  u ) ) )
4540, 44syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
v  e.  ( F `
 suc  y )  ->  E. u  e.  om  v  e.  ( F `  u ) ) )
4645rexlimiv 2911 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  om  v  e.  ( F `  suc  y )  ->  E. u  e.  om  v  e.  ( F `  u ) )
47 fveq2 5877 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  u  ->  ( F `  y )  =  ( F `  u ) )
4847eleq2d 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  u  ->  (
v  e.  ( F `
 y )  <->  v  e.  ( F `  u ) ) )
4948cbvrexv 3056 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  om  v  e.  ( F `  y
)  <->  E. u  e.  om  v  e.  ( F `  u ) )
5046, 49sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  om  v  e.  ( F `  suc  y )  ->  E. y  e.  om  v  e.  ( F `  y ) )
51 eliun 4301 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  U_ y  e. 
om  ( F `  y )  <->  E. y  e.  om  v  e.  ( F `  y ) )
5250, 51sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  om  v  e.  ( F `  suc  y )  ->  v  e.  U_ y  e.  om  ( F `  y ) )
5339, 52syl 17 . . . . 5  |-  ( ( v  e.  u  /\  u  e.  U_ y  e. 
om  ( F `  y ) )  -> 
v  e.  U_ y  e.  om  ( F `  y ) )
5453ax-gen 1665 . . . 4  |-  A. u
( ( v  e.  u  /\  u  e. 
U_ y  e.  om  ( F `  y ) )  ->  v  e.  U_ y  e.  om  ( F `  y )
)
5517, 54mpgbir 1669 . . 3  |-  Tr  U_ y  e.  om  ( F `  y )
56 treq 4521 . . . 4  |-  ( C  =  U_ y  e. 
om  ( F `  y )  ->  ( Tr  C  <->  Tr  U_ y  e. 
om  ( F `  y ) ) )
5715, 56ax-mp 5 . . 3  |-  ( Tr  C  <->  Tr  U_ y  e. 
om  ( F `  y ) )
5855, 57mpbir 212 . 2  |-  Tr  C
59 fveq2 5877 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  (/)  ->  ( F `
 v )  =  ( F `  (/) ) )
6059sseq1d 3491 . . . . . . 7  |-  ( v  =  (/)  ->  ( ( F `  v ) 
C_  x  <->  ( F `  (/) )  C_  x
) )
61 fveq2 5877 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  y  ->  ( F `  v )  =  ( F `  y ) )
6261sseq1d 3491 . . . . . . 7  |-  ( v  =  y  ->  (
( F `  v
)  C_  x  <->  ( F `  y )  C_  x
) )
63 fveq2 5877 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  suc  y  -> 
( F `  v
)  =  ( F `
 suc  y )
)
6463sseq1d 3491 . . . . . . 7  |-  ( v  =  suc  y  -> 
( ( F `  v )  C_  x  <->  ( F `  suc  y
)  C_  x )
)
653, 6eqtri 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 (/) )  =  A
6665sseq1i 3488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  (/) )  C_  x 
<->  A  C_  x )
6766biimpri 209 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  x  ->  ( F `  (/) )  C_  x )
6867adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  ( F `  (/) )  C_  x )
69 uniss 4237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y ) 
C_  x  ->  U. ( F `  y )  C_ 
U. x )
70 df-tr 4516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  x  <->  U. x  C_  x
)
71 sstr2 3471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. ( F `  y ) 
C_  U. x  ->  ( U. x  C_  x  ->  U. ( F `  y
)  C_  x )
)
7270, 71syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ( F `  y ) 
C_  U. x  ->  ( Tr  x  ->  U. ( F `  y )  C_  x ) )
7369, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  y ) 
C_  x  ->  ( Tr  x  ->  U. ( F `  y )  C_  x ) )
7473anc2li 559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  y ) 
C_  x  ->  ( Tr  x  ->  ( ( F `  y ) 
C_  x  /\  U. ( F `  y ) 
C_  x ) ) )
75 unss 3640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  y
)  C_  x  /\  U. ( F `  y
)  C_  x )  <->  ( ( F `  y
)  u.  U. ( F `  y )
)  C_  x )
7674, 75syl6ib 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  y ) 
C_  x  ->  ( Tr  x  ->  ( ( F `  y )  u.  U. ( F `
 y ) ) 
C_  x ) )
7734sseq1d 3491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
( F `  suc  y )  C_  x  <->  ( ( F `  y
)  u.  U. ( F `  y )
)  C_  x )
)
7877biimprd 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( F `  y )  u.  U. ( F `  y ) )  C_  x  ->  ( F `  suc  y
)  C_  x )
)
7976, 78syl9r 74 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
( F `  y
)  C_  x  ->  ( Tr  x  ->  ( F `  suc  y ) 
C_  x ) ) )
8079com23 81 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( Tr  x  ->  ( ( F `  y ) 
C_  x  ->  ( F `  suc  y ) 
C_  x ) ) )
8180adantld 468 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  C_  x  /\  Tr  x )  -> 
( ( F `  y )  C_  x  ->  ( F `  suc  y )  C_  x
) ) )
8260, 62, 64, 68, 81finds2 6731 . . . . . 6  |-  ( v  e.  om  ->  (
( A  C_  x  /\  Tr  x )  -> 
( F `  v
)  C_  x )
)
8382com12 32 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  (
v  e.  om  ->  ( F `  v ) 
C_  x ) )
8483ralrimiv 2837 . . . 4  |-  ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  A. v  e.  om  ( F `  v )  C_  x
)
85 fveq2 5877 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
8685cbviunv 4335 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  om  ( F `  y )  =  U_ v  e.  om  ( F `  v )
8715, 86eqtri 2451 . . . . . 6  |-  C  = 
U_ v  e.  om  ( F `  v )
8887sseq1i 3488 . . . . 5  |-  ( C 
C_  x  <->  U_ v  e. 
om  ( F `  v )  C_  x
)
89 iunss 4337 . . . . 5  |-  ( U_ v  e.  om  ( F `  v )  C_  x  <->  A. v  e.  om  ( F `  v ) 
C_  x )
9088, 89bitri 252 . . . 4  |-  ( C 
C_  x  <->  A. v  e.  om  ( F `  v )  C_  x
)
9184, 90sylibr 215 . . 3  |-  ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  C  C_  x )
9291ax-gen 1665 . 2  |-  A. x
( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  C  C_  x
)
9316, 58, 923pm3.2i 1183 1  |-  ( A 
C_  C  /\  Tr  C  /\  A. x ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  C  C_  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    u. cun 3434    C_ wss 3436   (/)c0 3761   U.cuni 4216   U_ciun 4296    |-> cmpt 4479   Tr wtr 4515    |` cres 4851   suc csuc 5440   ` cfv 5597   omcom 6702   reccrdg 7131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-om 6703  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132
This theorem is referenced by:  tz9.1  8214  tz9.1c  8215
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