Theorem trcl 5752

Description: For any set A, show the properties of its transitive closure C. Similar to Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73 except that we show an explicit expression for the transitive closure rather than just its existence. See tz9.1 5753 for an abbreviated version showing existence.

Hypotheses

Ref	Expression
trcl.1	|- A e. _V
trcl.2	|- F = (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)
trcl.3	|- C = U_y e. om (F` y)

Assertion

Ref	Expression
trcl	|- (A C_ C /\ Tr C /\ A.x((A C_ x /\ Tr x) -> C C_ x))

Distinct variable groups:   x,y,z,w   y,A,z   y,F

Proof of Theorem trcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 3971	. . . . 5 |- (/) e. om
2		trcl.2	. . . . . . . 8 |- F = (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)
3	2	fveq1i 4682	. . . . . . 7 |- (F` (/)) = ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` (/))
4		trcl.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
5		fr0g 5160	. . . . . . . 8 |- (A e. _V -> ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` (/)) = A)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om)` (/)) = A
7	3, 6	eqtr2i 1909	. . . . . 6 |- A = (F` (/))
8	7	eqimssi 2668	. . . . 5 |- A C_ (F` (/))
9		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (y = (/) -> (F` y) = (F` (/)))
10	9	sseq2d 2645	. . . . . 6 |- (y = (/) -> (A C_ (F` y) <-> A C_ (F` (/))))
11	10	rcla4ev 2381	. . . . 5 |- (((/) e. om /\ A C_ (F` (/))) -> E.y e. om A C_ (F` y))
12	1, 8, 11	mp2an 761	. . . 4 |- E.y e. om A C_ (F` y)
13		ssiun 3293	. . . 4 |- (E.y e. om A C_ (F` y) -> A C_ U_y e. om (F` y))
14	12, 13	ax-mp 7	. . 3 |- A C_ U_y e. om (F` y)
15		trcl.3	. . 3 |- C = U_y e. om (F` y)
16	14, 15	sseqtr4i 2650	. 2 |- A C_ C
17		dftr2 3413	. . . 4 |- (Tr U_y e. om (F` y) <-> A.vA.u((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) -> v e. U_y e. om (F` y)))
18		eliun 3259	. . . . . . . . 9 |- (u e. U_y e. om (F` y) <-> E.y e. om u e. (F` y))
19	18	anbi2i 538	. . . . . . . 8 |- ((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) <-> (v e. u /\ E.y e. om u e. (F` y)))
20		r19.42v 2237	. . . . . . . 8 |- (E.y e. om (v e. u /\ u e. (F` y)) <-> (v e. u /\ E.y e. om u e. (F` y)))
21	19, 20	bitr4i 193	. . . . . . 7 |- ((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) <-> E.y e. om (v e. u /\ u e. (F` y)))
22		ssun2 2768	. . . . . . . . . . 11 |- U.(F` y) C_ ((F` y) u. U.(F` y))
23		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F` y) e. _V
24	23	uniex 3794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.(F` y) e. _V
25	23, 24	unex 3796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` y) u. U.(F` y)) e. _V
26		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. A -> A.z v e. A)
27		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. y -> A.z v e. y)
28		hbopab1 3562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (v e. {<.z, w>. | w = (z u. U.z)} -> A.z v e. {<.z, w>. | w = (z u. U.z)})
29	28, 26	hbrdg 5144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (v e. rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) -> A.z v e. rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A))
30		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (v e. om -> A.z v e. om)
31	29, 30	hbres 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (v e. (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om) -> A.z v e. (rec({<.z, w>. | w = (z u. U.z)}, A) |` om))
