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Theorem tratrbVD 31597
Description: Virtual deduction proof of tratrb 31242. The following user's proof is completed by invoking mmj2's unify command and using mmj2's StepSelector to pick all remaining steps of the Metamath proof.
1::  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ).
2:1,?: e1a 31349  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  A ).
3:1,?: e1a 31349  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
4:1,?: e1a 31349  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  B  e.  A ).
5::  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ).
6:5,?: e2 31353  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  x  e.  y ).
7:5,?: e2 31353  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  y  e.  B ).
8:2,7,4,?: e121 31378  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  y  e.  A ).
9:2,6,8,?: e122 31375  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  x  e.  A ).
10::  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  B  e.  x  ->.  B  e.  x ).
11:6,7,10,?: e223 31357  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  B  e.  x  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x ) ).
12:11:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  ( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x ) ) ).
13::  |-  -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x )
14:12,13,?: e20 31460  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  -.  B  e.  x ).
15::  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  x  =  B  ->.  x  =  B ).
16:7,15,?: e23 31488  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  x  =  B  ->.  y  e.  x ).
17:6,16,?: e23 31488  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  x  =  B  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ).
18:17:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  ( x  =  B  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ) ).
19::  |-  -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x )
20:18,19,?: e20 31460  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  -.  x  =  B ).
21:3,?: e1a 31349  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. y  e.  A  A. x  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
22:21,9,4,?: e121 31378  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
23:22,?: e2 31353  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
24:4,23,?: e12 31457  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ).
25:14,20,24,?: e222 31358  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  x  e.  B ).
26:25:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) ).
27::  |-  ( A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
28:27,?: e0a 31505  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->  A. y ( Tr  A  /\  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) )
29:28,26:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) ).
30::  |-  ( A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. x A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
31:30,?: e0a 31505  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->  A. x ( Tr  A  /\  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) )
32:31,29:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) ).
33:32,?: e1a 31349  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  B ).
qed:33:  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->  Tr  B )
(Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
tratrbVD  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem tratrbVD
StepHypRef Expression
1 hbra1 2765 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. x A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
2 alrim3con13v 31239 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  ->  A. x A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )  ->  (
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. x
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) ) )
31, 2e0a 31505 . . . 4  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. x
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) )
4 ax-5 1670 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  x  e.  A )
5 hbra1 2765 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
64, 5hbral 2764 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
7 alrim3con13v 31239 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  ->  A. y A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )  ->  (
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) ) )
86, 7e0a 31505 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) )
9 idn2 31335 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ).
10 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  y )
119, 10e2 31353 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  x  e.  y ).
12 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
139, 12e2 31353 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  y  e.  B ).
14 idn3 31337 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. B  e.  x  ->.  B  e.  x ).
15 pm3.2an3 1167 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  B  -> 
( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ) )
1611, 13, 14, 15e223 31357 . . . . . . . . 9  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. B  e.  x  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x ) ).
1716in3 31331 . . . . . . . 8  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  ( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ).
18 en3lp 7822 . . . . . . . 8  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x )
19 con3 134 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
)  ->  -.  B  e.  x ) )
2017, 18, 19e20 31460 . . . . . . 7  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  -.  B  e.  x ).
21 idn3 31337 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. x  =  B  ->.  x  =  B ).
22 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  B ) )
2322biimprcd 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  B  -> 
y  e.  x ) )
2413, 21, 23e23 31488 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. x  =  B  ->.  y  e.  x ).
25 pm3.2 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) ) )
2611, 24, 25e23 31488 . . . . . . . . 9  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. x  =  B  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ).
2726in3 31331 . . . . . . . 8  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  ( x  =  B  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ) ).
28 en2lp 7819 . . . . . . . 8  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  x )
29 con3 134 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  B  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  -.  x  =  B ) )
3027, 28, 29e20 31460 . . . . . . 7  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  -.  x  =  B ).
31 idn1 31287 . . . . . . . . 9  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) ).
32 simp3 990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  B  e.  A )
3331, 32e1a 31349 . . . . . . . 8  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  B  e.  A ).
34 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
3531, 34e1a 31349 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
36 ralcom2 2885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
3735, 36e1a 31349 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
38 simp1 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  A
)
3931, 38e1a 31349 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  A ).
40 trel 4392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
4140expd 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  A  ->  ( y  e.  B  ->  ( B  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
4239, 13, 33, 41e121 31378 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  y  e.  A ).
43 trel 4392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  A  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
4443expd 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
4539, 11, 42, 44e122 31375 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  x  e.  A ).
46 rspsbc2 31240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  A  ->  (
x  e.  A  -> 
( A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) ) )
4746com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ( B  e.  A  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) ) )
4837, 45, 33, 47e121 31378 . . . . . . . . 9  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ).
49 equid 1729 . . . . . . . . . . 11  |-  x  =  x
50 sbceq2a 3198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  x  ->  ( [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  <->  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
5251biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
5348, 52e2 31353 . . . . . . . 8  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ).
54 sbcoreleleq 31241 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
5554biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  ->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
5633, 53, 55e12 31457 . . . . . . 7  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B
) ).
57 3ornot23 31213 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  B  e.  x  /\  -.  x  =  B )  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) )
5857ex 434 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  x  -> 
( -.  x  =  B  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) ) )
5920, 30, 56, 58e222 31358 . . . . . 6  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  x  e.  B ).
6059in2 31327 . . . . 5  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B
)  ->  x  e.  B ) ).
618, 60gen11nv 31339 . . . 4  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) ).
623, 61gen11nv 31339 . . 3  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B
)  ->  x  e.  B ) ).
63 dftr2 4387 . . . 4  |-  ( Tr  B  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
6463biimpri 206 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B )  ->  Tr  B )
6562, 64e1a 31349 . 2  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  B ).
6665in1 31284 1  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   [.wsbc 3186   Tr wtr 4385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-reg 7807
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-fr 4679  df-vd1 31283  df-vd2 31291  df-vd3 31303
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