Theorem tratrb 5831

Description: If a class is transitive and any two distinct elements of the class are E-comparable, then every element of that class is transitive. Derived automatically from tratrbVD 16685. (Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.)

Assertion

Ref	Expression
tratrb	|- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> Tr B)

Distinct variable groups:   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem tratrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbra1 2147	. . . 4 |- (A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> A.xA.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y))
2		19.21a3con13v 5828	. . . 4 |- ((A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> A.xA.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y)) -> ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> A.x(Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)))
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> A.x(Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A))
4		hbra2 2148	. . . . 5 |- (A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> A.yA.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y))
5		19.21a3con13v 5828	. . . . 5 |- ((A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> A.yA.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y)) -> ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> A.y(Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A)))
6	4, 5	ax-mp 7	. . . 4 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> A.y(Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A))
7		simpl 346	. . . . . . . 8 |- ((x e. y /\ y e. B) -> x e. y)
8	7	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> ((x e. y /\ y e. B) -> x e. y))
9		simpr 350	. . . . . . . 8 |- ((x e. y /\ y e. B) -> y e. B)
10	9	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> ((x e. y /\ y e. B) -> y e. B))
11		pm3.2an3 1049	. . . . . . 7 |- (x e. y -> (y e. B -> (B e. x -> (x e. y /\ y e. B /\ B e. x))))
12	8, 10, 11	ee22 1272	. . . . . 6 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> ((x e. y /\ y e. B) -> (B e. x -> (x e. y /\ y e. B /\ B e. x))))
13		en3lp 5758	. . . . . 6 |- -. (x e. y /\ y e. B /\ B e. x)
14		con3 110	. . . . . 6 |- ((B e. x -> (x e. y /\ y e. B /\ B e. x)) -> (-. (x e. y /\ y e. B /\ B e. x) -> -. B e. x))
15	12, 13, 14	syl6mpi 68	. . . . 5 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> ((x e. y /\ y e. B) -> -. B e. x))
16		eleq2 1958	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> (y e. x <-> y e. B))
17	16	biimprcd 173	. . . . . . . 8 |- (y e. B -> (x = B -> y e. x))
18	10, 17	syl6 25	. . . . . . 7 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> ((x e. y /\ y e. B) -> (x = B -> y e. x)))
19		pm3.2 305	. . . . . . 7 |- (x e. y -> (y e. x -> (x e. y /\ y e. x)))
20	8, 18, 19	ee23 1276	. . . . . 6 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> ((x e. y /\ y e. B) -> (x = B -> (x e. y /\ y e. x))))
21		en2lp 5707	. . . . . 6 |- -. (x e. y /\ y e. x)
22		con3 110	. . . . . 6 |- ((x = B -> (x e. y /\ y e. x)) -> (-. (x e. y /\ y e. x) -> -. x = B))
23	20, 21, 22	syl6mpi 68	. . . . 5 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> ((x e. y /\ y e. B) -> -. x = B))
24		simp3 878	. . . . . 6 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> B e. A)
25		simp1 876	. . . . . . . . 9 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> Tr A)
26		trel 3418	. . . . . . . . . . 11 |- (Tr A -> ((y e. B /\ B e. A) -> y e. A))
27	26	exp3a 405	. . . . . . . . . 10 |- (Tr A -> (y e. B -> (B e. A -> y e. A)))
28	25, 10, 24, 27	ee121 1277	. . . . . . . . 9 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> ((x e. y /\ y e. B) -> y e. A))
29		trel 3418	. . . . . . . . . 10 |- (Tr A -> ((x e. y /\ y e. A) -> x e. A))
30	29	exp3a 405	. . . . . . . . 9 |- (Tr A -> (x e. y -> (y e. A -> x e. A)))
31	25, 8, 28, 30	ee122 1278	. . . . . . . 8 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> ((x e. y /\ y e. B) -> x e. A))
32		ralcom2 2244	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> A.y e. A A.x e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y))
33	32	3ad2ant2 898	. . . . . . . 8 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> A.y e. A A.x e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y))
34		ra4sbc2 5829	. . . . . . . 8 |- (B e. A -> (x e. A -> (A.y e. A A.x e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> [x / x][B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y))))
35	24, 31, 33, 34	ee121 1277	. . . . . . 7 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> ((x e. y /\ y e. B) -> [x / x][B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y)))
36		sbid 1549	. . . . . . 7 |- ([x / x][B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y) <-> [B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y))
37	35, 36	syl6ib 229	. . . . . 6 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> ((x e. y /\ y e. B) -> [B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y)))
38		sbcoreleleq 5830	. . . . . . 7 |- (B e. A -> ([B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y) <-> (x e. B \/ B e. x \/ x = B)))
39	38	biimpd 170	. . . . . 6 |- (B e. A -> ([B / y](x e. y \/ y e. x \/ x = y) -> (x e. B \/ B e. x \/ x = B)))
40	24, 37, 39	sylsyld 32	. . . . 5 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> ((x e. y /\ y e. B) -> (x e. B \/ B e. x \/ x = B)))
41		3ornot23 1281	. . . . . 6 |- ((-. B e. x /\ -. x = B) -> ((x e. B \/ B e. x \/ x = B) -> x e. B))
42	41	ex 402	. . . . 5 |- (-. B e. x -> (-. x = B -> ((x e. B \/ B e. x \/ x = B) -> x e. B)))
43	15, 23, 40, 42	ee222 1271	. . . 4 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> ((x e. y /\ y e. B) -> x e. B))
44	6, 43	19.21ai 1345	. . 3 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> A.y((x e. y /\ y e. B) -> x e. B))
45	3, 44	19.21ai 1345	. 2 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> A.xA.y((x e. y /\ y e. B) -> x e. B))
46		dftr2 3413	. 2 |- (Tr B <-> A.xA.y((x e. y /\ y e. B) -> x e. B))
47	45, 46	sylibr 217	1 |- ((Tr A /\ A.x e. A A.y e. A (x e. y \/ y e. x \/ x = y) /\ B e. A) -> Tr B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   \/ w3o 857   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  [wsbc 1534  A.wral 2105  Tr wtr 3411

This theorem is referenced by:  ordelordaxr 5833  ordelordaxrVD 16691

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140

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