Theorem tratrbVD 33369

Description: Virtual deduction proof of tratrb 33015. The following user's proof is completed by invoking mmj2's unify command and using mmj2's StepSelector to pick all remaining steps of the Metamath proof.

1::	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ).
2:1,?: e1a 33121	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. Tr A ).
3:1,?: e1a 33121	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ).
4:1,?: e1a 33121	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. B e. A ).
5::	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) ->. ( x e. y /\ y e. B ) ).
6:5,?: e2 33125	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) ->. x e. y ).
7:5,?: e2 33125	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) ->. y e. B ).
8:2,7,4,?: e121 33150	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) ->. y e. A ).
9:2,6,8,?: e122 33147	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) ->. x e. A ).
10::	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) , B e. x ->. B e. x ).
11:6,7,10,?: e223 33129	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) , B e. x ->. ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) ).
12:11:	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) ->. ( B e. x -> ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) ) ).
13::	|- -. ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x )
14:12,13,?: e20 33232	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) ->. -. B e. x ).
15::	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) , x = B ->. x = B ).
16:7,15,?: e23 33260	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) , x = B ->. y e. x ).
17:6,16,?: e23 33260	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) , x = B ->. ( x e. y /\ y e. x ) ).
18:17:	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) ->. ( x = B -> ( x e. y /\ y e. x ) ) ).
19::	|- -. ( x e. y /\ y e. x )
20:18,19,?: e20 33232	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) ->. -. x = B ).
21:3,?: e1a 33121	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. A. y e. A A. x e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ).
22:21,9,4,?: e121 33150	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) ->. [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ).
23:22,?: e2 33125	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) ->. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ).
24:4,23,?: e12 33229	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) ->. ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) ).
25:14,20,24,?: e222 33130	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) , ( x e. y /\ y e. B ) ->. x e. B ).
26:25:	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) ).
27::	|- ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. y A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
28:27,?: e0a 33277	|- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. y ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) )
29:28,26:	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. A. y ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) ).
30::	|- ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. x A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
31:30,?: e0a 33277	|- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. x ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) )
32:31,29:	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) ).
33:32,?: e1a 33121	|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. Tr B ).
qed:33:	|- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> Tr B )

(Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
tratrbVD	|- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> Tr B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem tratrbVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbra1 2823	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. x A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
2		alrim3con13v 33012	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. x A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) -> ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. x ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ) )
3	1, 2	e0a 33277	. . . 4 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. x ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) )
4		ax-5 1689	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> A. y x e. A )
5		hbra1 2823	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. y A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
6	4, 5	hbral 2825	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. y A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
7		alrim3con13v 33012	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. y A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) -> ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. y ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ) )
8	6, 7	e0a 33277	. . . . 5 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. y ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) )
9		idn2 33107	. . . . . . . . . . 11 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. ( x e. y /\ y e. B ) ).
10		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. y )
11	9, 10	e2 33125	. . . . . . . . . 10 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. x e. y ).
12		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. y /\ y e. B ) -> y e. B )
13	9, 12	e2 33125	. . . . . . . . . 10 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. y e. B ).
14		idn3 33109	. . . . . . . . . 10 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ,. B e. x ->. B e. x ).
15		pm3.2an3 1174	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. y -> ( y e. B -> ( B e. x -> ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) ) ) )
16	11, 13, 14, 15	e223 33129	. . . . . . . . 9 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ,. B e. x ->. ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) ).
17	16	in3 33103	. . . . . . . 8 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. ( B e. x -> ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) ) ).
18		en3lp 8031	. . . . . . . 8 |- -. ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x )
19		con3 134	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. x -> ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) ) -> ( -. ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) -> -. B e. x ) )
20	17, 18, 19	e20 33232	. . . . . . 7 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. -. B e. x ).
21		idn3 33109	. . . . . . . . . . 11 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ,. x = B ->. x = B ).
22		eleq2 2514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( y e. x <-> y e. B ) )
23	22	biimprcd 225	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. B -> ( x = B -> y e. x ) )
24	13, 21, 23	e23 33260	. . . . . . . . . 10 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ,. x = B ->. y e. x ).
25		pm3.2 447	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. y -> ( y e. x -> ( x e. y /\ y e. x ) ) )
26	11, 24, 25	e23 33260	. . . . . . . . 9 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ,. x = B ->. ( x e. y /\ y e. x ) ).
27	26	in3 33103	. . . . . . . 8 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. ( x = B -> ( x e. y /\ y e. x ) ) ).
28		en2lp 8028	. . . . . . . 8 |- -. ( x e. y /\ y e. x )
29		con3 134	. . . . . . . 8 |- ( ( x = B -> ( x e. y /\ y e. x ) ) -> ( -. ( x e. y /\ y e. x ) -> -. x = B ) )
30	27, 28, 29	e20 33232	. . . . . . 7 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. -. x = B ).
31		idn1 33059	. . . . . . . . 9 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ).
32		simp3 997	. . . . . . . . 9 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> B e. A )
33	31, 32	e1a 33121	. . . . . . . 8 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. B e. A ).
34		simp2 996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
35	31, 34	e1a 33121	. . . . . . . . . . 11 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ).
36		ralcom2 3006	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. y e. A A. x e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
37	35, 36	e1a 33121	. . . . . . . . . 10 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. A. y e. A A. x e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ).
38		simp1 995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> Tr A )
39	31, 38	e1a 33121	. . . . . . . . . . 11 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. Tr A ).
40		trel 4533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Tr A -> ( ( y e. B /\ B e. A ) -> y e. A ) )
41	40	expd 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr A -> ( y e. B -> ( B e. A -> y e. A ) ) )
42	39, 13, 33, 41	e121 33150	. . . . . . . . . . 11 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. y e. A ).
43		trel 4533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr A -> ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
44	43	expd 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( Tr A -> ( x e. y -> ( y e. A -> x e. A ) ) )
45	39, 11, 42, 44	e122 33147	. . . . . . . . . 10 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. x e. A ).
46		rspsbc2 33013	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. A -> ( x e. A -> ( A. y e. A A. x e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) ) )
47	46	com13 80	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A A. x e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> ( x e. A -> ( B e. A -> [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) ) )
48	37, 45, 33, 47	e121 33150	. . . . . . . . 9 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ).
49		equid 1775	. . . . . . . . . . 11 |- x = x
50		sbceq2a 3323	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = x -> ( [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
52	51	biimpi 194	. . . . . . . . 9 |- ( [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
53	48, 52	e2 33125	. . . . . . . 8 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ).
54		sbcoreleleq 33014	. . . . . . . . 9 |- ( B e. A -> ( [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) ) )
55	54	biimpd 207	. . . . . . . 8 |- ( B e. A -> ( [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) ) )
56	33, 53, 55	e12 33229	. . . . . . 7 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) ).
57		3ornot23 32986	. . . . . . . 8 |- ( ( -. B e. x /\ -. x = B ) -> ( ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) -> x e. B ) )
58	57	ex 434	. . . . . . 7 |- ( -. B e. x -> ( -. x = B -> ( ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) -> x e. B ) ) )
59	20, 30, 56, 58	e222 33130	. . . . . 6 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. x e. B ).
60	59	in2 33099	. . . . 5 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) ).
61	8, 60	gen11nv 33111	. . . 4 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. A. y ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) ).
62	3, 61	gen11nv 33111	. . 3 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) ).
63		dftr2 4528	. . . 4 |- ( Tr B <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) )
64	63	biimpri 206	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) -> Tr B )
65	62, 64	e1a 33121	. 2 |- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. Tr B ).
66	65	in1 33056	1 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> Tr B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 971   /\ w3a 972   A.wal 1379   = wceq 1381   e. wcel 1802   A.wral 2791   [.wsbc 3311   Tr wtr 4526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-reg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-fr 4824  df-vd1 33055  df-vd2 33063  df-vd3 33075

This theorem is referenced by: (None)