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Theorem tratrb 31555
Description: If a class is transitive and any two distinct elements of the class are E-comparable, then every element of that class is transitive. Derived automatically from tratrbVD 31910. (Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
tratrb  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem tratrb
StepHypRef Expression
1 nfv 1674 . . . 4  |-  F/ x Tr  A
2 nfra1 2807 . . . 4  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)
3 nfv 1674 . . . 4  |-  F/ x  B  e.  A
41, 2, 3nf3an 1867 . . 3  |-  F/ x
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)
5 nfv 1674 . . . . 5  |-  F/ y Tr  A
6 nfra2 2883 . . . . 5  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)
7 nfv 1674 . . . . 5  |-  F/ y  B  e.  A
85, 6, 7nf3an 1867 . . . 4  |-  F/ y ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)
9 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  y )
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  y ) )
11 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B ) )
13 pm3.2an3 1167 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  B  -> 
( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ) )
1410, 12, 13syl6c 64 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ) )
15 en3lp 7928 . . . . . 6  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x )
16 con3 134 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
)  ->  -.  B  e.  x ) )
1714, 15, 16syl6mpi 62 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  -.  B  e.  x
) )
18 eleq2 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  B ) )
1918biimprcd 225 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  B  -> 
y  e.  x ) )
2012, 19syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  B  ->  y  e.  x
) ) )
21 pm3.2 447 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) ) )
2210, 20, 21syl10 73 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  B  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ) ) )
23 en2lp 7925 . . . . . 6  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  x )
24 con3 134 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  B  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  -.  x  =  B ) )
2522, 23, 24syl6mpi 62 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  -.  x  =  B ) )
26 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  B  e.  A )
27 simp1 988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  A
)
28 trel 4495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
2928expd 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  A  ->  ( y  e.  B  ->  ( B  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
3027, 12, 26, 29ee121 31522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  A ) )
31 trel 4495 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  A  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
3231expd 436 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
3327, 10, 30, 32ee122 31523 . . . . . . . 8  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  A ) )
34 ralcom2 2985 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
35343ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
36 rspsbc2 31553 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  A  ->  (
x  e.  A  -> 
( A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) ) )
3726, 33, 35, 36ee121 31522 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
38 equid 1731 . . . . . . . 8  |-  x  =  x
39 sbceq1a 3299 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  x  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  <->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
4137, 40syl6ibr 227 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
42 sbcoreleleq 31554 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
4342biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  ->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
4426, 41, 43sylsyld 56 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B
) ) )
45 3ornot23 31526 . . . . . 6  |-  ( ( -.  B  e.  x  /\  -.  x  =  B )  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) )
4645ex 434 . . . . 5  |-  ( -.  B  e.  x  -> 
( -.  x  =  B  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) ) )
4717, 25, 44, 46ee222 31519 . . . 4  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
488, 47alrimi 1815 . . 3  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
494, 48alrimi 1815 . 2  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
50 dftr2 4490 . 2  |-  ( Tr  B  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
5149, 50sylibr 212 1  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   [.wsbc 3288   Tr wtr 4488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-reg 7913
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-fr 4782
This theorem is referenced by:  ordelordALT  31557  ordelordALTVD  31916
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