Theorem tpostpos 6975

Description: Value of the double transposition for a general class F. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpostpos	|- tpos tpos F = ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )

Proof of Theorem tpostpos

Dummy variables x y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltpos 6960	. 2 |- Rel tpos tpos F
2		inss2 3719	. . 3 |- ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V )
3		relxp 5110	. . 3 |- Rel ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V )
4		relss 5090	. . 3 |- ( ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) -> ( Rel ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) -> Rel ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) ) )
5	2, 3, 4	mp2 9	. 2 |- Rel ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
6		relcnv 5374	. . . . . . . . 9 |- Rel `' dom tpos F
7		df-rel 5006	. . . . . . . . 9 |- ( Rel `' dom tpos F <-> `' dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
8	6, 7	mpbi 208	. . . . . . . 8 |- `' dom tpos F C_ ( _V X. _V )
9		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) -> w e. `' dom tpos F )
10	8, 9	sseldi 3502	. . . . . . 7 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) -> w e. ( _V X. _V ) )
11		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) -> w e. ( _V X. _V ) )
12		elvv 5058	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y w = <. x , y >. )
13		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. x , y >. -> ( w e. `' dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom tpos F ) )
14		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
15		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
16	14, 15	opelcnv 5184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. x , y >. e. `' dom tpos F <-> <. y , x >. e. dom tpos F )
17	13, 16	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = <. x , y >. -> ( w e. `' dom tpos F <-> <. y , x >. e. dom tpos F ) )
18		sneq 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = <. x , y >. -> { w } = { <. x , y >. } )
19	18	cnveqd 5178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = <. x , y >. -> `' { w } = `' { <. x , y >. } )
20	19	unieqd 4255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = <. x , y >. -> U. `' { w } = U. `' { <. x , y >. } )
21		opswap 5495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. `' { <. x , y >. } = <. y , x >.
22	20, 21	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. x , y >. -> U. `' { w } = <. y , x >. )
23	22	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = <. x , y >. -> ( U. `' { w }tpos F z <-> <. y , x >.tpos F z ) )
24	17, 23	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) ) )
25		opex 4711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. y , x >. e. _V
26		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
27	25, 26	breldm 5207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. y , x >.tpos F z -> <. y , x >. e. dom tpos F )
28	27	pm4.71ri 633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. y , x >.tpos F z <-> ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) )
29		brtpos 6964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> ( <. y , x >.tpos F z <-> <. x , y >. F z ) )
30	26, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. y , x >.tpos F z <-> <. x , y >. F z )
31	28, 30	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) <-> <. x , y >. F z )
32	24, 31	syl6bb 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> <. x , y >. F z ) )
33		breq1 4450	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. x , y >. -> ( w F z <-> <. x , y >. F z ) )
34	32, 33	bitr4d 256	. . . . . . . . . 10 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
35	34	exlimivv 1699	. . . . . . . . 9 |- ( E. x E. y w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
36	12, 35	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
37		iba 503	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( w F z <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) ) )
38	36, 37	bitrd 253	. . . . . . 7 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) ) )
39	10, 11, 38	pm5.21nii 353	. . . . . 6 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) )
40		elsni 4052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { (/) } -> w = (/) )
41	40	sneqd 4039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { (/) } -> { w } = { (/) } )
42	41	cnveqd 5178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. { (/) } -> `' { w } = `' { (/) } )
43		cnvsn0 5476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' { (/) } = (/)
44	42, 43	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. { (/) } -> `' { w } = (/) )
45	44	unieqd 4255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. { (/) } -> U. `' { w } = U. (/) )
46		uni0 4272	. . . . . . . . . . . 12 |- U. (/) = (/)
47	45, 46	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. { (/) } -> U. `' { w } = (/) )
48	47	breq1d 4457	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> (/)tpos F z ) )
49		brtpos0 6962	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( (/)tpos F z <-> (/) F z ) )
50	26, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( (/)tpos F z <-> (/) F z )
51	48, 50	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> (/) F z ) )
52	40	breq1d 4457	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { (/) } -> ( w F z <-> (/) F z ) )
53	51, 52	bitr4d 256	. . . . . . . 8 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> w F z ) )
54	53	pm5.32i 637	. . . . . . 7 |- ( ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w e. { (/) } /\ w F z ) )
55		ancom 450	. . . . . . 7 |- ( ( w e. { (/) } /\ w F z ) <-> ( w F z /\ w e. { (/) } ) )
56	54, 55	bitri 249	. . . . . 6 |- ( ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. { (/) } ) )
57	39, 56	orbi12i 521	. . . . 5 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) \/ ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) ) <-> ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) \/ ( w F z /\ w e. { (/) } ) ) )
58		andir 866	. . . . 5 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) \/ ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) ) )
59		andi 865	. . . . 5 |- ( ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) <-> ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) \/ ( w F z /\ w e. { (/) } ) ) )
60	57, 58, 59	3bitr4i 277	. . . 4 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) )
61		elun 3645	. . . . 5 |- ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) <-> ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) )
62	61	anbi1i 695	. . . 4 |- ( ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) )
63		brxp 5030	. . . . . . 7 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> ( w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z e. _V ) )
64	26, 63	mpbiran2 917	. . . . . 6 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) )
65		elun 3645	. . . . . 6 |- ( w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) <-> ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) )
66	64, 65	bitri 249	. . . . 5 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) )
67	66	anbi2i 694	. . . 4 |- ( ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) <-> ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) )
68	60, 62, 67	3bitr4i 277	. . 3 |- ( ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) )
69		brtpos2 6961	. . . 4 |- ( z e. _V -> ( wtpos tpos F z <-> ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) ) )
70	26, 69	ax-mp 5	. . 3 |- ( wtpos tpos F z <-> ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) )
71		brin 4496	. . 3 |- ( w ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) z <-> ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) )
72	68, 70, 71	3bitr4i 277	. 2 |- ( wtpos tpos F z <-> w ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) z )
73	1, 5, 72	eqbrriv 5098	1 |- tpos tpos F = ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   Rel wrel 5004  tpos ctpos 6954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-fv 5596  df-tpos 6955

This theorem is referenced by:  tpostpos2  6976