Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trcl Structured version   Unicode version

Theorem trcl 8176
 Description: For any set , show the properties of its transitive closure . Similar to Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73 except that we show an explicit expression for the transitive closure rather than just its existence. See tz9.1 8177 for an abbreviated version showing existence. (Contributed by NM, 14-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
trcl.1
trcl.2
trcl.3
Assertion
Ref Expression
trcl
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem trcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1 6718 . . . . 5
2 trcl.2 . . . . . . . 8
32fveq1i 5873 . . . . . . 7
4 trcl.1 . . . . . . . 8
5 fr0g 7119 . . . . . . . 8
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7
73, 6eqtr2i 2487 . . . . . 6
87eqimssi 3553 . . . . 5
9 fveq2 5872 . . . . . . 7
109sseq2d 3527 . . . . . 6
1110rspcev 3210 . . . . 5
121, 8, 11mp2an 672 . . . 4
13 ssiun 4374 . . . 4
1412, 13ax-mp 5 . . 3
15 trcl.3 . . 3
1614, 15sseqtr4i 3532 . 2
17 dftr2 4552 . . . 4
18 eliun 4337 . . . . . . . . 9
1918anbi2i 694 . . . . . . . 8
20 r19.42v 3012 . . . . . . . 8
2119, 20bitr4i 252 . . . . . . 7
22 elunii 4256 . . . . . . . . 9
23 ssun2 3664 . . . . . . . . . . 11
24 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13
2524uniex 6595 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25unex 6597 . . . . . . . . . . . 12
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
28 unieq 4259 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28uneq12d 3655 . . . . . . . . . . . . 13
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
31 unieq 4259 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31uneq12d 3655 . . . . . . . . . . . . 13
332, 29, 32frsucmpt2 7123 . . . . . . . . . . . 12
3426, 33mpan2 671 . . . . . . . . . . 11
3523, 34syl5sseqr 3548 . . . . . . . . . 10
3635sseld 3498 . . . . . . . . 9
3722, 36syl5 32 . . . . . . . 8
3837reximia 2923 . . . . . . 7
3921, 38sylbi 195 . . . . . 6
40 peano2 6719 . . . . . . . . . 10
41 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13
4241eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12
4342rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11
4443ex 434 . . . . . . . . . 10
4540, 44syl 16 . . . . . . . . 9
4645rexlimiv 2943 . . . . . . . 8
47 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10
4847eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
4948cbvrexv 3085 . . . . . . . 8
5046, 49sylibr 212 . . . . . . 7
51 eliun 4337 . . . . . . 7
5250, 51sylibr 212 . . . . . 6
5339, 52syl 16 . . . . 5
5453ax-gen 1619 . . . 4
5517, 54mpgbir 1623 . . 3
56 treq 4556 . . . 4
5715, 56ax-mp 5 . . 3
5855, 57mpbir 209 . 2
59 fveq2 5872 . . . . . . . 8
6059sseq1d 3526 . . . . . . 7
61 fveq2 5872 . . . . . . . 8
6261sseq1d 3526 . . . . . . 7
63 fveq2 5872 . . . . . . . 8
6463sseq1d 3526 . . . . . . 7
653, 6eqtri 2486 . . . . . . . . . 10
6665sseq1i 3523 . . . . . . . . 9
6766biimpri 206 . . . . . . . 8
6867adantr 465 . . . . . . 7
69 uniss 4272 . . . . . . . . . . . . 13
70 df-tr 4551 . . . . . . . . . . . . . 14
71 sstr2 3506 . . . . . . . . . . . . . 14
7270, 71syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13
7369, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7473anc2li 557 . . . . . . . . . . 11
75 unss 3674 . . . . . . . . . . 11
7674, 75syl6ib 226 . . . . . . . . . 10
7734sseq1d 3526 . . . . . . . . . . 11
7877biimprd 223 . . . . . . . . . 10
7976, 78syl9r 72 . . . . . . . . 9
8079com23 78 . . . . . . . 8
8180adantld 467 . . . . . . 7
8260, 62, 64, 68, 81finds2 6727 . . . . . 6
8382com12 31 . . . . 5
8483ralrimiv 2869 . . . 4
85 fveq2 5872 . . . . . . . 8
8685cbviunv 4371 . . . . . . 7
8715, 86eqtri 2486 . . . . . 6
8887sseq1i 3523 . . . . 5
89 iunss 4373 . . . . 5
9088, 89bitri 249 . . . 4
9184, 90sylibr 212 . . 3
9291ax-gen 1619 . 2
9316, 58, 923pm3.2i 1174 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973  wal 1393   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808  cvv 3109   cun 3469   wss 3471  c0 3793  cuni 4251  ciun 4332   cmpt 4515   wtr 4550   csuc 4889   cres 5010  cfv 5594  com 6699  crdg 7093 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094 This theorem is referenced by:  tz9.1  8177  tz9.1c  8178
 Copyright terms: Public domain W3C validator