Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  transportprops Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem transportprops 30813
Description: Calculate the defining properties of the transport function. (Contributed by Scott Fenton, 19-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
transportprops  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  C  =/=  D ) )  -> 
( D  Btwn  <. C , 
( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )
>.  /\  <. D ,  (
<. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. ) >.Cgr
<. A ,  B >. ) )

Proof of Theorem transportprops
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvtransport 30811 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  C  =/=  D ) )  -> 
( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )  =  ( iota_ r  e.  ( EE `  N
) ( D  Btwn  <. C ,  r >.  /\ 
<. D ,  r >.Cgr <. A ,  B >. ) ) )
21eqcomd 2459 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  C  =/=  D ) )  -> 
( iota_ r  e.  ( EE `  N ) ( D  Btwn  <. C , 
r >.  /\  <. D , 
r >.Cgr <. A ,  B >. ) )  =  (
<. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )
)
3 transportcl 30812 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  C  =/=  D ) )  -> 
( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )  e.  ( EE `  N ) )
4 segconeu 30790 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  C  =/=  D ) )  ->  E! r  e.  ( EE `  N ) ( D  Btwn  <. C , 
r >.  /\  <. D , 
r >.Cgr <. A ,  B >. ) )
5 opeq2 4170 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )  ->  <. C , 
r >.  =  <. C , 
( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )
>. )
65breq2d 4417 . . . . 5  |-  ( r  =  ( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )  ->  ( D  Btwn  <. C ,  r
>. 
<->  D  Btwn  <. C , 
( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )
>. ) )
7 opeq2 4170 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )  ->  <. D , 
r >.  =  <. D , 
( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )
>. )
87breq1d 4415 . . . . 5  |-  ( r  =  ( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )  ->  ( <. D ,  r >.Cgr <. A ,  B >. 
<-> 
<. D ,  ( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. ) >.Cgr
<. A ,  B >. ) )
96, 8anbi12d 718 . . . 4  |-  ( r  =  ( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )  ->  ( ( D  Btwn  <. C ,  r
>.  /\  <. D ,  r
>.Cgr <. A ,  B >. )  <->  ( D  Btwn  <. C ,  ( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. ) >.  /\  <. D ,  ( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. ) >.Cgr <. A ,  B >. ) ) )
109riota2 6279 . . 3  |-  ( ( ( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )  e.  ( EE `  N )  /\  E! r  e.  ( EE `  N ) ( D 
Btwn  <. C ,  r
>.  /\  <. D ,  r
>.Cgr <. A ,  B >. ) )  ->  (
( D  Btwn  <. C , 
( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )
>.  /\  <. D ,  (
<. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. ) >.Cgr
<. A ,  B >. )  <-> 
( iota_ r  e.  ( EE `  N ) ( D  Btwn  <. C , 
r >.  /\  <. D , 
r >.Cgr <. A ,  B >. ) )  =  (
<. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )
) )
113, 4, 10syl2anc 667 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  C  =/=  D ) )  -> 
( ( D  Btwn  <. C ,  ( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. ) >.  /\  <. D ,  ( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. ) >.Cgr <. A ,  B >. )  <->  ( iota_ r  e.  ( EE `  N
) ( D  Btwn  <. C ,  r >.  /\ 
<. D ,  r >.Cgr <. A ,  B >. ) )  =  ( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )
) )
122, 11mpbird 236 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  C  =/=  D ) )  -> 
( D  Btwn  <. C , 
( <. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. )
>.  /\  <. D ,  (
<. A ,  B >.TransportTo <. C ,  D >. ) >.Cgr
<. A ,  B >. ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   E!wreu 2741   <.cop 3976   class class class wbr 4405   ` cfv 5585   iota_crio 6256  (class class class)co 6295   NNcn 10616   EEcee 24930    Btwn cbtwn 24931  Cgrccgr 24932  TransportToctransport 30808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-ee 24933  df-btwn 24934  df-cgr 24935  df-ofs 30762  df-transport 30809
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator