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Theorem tpr2rico 28718
 Description: For any point of an open set of the usual topology on there is an open square which contains that point and is entirely in the open set. This is square is actually a ball by the norm . (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
tpr2rico.0
tpr2rico.1
tpr2rico.2
Assertion
Ref Expression
tpr2rico
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,)

Proof of Theorem tpr2rico
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 11639 . . . . . . . . . 10
21ixxf 11645 . . . . . . . . 9
3 ffn 5728 . . . . . . . . 9
42, 3mp1i 13 . . . . . . . 8
5 elssuni 4227 . . . . . . . . . . . . . 14
6 tpr2rico.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 retop 21782 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86, 7eqeltri 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15
9 uniretop 21783 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106unieqi 4207 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119, 10eqtr4i 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15
128, 8, 11, 11txunii 20608 . . . . . . . . . . . . . 14
135, 12syl6sseqr 3479 . . . . . . . . . . . . 13
1413ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12
15 simplr 762 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15sseldd 3433 . . . . . . . . . . 11
17 xp1st 6823 . . . . . . . . . . 11
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10
19 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12
2019rpred 11341 . . . . . . . . . . 11
2120rehalfcld 10859 . . . . . . . . . 10
2218, 21resubcld 10047 . . . . . . . . 9
2322rexrd 9690 . . . . . . . 8
2418, 21readdcld 9670 . . . . . . . . 9
2524rexrd 9690 . . . . . . . 8
26 fnovrn 6444 . . . . . . . 8
274, 23, 25, 26syl3anc 1268 . . . . . . 7
28 xp2nd 6824 . . . . . . . . . . 11
2916, 28syl 17 . . . . . . . . . 10
3029, 21resubcld 10047 . . . . . . . . 9
3130rexrd 9690 . . . . . . . 8
3229, 21readdcld 9670 . . . . . . . . 9
3332rexrd 9690 . . . . . . . 8
34 fnovrn 6444 . . . . . . . 8
354, 31, 33, 34syl3anc 1268 . . . . . . 7
36 eqidd 2452 . . . . . . 7
37 xpeq1 4848 . . . . . . . . 9
3837eqeq2d 2461 . . . . . . . 8
39 xpeq2 4849 . . . . . . . . 9
4039eqeq2d 2461 . . . . . . . 8
4138, 40rspc2ev 3161 . . . . . . 7
4227, 35, 36, 41syl3anc 1268 . . . . . 6
43 eqid 2451 . . . . . . 7
44 vex 3048 . . . . . . . 8
45 vex 3048 . . . . . . . 8
4644, 45xpex 6595 . . . . . . 7
4743, 46elrnmpt2 6409 . . . . . 6
4842, 47sylibr 216 . . . . 5
49 tpr2rico.2 . . . . 5
5048, 49syl6eleqr 2540 . . . 4
5150ralrimiva 2802 . . 3
52 xpss 4941 . . . . . . 7
5352, 16sseldi 3430 . . . . . 6
5418rexrd 9690 . . . . . . . 8
5519rphalfcld 11353 . . . . . . . . 9
5618, 55ltsubrpd 11370 . . . . . . . 8
5718, 55ltaddrpd 11371 . . . . . . . 8
58 elioo1 11676 . . . . . . . . 9
5923, 25, 58syl2anc 667 . . . . . . . 8
6054, 56, 57, 59mpbir3and 1191 . . . . . . 7
6129rexrd 9690 . . . . . . . 8
6229, 55ltsubrpd 11370 . . . . . . . 8
6329, 55ltaddrpd 11371 . . . . . . . 8
64 elioo1 11676 . . . . . . . . 9
6531, 33, 64syl2anc 667 . . . . . . . 8
6661, 62, 63, 65mpbir3and 1191 . . . . . . 7
6760, 66jca 535 . . . . . 6
68 elxp7 6826 . . . . . 6
6953, 67, 68sylanbrc 670 . . . . 5
7069ralrimiva 2802 . . . 4
71 mnfle 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7223, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 pnfge 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7425, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
75 mnfxr 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76 pnfxr 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77 ioossioo 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7875, 76, 77mpanl12 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7972, 74, 78syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16
80 ioomax 11709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8179, 80syl6sseq 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 mnfle 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8331, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
84 pnfge 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8533, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
86 ioossioo 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8775, 76, 86mpanl12 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8883, 85, 87syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8988, 80syl6sseq 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15
90 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . . 15
9181, 89, 90syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14
9291sselda 3432 . . . . . . . . . . . . 13
9392expcom 437 . . . . . . . . . . . 12
9493ancld 556 . . . . . . . . . . 11
9594imdistanri 697 . . . . . . . . . 10
9613adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97 simpr1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9896, 97sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . . 15
99983anassrs 1232 . . . . . . . . . . . . . 14
100 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14
101 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101rphalfcld 11353 . . . . . . . . . . . . . 14
103 tpr2rico.1 . . . . . . . . . . . . . . 15
104103cnre2csqima 28717 . . . . . . . . . . . . . 14
10599, 100, 102, 104syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13
