Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tratrb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem tratrb 36891
Description: If a class is transitive and any two distinct elements of the class are E-comparable, then every element of that class is transitive. Derived automatically from tratrbVD 37252. (Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
tratrb  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem tratrb
StepHypRef Expression
1 nfv 1760 . . . 4  |-  F/ x Tr  A
2 nfra1 2768 . . . 4  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)
3 nfv 1760 . . . 4  |-  F/ x  B  e.  A
41, 2, 3nf3an 2012 . . 3  |-  F/ x
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)
5 nfv 1760 . . . . 5  |-  F/ y Tr  A
6 nfra2 2774 . . . . 5  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)
7 nfv 1760 . . . . 5  |-  F/ y  B  e.  A
85, 6, 7nf3an 2012 . . . 4  |-  F/ y ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)
9 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  y )
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  y ) )
11 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B ) )
13 pm3.2an3 1186 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  B  -> 
( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ) )
1410, 12, 13syl6c 66 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ) )
15 en3lp 8118 . . . . . 6  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x )
16 con3 140 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
)  ->  -.  B  e.  x ) )
1714, 15, 16syl6mpi 64 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  -.  B  e.  x
) )
18 eleq2 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  B ) )
1918biimprcd 229 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  B  -> 
y  e.  x ) )
2012, 19syl6 34 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  B  ->  y  e.  x
) ) )
21 pm3.2 449 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) ) )
2210, 20, 21syl10 75 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  B  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ) ) )
23 en2lp 8115 . . . . . 6  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  x )
24 con3 140 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  B  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  -.  x  =  B ) )
2522, 23, 24syl6mpi 64 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  -.  x  =  B ) )
26 simp3 1009 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  B  e.  A )
27 simp1 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  A
)
28 trel 4503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
2928expd 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  A  ->  ( y  e.  B  ->  ( B  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
3027, 12, 26, 29ee121 36855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  A ) )
31 trel 4503 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  A  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
3231expd 438 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
3327, 10, 30, 32ee122 36856 . . . . . . . 8  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  A ) )
34 ralcom2 2954 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
35343ad2ant2 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
36 rspsbc2 36889 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  A  ->  (
x  e.  A  -> 
( A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) ) )
3726, 33, 35, 36ee121 36855 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
38 equid 1854 . . . . . . . 8  |-  x  =  x
39 sbceq1a 3277 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  x  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  <->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
4137, 40syl6ibr 231 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
42 sbcoreleleq 36890 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
4342biimpd 211 . . . . . 6  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  ->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
4426, 41, 43sylsyld 58 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B
) ) )
45 3ornot23 36859 . . . . . 6  |-  ( ( -.  B  e.  x  /\  -.  x  =  B )  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) )
4645ex 436 . . . . 5  |-  ( -.  B  e.  x  -> 
( -.  x  =  B  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) ) )
4717, 25, 44, 46ee222 36852 . . . 4  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
488, 47alrimi 1954 . . 3  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
494, 48alrimi 1954 . 2  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
50 dftr2 4498 . 2  |-  ( Tr  B  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
5149, 50sylibr 216 1  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    \/ w3o 983    /\ w3a 984   A.wal 1441    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   [.wsbc 3266   Tr wtr 4496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-reg 8104
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-fr 4792
This theorem is referenced by:  ordelordALT  36892  ordelordALTVD  37258
  Copyright terms: Public domain W3C validator