Theorem tratrbVD 16685

Description: Virtual deduction proof of tratrb 5831. The following user's proof is completed by invoking mmj2's unify command and using mmj2's StepSelector to pick all remaining steps of the Metamath proof.

1::	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)    ⊢   (Tr A /\ A.x e. AA.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) .
2:1,?: e1_ 16518	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   Tr A .
3:1,?: e1_ 16518	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)    ⊢   A.x e. AA.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) .
4:1,?: e1_ 16518	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   B e. A .
5::	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   (x e. y /\ y e. B) .
6:5,?: e2 16521	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   x e. y .
7:5,?: e2 16521	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   y e. B .
8:2,7,4,?: e121 16546	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   y e. A .
9:2,6,8,?: e122 16543	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   x e. A .
10::	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B), B e. x   ⊢   B e. x .
11:6,7,10,?: e223 16525	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B), B e. x   ⊢   (x e. y /\ y e. B /\ B e. x) .
12:11:	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   (B e. x -> (x e. y /\ y e. B /\ B e. x)) .
13::	|- -. (x e. y /\ y e. B /\ B e. x)
14:12,13,?: e20 16595	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   -. B e. x .
15::	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B), x = B   ⊢   x = B .
16:7,15,?: e23 16623	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B), x = B   ⊢   y e. x .
17:6,16,?: e23 16623	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B), x = B   ⊢   (x e. y /\ y e. x) .
18:17:	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   (x = B -> (x e. y /\ y e. x)) .
19::	|- -. (x e. y /\ y e. x)
20:18,19,?: e20 16595	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   -. x = B .
21:3,?: e1_ 16518	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   A.y e. A A.x e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) .
22:21,9,4,?: e121 16546	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   [x / x][B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y) .
23:22,?: e2 16521	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   [B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y) .
24:4,23,?: e12 16593	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   (x e. B \/ B e. x \/ x = B) .
25:14,20,24,?: e222 16526	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   x e. B .
26:25:	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   ((x e. y /\ y e. B) -> x e. B) .
27::	|- (A.x e. AA.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> A.yA.x e. AA.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y))
28:27,?: e0_ 16637	|- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> A.y(Tr A /\ A.x e. AA.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A))
29:28,26:	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)    ⊢   A.y((x e. y /\ y e. B) -> x e. B) .
30::	|- (A.x e. AA.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> A.xA.x e. AA.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y))
31:30,?: e0_ 16637	|- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> A.x(Tr A /\ A.x e. AA.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A))
32:31,29:	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   A.x A.y((x e. y /\ y e. B) -> x e. B) .
33:32,?: e1_ 16518	|- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   Tr B .
qed:33:	|- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A(x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> Tr B)

Assertion

Ref	Expression
tratrbVD	|- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> Tr B)

Distinct variable groups:   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem tratrbVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbra1 2147	. . . . 5 |- (A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> A.xA.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y))
2		19.21a3con13v 5828	. . . . 5 |- ((A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> A.xA.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y)) -> ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> A.x(Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)))
3	1, 2	e0_ 16637	. . . 4 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> A.x(Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A))
4		hbra2 2148	. . . . . 6 |- (A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> A.yA.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y))
5		19.21a3con13v 5828	. . . . . 6 |- ((A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> A.yA.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y)) -> ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> A.y(Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)))
6	4, 5	e0_ 16637	. . . . 5 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> A.y(Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A))
7		idn2 16509	. . . . . . . . . . 11 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   (x e. y /\ y e. B) .
8		simpl 346	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. y /\ y e. B) -> x e. y)
9	7, 8	e2 16521	. . . . . . . . . 10 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   x e. y .
10		simpr 350	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. y /\ y e. B) -> y e. B)
11	7, 10	e2 16521	. . . . . . . . . 10 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   y e. B .
12		idn3 16510	. . . . . . . . . 10 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B), B e. x   ⊢   B e. x .
13		pm3.2an3 1049	. . . . . . . . . 10 |- (x e. y -> (y e. B -> (B e. x -> (x e. y /\ y e. B /\ B e. x))))
14	9, 11, 12, 13	e223 16525	. . . . . . . . 9 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B), B e. x   ⊢   (x e. y /\ y e. B /\ B e. x) .
15	14	in3 16508	. . . . . . . 8 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   (B e. x -> (x e. y /\ y e. B /\ B e. x)) .
16		en3lp 5758	. . . . . . . 8 |- -. (x e. y /\ y e. B /\ B e. x)
17		con3 110	. . . . . . . 8 |- ((B e. x -> (x e. y /\ y e. B /\ B e. x)) -> (-. (x e. y /\ y e. B /\ B e. x) -> -. B e. x))
18	15, 16, 17	e20 16595	. . . . . . 7 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢    -. B e. x .
19		idn3 16510	. . . . . . . . . . 11 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B), x = B   ⊢   x = B .
20		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = B -> (y e. x <-> y e. B))
21	20	biimprcd 173	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. B -> (x = B -> y e. x))
22	11, 19, 21	e23 16623	. . . . . . . . . 10 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B), x = B   ⊢   y e. x .
23		pm3.2 305	. . . . . . . . . 10 |- (x e. y -> (y e. x -> (x e. y /\ y e. x)))
24	9, 22, 23	e23 16623	. . . . . . . . 9 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B), x = B   ⊢   (x e. y /\ y e. x) .
25	24	in3 16508	. . . . . . . 8 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   (x = B -> (x e. y /\ y e. x)) .
26		en2lp 5707	. . . . . . . 8 |- -. (x e. y /\ y e. x)
27		con3 110	. . . . . . . 8 |- ((x = B -> (x e. y /\ y e. x)) -> (-. (x e. y /\ y e. x) -> -. x = B))
28	25, 26, 27	e20 16595	. . . . . . 7 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢    -. x = B .
29		idn1 16484	. . . . . . . . 9 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) .
30		simp3 878	. . . . . . . . 9 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> B e. A)
31	29, 30	e1_ 16518	. . . . . . . 8 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   B e. A .
32		simp2 877	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y))
33	29, 32	e1_ 16518	. . . . . . . . . . 11 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) .
34		ralcom2 2244	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> A.y e. A A.x e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y))
35	33, 34	e1_ 16518	. . . . . . . . . 10 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   A.y e. A A.x e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) .
36		simp1 876	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> Tr A)
37	29, 36	e1_ 16518	. . . . . . . . . . 11 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   Tr A .
38		trel 3418	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Tr A -> ((y e. B /\ B e. A) -> y e. A))
39	38	exp3a 405	. . . . . . . . . . . 12 |- (Tr A -> (y e. B -> (B e. A -> y e. A)))
40	37, 11, 31, 39	e121 16546	. . . . . . . . . . 11 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   y e. A .
41		trel 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- (Tr A -> ((x e. y /\ y e. A) -> x e. A))
42	41	exp3a 405	. . . . . . . . . . 11 |- (Tr A -> (x e. y -> (y e. A -> x e. A)))
43	37, 9, 40, 42	e122 16543	. . . . . . . . . 10 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   x e. A .
44		ra4sbc2 5829	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. A -> (x e. A -> (A.y e. A A.x e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> [x / x][B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y))))
45	44	com13 37	. . . . . . . . . 10 |- (A.y e. A A.x e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> (x e. A -> (B e. A -> [x / x][B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y))))
46	35, 43, 31, 45	e121 16546	. . . . . . . . 9 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   [x / x][B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y) .
47		sbid 1549	. . . . . . . . . 10 |- ([x / x][B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y) <-> [B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y))
48	47	biimpi 168	. . . . . . . . 9 |- ([x / x][B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> [B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y))
49	46, 48	e2 16521	. . . . . . . 8 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   [B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y) .
50		sbcoreleleq 5830	. . . . . . . . 9 |- (B e. A -> ([B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y) <-> (x e. B \/ B e. x \/ x = B)))
51	50	biimpd 170	. . . . . . . 8 |- (B e. A -> ([B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> (x e. B \/ B e. x \/ x = B)))
52	31, 49, 51	e12 16593	. . . . . . 7 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   (x e. B \/ B e. x \/ x = B) .
53		3ornot23 1281	. . . . . . . 8 |- ((-. B e. x /\ -. x = B) -> ((x e. B \/ B e. x \/ x = B) -> x e. B))
54	53	ex 402	. . . . . . 7 |- (-. B e. x -> (-. x = B -> ((x e. B \/ B e. x \/ x = B) -> x e. B)))
55	18, 28, 52, 54	e222 16526	. . . . . 6 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A), (x e. y /\ y e. B)   ⊢   x e. B .
56	55	in2 16506	. . . . 5 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   ((x e. y /\ y e. B) -> x e. B) .
57	6, 56	gen11nv 16512	. . . 4 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   A.y((x e. y /\ y e. B) -> x e. B) .
58	3, 57	gen11nv 16512	. . 3 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   A.xA.y((x e. y /\ y e. B) -> x e. B) .
59		dftr2 3413	. . . 4 |- (Tr B <-> A.xA.y((x e. y /\ y e. B) -> x e. B))
60	59	biimpri 169	. . 3 |- (A.xA.y((x e. y /\ y e. B) -> x e. B) -> Tr B)
61	58, 60	e1_ 16518	. 2 |- . (Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)   ⊢   Tr B .
62	61	in1 16481	1 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> Tr B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   \/ w3o 857   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  [wsbc 1534  A.wral 2105  Tr wtr 3411

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-vd1 16480  df-vd2 16489  df-vd3 16494

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