32	2, 31	hbxfr 1992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v e. F -> A.z v e. F)
33	32, 27	hbfv 4686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. (F` y) -> A.z v e. (F` y))
34	33	hbuni 3183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. U.(F` y) -> A.z v e. U.(F` y))
35	33, 34	hbun 2758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. ((F` y) u. U.(F` y)) -> A.z v e. ((F` y) u. U.(F` y)))
36		unieq 3185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = (F` y) -> U.z = U.(F` y))
37		uneq12 2750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z = (F` y) /\ U.z = U.(F` y)) -> (z u. U.z) = ((F` y) u. U.(F` y)))
38	36, 37	mpdan 768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (F` y) -> (z u. U.z) = ((F` y) u. U.(F` y)))
39	26, 27, 35, 2, 38	frsucopab 5162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. om /\ ((F` y) u. U.(F` y)) e. _V) -> (F` suc y) = ((F` y) u. U.(F` y)))
40	25, 39	mpan2 760	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. om -> (F` suc y) = ((F` y) u. U.(F` y)))
41	40	sseq2d 2645	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. om -> (U.(F` y) C_ (F` suc y) <-> U.(F` y) C_ ((F` y) u. U.(F` y))))
42	22, 41	mpbiri 211	. . . . . . . . . 10 |- (y e. om -> U.(F` y) C_ (F` suc y))
43	42	sseld 2619	. . . . . . . . 9 |- (y e. om -> (v e. U.(F` y) -> v e. (F` suc y)))
44		elunii 3182	. . . . . . . . 9 |- ((v e. u /\ u e. (F` y)) -> v e. U.(F` y))
45	43, 44	syl5 20	. . . . . . . 8 |- (y e. om -> ((v e. u /\ u e. (F` y)) -> v e. (F` suc y)))
46	45	reximia 2196	. . . . . . 7 |- (E.y e. om (v e. u /\ u e. (F` y)) -> E.y e. om v e. (F` suc y))
47	21, 46	sylbi 216	. . . . . 6 |- ((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) -> E.y e. om v e. (F` suc y))
48		peano2 3972	. . . . . . . . . 10 |- (y e. om -> suc y e. om)
49		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u = suc y -> (F` u) = (F` suc y))
50	49	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = suc y -> (v e. (F` u) <-> v e. (F` suc y)))
51	50	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . 11 |- ((suc y e. om /\ v e. (F` suc y)) -> E.u e. om v e. (F` u))
52	51	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (suc y e. om -> (v e. (F` suc y) -> E.u e. om v e. (F` u)))
53	48, 52	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (y e. om -> (v e. (F` suc y) -> E.u e. om v e. (F` u)))
54	53	r19.23aiv 2211	. . . . . . . 8 |- (E.y e. om v e. (F` suc y) -> E.u e. om v e. (F` u))
55		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (y = u -> (F` y) = (F` u))
56	55	eleq2d 1964	. . . . . . . . 9 |- (y = u -> (v e. (F` y) <-> v e. (F` u)))
57	56	cbvrexv 2281	. . . . . . . 8 |- (E.y e. om v e. (F` y) <-> E.u e. om v e. (F` u))
58	54, 57	sylibr 217	. . . . . . 7 |- (E.y e. om v e. (F` suc y) -> E.y e. om v e. (F` y))
59		eliun 3259	. . . . . . 7 |- (v e. U_y e. om (F` y) <-> E.y e. om v e. (F` y))
60	58, 59	sylibr 217	. . . . . 6 |- (E.y e. om v e. (F` suc y) -> v e. U_y e. om (F` y))
61	47, 60	syl 12	. . . . 5 |- ((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) -> v e. U_y e. om (F` y))
62	61	ax-gen 1305	. . . 4 |- A.u((v e. u /\ u e. U_y e. om (F` y)) -> v e. U_y e. om (F` y))
63	17, 62	mpgbir 1334	. . 3 |- Tr U_y e. om (F` y)
64		treq 3417	. . . 4 |- (C = U_y e. om (F` y) -> (Tr C <-> Tr U_y e. om (F` y)))
65	15, 64	ax-mp 7	. . 3 |- (Tr C <-> Tr U_y e. om (F` y))
66	63, 65	mpbir 207	. 2 |- Tr C
67		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (v = (/) -> (F` v) = (F` (/)))
68	67	sseq1d 2644	. . . . . . 7 |- (v = (/) -> ((F` v) C_ x <-> (F` (/)) C_ x))
69		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (v = y -> (F` v) = (F` y))
70	69	sseq1d 2644	. . . . . . 7 |- (v = y -> ((F` v) C_ x <-> (F` y) C_ x))
71		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (v = suc y -> (F` v) = (F` suc y))
72	71	sseq1d 2644	. . . . . . 7 |- (v = suc y -> ((F` v) C_ x <-> (F` suc y) C_ x))
73	3, 6	eqtri 1908	. . . . . . . . . 10 |- (F` (/)) = A
74	73	sseq1i 2641	. . . . . . . . 9 |- ((F` (/)) C_ x <-> A C_ x)
75	74	biimpri 169	. . . . . . . 8 |- (A C_ x -> (F` (/)) C_ x)
76	75	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((A C_ x /\ Tr x) -> (F` (/)) C_ x)
77		uniss 3199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` y) C_ x -> U.(F` y) C_ U.x)
78		sstr2 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (U.(F` y) C_ U.x -> (U.x C_ x -> U.(F` y) C_ x))
79		df-tr 3412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Tr x <-> U.x C_ x)
80	78, 79	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- (U.(F` y) C_ U.x -> (Tr x -> U.(F` y) C_ x))
81	77, 80	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F` y) C_ x -> (Tr x -> U.(F` y) C_ x))
82	81	anc2li 326	. . . . . . . . . . 11 |- ((F` y) C_ x -> (Tr x -> ((F` y) C_ x /\ U.(F` y) C_ x)))
83		unss 2780	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` y) C_ x /\ U.(F` y) C_ x) <-> ((F` y) u. U.(F` y)) C_ x)
84	82, 83	syl6ib 229	. . . . . . . . . 10 |- ((F` y) C_ x -> (Tr x -> ((F` y) u. U.(F` y)) C_ x))
85	40	sseq1d 2644	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. om -> ((F` suc y) C_ x <-> ((F` y) u. U.(F` y)) C_ x))
86	85	biimprd 171	. . . . . . . . . 10 |- (y e. om -> (((F` y) u. U.(F` y)) C_ x -> (F` suc y) C_ x))
87	84, 86	syl9r 72	. . . . . . . . 9 |- (y e. om -> ((F` y) C_ x -> (Tr x -> (F` suc y) C_ x)))
88	87	com23 36	. . . . . . . 8 |- (y e. om -> (Tr x -> ((F` y) C_ x -> (F` suc y) C_ x)))
89	88	adantld 426	. . . . . . 7 |- (y e. om -> ((A C_ x /\ Tr x) -> ((F` y) C_ x -> (F` suc y) C_ x)))
90	68, 70, 72, 76, 89	finds2 3981	. . . . . 6 |- (v e. om -> ((A C_ x /\ Tr x) -> (F` v) C_ x))
91	90	com12 14	. . . . 5 |- ((A C_ x /\ Tr x) -> (v e. om -> (F` v) C_ x))
92	91	r19.21aiv 2175	. . . 4 |- ((A C_ x /\ Tr x) -> A.v e. om (F` v) C_ x)
93		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (y = v -> (F` y) = (F` v))
94	93	cbviunv 3290	. . . . . . 7 |- U_y e. om (F` y) = U_v e. om (F` v)
95	15, 94	eqtri 1908	. . . . . 6 |- C = U_v e. om (F` v)
96	95	sseq1i 2641	. . . . 5 |- (C C_ x <-> U_v e. om (F` v) C_ x)
97		iunss 3291	. . . . 5 |- (U_v e. om (F` v) C_ x <-> A.v e. om (F` v) C_ x)
98	96, 97	bitri 190	. . . 4 |- (C C_ x <-> A.v e. om (F` v) C_ x)
99	92, 98	sylibr 217	. . 3 |- ((A C_ x /\ Tr x) -> C C_ x)
100	99	ax-gen 1305	. 2 |- A.x((A C_ x /\ Tr x) -> C C_ x)
101	16, 66, 100	3pm3.2i 1048	1 |- (A C_ C /\ Tr C /\ A.x((A C_ x /\ Tr x) -> C C_ x))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   u. cun 2591   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177  U_ciun 3255  {copab 3395  Tr wtr 3411  suc csuc 3659  omcom 3949   |` cres 3988  ` cfv 3998  reccrdg 5139

This theorem is referenced by:  tz9.1 5753

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140

Copyright terms: Public domain