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Theorem tratrb 36754
Description: If a class is transitive and any two distinct elements of the class are E-comparable, then every element of that class is transitive. Derived automatically from tratrbVD 37118. (Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
tratrb  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem tratrb
StepHypRef Expression
1 nfv 1751 . . . 4  |-  F/ x Tr  A
2 nfra1 2806 . . . 4  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)
3 nfv 1751 . . . 4  |-  F/ x  B  e.  A
41, 2, 3nf3an 1986 . . 3  |-  F/ x
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)
5 nfv 1751 . . . . 5  |-  F/ y Tr  A
6 nfra2 2812 . . . . 5  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)
7 nfv 1751 . . . . 5  |-  F/ y  B  e.  A
85, 6, 7nf3an 1986 . . . 4  |-  F/ y ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)
9 simpl 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  y )
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  y ) )
11 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B ) )
13 pm3.2an3 1184 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  B  -> 
( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ) )
1410, 12, 13syl6c 66 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ) )
15 en3lp 8123 . . . . . 6  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x )
16 con3 139 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
)  ->  -.  B  e.  x ) )
1714, 15, 16syl6mpi 64 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  -.  B  e.  x
) )
18 eleq2 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  B ) )
1918biimprcd 228 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  B  -> 
y  e.  x ) )
2012, 19syl6 34 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  B  ->  y  e.  x
) ) )
21 pm3.2 448 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) ) )
2210, 20, 21syl10 75 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  B  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ) ) )
23 en2lp 8120 . . . . . 6  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  x )
24 con3 139 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  B  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  -.  x  =  B ) )
2522, 23, 24syl6mpi 64 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  -.  x  =  B ) )
26 simp3 1007 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  B  e.  A )
27 simp1 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  A
)
28 trel 4522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
2928expd 437 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  A  ->  ( y  e.  B  ->  ( B  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
3027, 12, 26, 29ee121 36718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  A ) )
31 trel 4522 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  A  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
3231expd 437 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
3327, 10, 30, 32ee122 36719 . . . . . . . 8  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  A ) )
34 ralcom2 2993 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
35343ad2ant2 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
36 rspsbc2 36752 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  A  ->  (
x  e.  A  -> 
( A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) ) )
3726, 33, 35, 36ee121 36718 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
38 equid 1840 . . . . . . . 8  |-  x  =  x
39 sbceq1a 3310 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  x  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  <->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
4137, 40syl6ibr 230 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
42 sbcoreleleq 36753 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
4342biimpd 210 . . . . . 6  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  ->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
4426, 41, 43sylsyld 58 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B
) ) )
45 3ornot23 36722 . . . . . 6  |-  ( ( -.  B  e.  x  /\  -.  x  =  B )  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) )
4645ex 435 . . . . 5  |-  ( -.  B  e.  x  -> 
( -.  x  =  B  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) ) )
4717, 25, 44, 46ee222 36715 . . . 4  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
488, 47alrimi 1928 . . 3  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
494, 48alrimi 1928 . 2  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
50 dftr2 4517 . 2  |-  ( Tr  B  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
5149, 50sylibr 215 1  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   [.wsbc 3299   Tr wtr 4515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-reg 8109
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-fr 4808
This theorem is referenced by:  ordelordALT  36755  ordelordALTVD  37124
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