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Theorem tratrb 33408
Description: If a class is transitive and any two distinct elements of the class are E-comparable, then every element of that class is transitive. Derived automatically from tratrbVD 33762. (Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
tratrb  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem tratrb
StepHypRef Expression
1 nfv 1708 . . . 4  |-  F/ x Tr  A
2 nfra1 2838 . . . 4  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)
3 nfv 1708 . . . 4  |-  F/ x  B  e.  A
41, 2, 3nf3an 1931 . . 3  |-  F/ x
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)
5 nfv 1708 . . . . 5  |-  F/ y Tr  A
6 nfra2 2844 . . . . 5  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)
7 nfv 1708 . . . . 5  |-  F/ y  B  e.  A
85, 6, 7nf3an 1931 . . . 4  |-  F/ y ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)
9 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  y )
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  y ) )
11 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B ) )
13 pm3.2an3 1175 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  B  -> 
( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ) )
1410, 12, 13syl6c 64 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ) )
15 en3lp 8050 . . . . . 6  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x )
16 con3 134 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
)  ->  -.  B  e.  x ) )
1714, 15, 16syl6mpi 62 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  -.  B  e.  x
) )
18 eleq2 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  B ) )
1918biimprcd 225 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  B  -> 
y  e.  x ) )
2012, 19syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  B  ->  y  e.  x
) ) )
21 pm3.2 447 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) ) )
2210, 20, 21syl10 73 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  B  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ) ) )
23 en2lp 8047 . . . . . 6  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  x )
24 con3 134 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  B  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  -.  x  =  B ) )
2522, 23, 24syl6mpi 62 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  -.  x  =  B ) )
26 simp3 998 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  B  e.  A )
27 simp1 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  A
)
28 trel 4557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
2928expd 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  A  ->  ( y  e.  B  ->  ( B  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
3027, 12, 26, 29ee121 33375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  A ) )
31 trel 4557 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  A  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
3231expd 436 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
3327, 10, 30, 32ee122 33376 . . . . . . . 8  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  A ) )
34 ralcom2 3022 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
35343ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
36 rspsbc2 33406 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  A  ->  (
x  e.  A  -> 
( A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) ) )
3726, 33, 35, 36ee121 33375 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
38 equid 1792 . . . . . . . 8  |-  x  =  x
39 sbceq1a 3338 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  x  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  <->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
4137, 40syl6ibr 227 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
42 sbcoreleleq 33407 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
4342biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  ->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
4426, 41, 43sylsyld 56 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B
) ) )
45 3ornot23 33379 . . . . . 6  |-  ( ( -.  B  e.  x  /\  -.  x  =  B )  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) )
4645ex 434 . . . . 5  |-  ( -.  B  e.  x  -> 
( -.  x  =  B  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) ) )
4717, 25, 44, 46ee222 33372 . . . 4  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
488, 47alrimi 1878 . . 3  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
494, 48alrimi 1878 . 2  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
50 dftr2 4552 . 2  |-  ( Tr  B  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
5149, 50sylibr 212 1  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   [.wsbc 3327   Tr wtr 4550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-reg 8036
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-fr 4847
This theorem is referenced by:  ordelordALT  33409  ordelordALTVD  33768
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