106 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 fld fld
107103, 6, 106cnrehmeo 21981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 fld
108106cnfldtopon 21803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 fld TopOn
109108toponunii 19947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 fld
11012, 109hmeof1o 20779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 fld
111 f1of 5814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112107, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114113, 99ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116115ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117 sqsscirc2 28715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118114, 116, 101, 117syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119118imp 431 . . . . . . . . . . . . . . 15
120101rpxrd 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121120adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122 cnxmet 21793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123121, 122jctil 540 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124114adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125116adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126124, 125jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128127cnmetdval 21791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129125, 124, 128syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131129, 130eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132 elbl3 21407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
133132biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16
134123, 126, 131, 133syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15
135119, 134syldan 473 . . . . . . . . . . . . . 14
136135ex 436 . . . . . . . . . . . . 13
137105, 136syld 45 . . . . . . . . . . . 12
138 f1ocnv 5826 . . . . . . . . . . . . . . 15
139107, 110, 138mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14
140 f1ofun 5816 . . . . . . . . . . . . . 14
141139, 140ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
142 f1odm 5818 . . . . . . . . . . . . . . 15
143139, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
144116, 143syl6eleqr 2540 . . . . . . . . . . . . 13
145 funfvima 6140 . . . . . . . . . . . . 13
146141, 144, 145sylancr 669 . . . . . . . . . . . 12
147107, 110mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15
148 f1ocnvfv1 6175 . . . . . . . . . . . . . . 15
149147, 100, 148syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14
150149eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . 13
151150biimpd 211 . . . . . . . . . . . 12
152137, 146, 1513syld 57 . . . . . . . . . . 11
153152imp 431 . . . . . . . . . 10
15495, 153syl 17 . . . . . . . . 9
155154ex 436 . . . . . . . 8
156155ssrdv 3438 . . . . . . 7
157156ralrimiva 2802 . . . . . 6
158103mpt2fun 6398 . . . . . . . . . 10
159158a1i 11 . . . . . . . . 9
16013sselda 3432 . . . . . . . . . 10
161 f1odm 5818 . . . . . . . . . . 11
162107, 110, 161mp2b 10 . . . . . . . . . 10
163160, 162syl6eleqr 2540 . . . . . . . . 9
164 simpr 463 . . . . . . . . 9
165 funfvima 6140 . . . . . . . . . 10
166165imp 431 . . . . . . . . 9
167159, 163, 164, 166syl21anc 1267 . . . . . . . 8
168 hmeoima 20780 . . . . . . . . . . 11 fld fld
169107, 168mpan 676 . . . . . . . . . 10 fld
170106cnfldtopn 21802 . . . . . . . . . . . . 13 fld
171170elmopn2 21460 . . . . . . . . . . . 12 fld
172122, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 fld
173172simprbi 466 . . . . . . . . . 10 fld
174169, 173syl 17 . . . . . . . . 9
175174adantr 467 . . . . . . . 8
176 oveq1 6297 . . . . . . . . . . 11
177176sseq1d 3459 . . . . . . . . . 10
178177rexbidv 2901 . . . . . . . . 9
179178rspcva 3148 . . . . . . . 8
180167, 175, 179syl2anc 667 . . . . . . 7
181 imass2 5204 . . . . . . . . . 10
182 f1of1 5813 . . . . . . . . . . . . 13
183107, 110, 182mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12
184 f1imacnv 5830 . . . . . . . . . . . 12
185183, 13, 184sylancr 669 . . . . . . . . . . 11
186185sseq2d 3460 . . . . . . . . . 10
187181, 186syl5ib 223 . . . . . . . . 9
188187reximdv 2861 . . . . . . . 8
189188adantr 467 . . . . . . 7
190180, 189mpd 15 . . . . . 6
191 r19.29 2925 . . . . . 6
192157, 190, 191syl2anc 667 . . . . 5
193 sstr 3440 . . . . . 6
194193reximi 2855 . . . . 5
195192, 194syl 17 . . . 4
196 r19.29 2925 . . . 4
19770, 195, 196syl2anc 667 . . 3
198 r19.29 2925 . . 3
19951, 197, 198syl2anc 667 . 2
200 eleq2 2518 . . . . 5
201 sseq1 3453 . . . . 5
202200, 201anbi12d 717 . . . 4
203202rspcev 3150 . . 3
204203rexlimivw 2876 . 2
205199, 204syl 17 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738  cvv 3045   wss 3404  cpw 3951  cuni 4198   class class class wbr 4402   cxp 4832  ccnv 4833   cdm 4834   crn 4835  cima 4837   ccom 4838   wfun 5576   wfn 5577  wf 5578  wf1 5579  wf1o 5581  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmpt2 6292  c1st 6791  c2nd 6792  cc 9537  cr 9538  ci 9541   caddc 9542   cmul 9544   cpnf 9672   cmnf 9673  cxr 9674   clt 9675   cle 9676   cmin 9860   cdiv 10269  c2 10659  crp 11302  cioo 11635  cre 13160  cim 13161  cabs 13297  ctopn 15320  ctg 15336  cxmt 18955  cbl 18957  ℂfldccnfld 18970  ctop 19917   ctx 20575  chmeo 20768 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910 This theorem is referenced by:  dya2iocnei  29104
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