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Theorem tratrbVD 34081
Description: Virtual deduction proof of tratrb 33716. The following user's proof is completed by invoking mmj2's unify command and using mmj2's StepSelector to pick all remaining steps of the Metamath proof.
1::  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ).
2:1,?: e1a 33826  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  A ).
3:1,?: e1a 33826  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
4:1,?: e1a 33826  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  B  e.  A ).
5::  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ).
6:5,?: e2 33830  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  x  e.  y ).
7:5,?: e2 33830  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  y  e.  B ).
8:2,7,4,?: e121 33855  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  y  e.  A ).
9:2,6,8,?: e122 33852  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  x  e.  A ).
10::  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  B  e.  x  ->.  B  e.  x ).
11:6,7,10,?: e223 33834  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  B  e.  x  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x ) ).
12:11:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  ( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x ) ) ).
13::  |-  -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x )
14:12,13,?: e20 33937  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  -.  B  e.  x ).
15::  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  x  =  B  ->.  x  =  B ).
16:7,15,?: e23 33965  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  x  =  B  ->.  y  e.  x ).
17:6,16,?: e23 33965  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  x  =  B  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ).
18:17:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  ( x  =  B  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ) ).
19::  |-  -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x )
20:18,19,?: e20 33937  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  -.  x  =  B ).
21:3,?: e1a 33826  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. y  e.  A  A. x  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
22:21,9,4,?: e121 33855  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
23:22,?: e2 33830  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
24:4,23,?: e12 33934  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ).
25:14,20,24,?: e222 33835  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  x  e.  B ).
26:25:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) ).
27::  |-  ( A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
28:27,?: e0a 33982  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->  A. y ( Tr  A  /\  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) )
29:28,26:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) ).
30::  |-  ( A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. x A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
31:30,?: e0a 33982  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->  A. x ( Tr  A  /\  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) )
32:31,29:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) ).
33:32,?: e1a 33826  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  B ).
qed:33:  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->  Tr  B )
(Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
tratrbVD  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem tratrbVD
StepHypRef Expression
1 hbra1 2836 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. x A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
2 alrim3con13v 33713 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  ->  A. x A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )  ->  (
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. x
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) ) )
31, 2e0a 33982 . . . 4  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. x
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) )
4 ax-5 1709 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  x  e.  A )
5 hbra1 2836 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
64, 5hbral 2838 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
7 alrim3con13v 33713 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  ->  A. y A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )  ->  (
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) ) )
86, 7e0a 33982 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) )
9 idn2 33812 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ).
10 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  y )
119, 10e2 33830 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  x  e.  y ).
12 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
139, 12e2 33830 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  y  e.  B ).
14 idn3 33814 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. B  e.  x  ->.  B  e.  x ).
15 pm3.2an3 1173 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  B  -> 
( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ) )
1611, 13, 14, 15e223 33834 . . . . . . . . 9  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. B  e.  x  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x ) ).
1716in3 33808 . . . . . . . 8  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  ( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ).
18 en3lp 8024 . . . . . . . 8  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x )
19 con3 134 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
)  ->  -.  B  e.  x ) )
2017, 18, 19e20 33937 . . . . . . 7  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  -.  B  e.  x ).
21 idn3 33814 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. x  =  B  ->.  x  =  B ).
22 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  B ) )
2322biimprcd 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  B  -> 
y  e.  x ) )
2413, 21, 23e23 33965 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. x  =  B  ->.  y  e.  x ).
25 pm3.2 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) ) )
2611, 24, 25e23 33965 . . . . . . . . 9  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. x  =  B  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ).
2726in3 33808 . . . . . . . 8  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  ( x  =  B  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ) ).
28 en2lp 8021 . . . . . . . 8  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  x )
29 con3 134 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  B  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  -.  x  =  B ) )
3027, 28, 29e20 33937 . . . . . . 7  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  -.  x  =  B ).
31 idn1 33764 . . . . . . . . 9  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) ).
32 simp3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  B  e.  A )
3331, 32e1a 33826 . . . . . . . 8  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  B  e.  A ).
34 simp2 995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
3531, 34e1a 33826 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
36 ralcom2 3019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
3735, 36e1a 33826 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
38 simp1 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  A
)
3931, 38e1a 33826 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  A ).
40 trel 4539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
4140expd 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  A  ->  ( y  e.  B  ->  ( B  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
4239, 13, 33, 41e121 33855 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  y  e.  A ).
43 trel 4539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  A  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
4443expd 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
4539, 11, 42, 44e122 33852 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  x  e.  A ).
46 rspsbc2 33714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  A  ->  (
x  e.  A  -> 
( A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) ) )
4746com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ( B  e.  A  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) ) )
4837, 45, 33, 47e121 33855 . . . . . . . . 9  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ).
49 equid 1796 . . . . . . . . . . 11  |-  x  =  x
50 sbceq2a 3336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  x  ->  ( [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  <->  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
5251biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
5348, 52e2 33830 . . . . . . . 8  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ).
54 sbcoreleleq 33715 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
5554biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  ->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
5633, 53, 55e12 33934 . . . . . . 7  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B
) ).
57 3ornot23 33684 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  B  e.  x  /\  -.  x  =  B )  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) )
5857ex 432 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  x  -> 
( -.  x  =  B  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) ) )
5920, 30, 56, 58e222 33835 . . . . . 6  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  x  e.  B ).
6059in2 33804 . . . . 5  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B
)  ->  x  e.  B ) ).
618, 60gen11nv 33816 . . . 4  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) ).
623, 61gen11nv 33816 . . 3  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B
)  ->  x  e.  B ) ).
63 dftr2 4534 . . . 4  |-  ( Tr  B  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
6463biimpri 206 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B )  ->  Tr  B )
6562, 64e1a 33826 . 2  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  B ).
6665in1 33761 1  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    \/ w3o 970    /\ w3a 971   A.wal 1396    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   [.wsbc 3324   Tr wtr 4532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-reg 8010
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-fr 4827  df-vd1 33760  df-vd2 33768  df-vd3 33780
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