MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tpostpos Structured version   Unicode version

Theorem tpostpos 6975
Description: Value of the double transposition for a general class 
F. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tpostpos  |- tpos tpos  F  =  ( F  i^i  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
)

Proof of Theorem tpostpos
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reltpos 6960 . 2  |-  Rel tpos tpos  F
2 inss2 3719 . . 3  |-  ( F  i^i  ( ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X. 
_V ) )  C_  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V )
3 relxp 5110 . . 3  |-  Rel  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
4 relss 5090 . . 3  |-  ( ( F  i^i  ( ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V ) ) 
C_  ( ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X. 
_V )  ->  ( Rel  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V )  ->  Rel  ( F  i^i  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) ) ) )
52, 3, 4mp2 9 . 2  |-  Rel  ( F  i^i  ( ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X. 
_V ) )
6 relcnv 5374 . . . . . . . . 9  |-  Rel  `' dom tpos  F
7 df-rel 5006 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel  `' dom tpos  F  <->  `' dom tpos  F  C_  ( _V 
X.  _V ) )
86, 7mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  `' dom tpos  F 
C_  ( _V  X.  _V )
9 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  `' dom tpos  F  /\  U. `' {
w }tpos  F z
)  ->  w  e.  `' dom tpos  F )
108, 9sseldi 3502 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  `' dom tpos  F  /\  U. `' {
w }tpos  F z
)  ->  w  e.  ( _V  X.  _V )
)
11 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( w F z  /\  w  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  w  e.  ( _V  X.  _V ) )
12 elvv 5058 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y  w  =  <. x ,  y >. )
13 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( w  e.  `' dom tpos  F  <->  <. x ,  y
>.  e.  `' dom tpos  F ) )
14 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
15 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
1614, 15opelcnv 5184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' dom tpos  F  <->  <. y ,  x >.  e.  dom tpos  F )
1713, 16syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( w  e.  `' dom tpos  F  <->  <. y ,  x >.  e.  dom tpos  F )
)
18 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  { w }  =  { <. x ,  y
>. } )
1918cnveqd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  `' { w }  =  `' { <. x ,  y >. } )
2019unieqd 4255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  U. `' { w }  =  U. `' { <. x ,  y >. } )
21 opswap 5495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. `' { <. x ,  y
>. }  =  <. y ,  x >.
2220, 21syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  U. `' { w }  =  <. y ,  x >. )
2322breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( U. `' { w }tpos  F
z  <->  <. y ,  x >.tpos  F z ) )
2417, 23anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( w  e.  `' dom tpos  F  /\  U. `' { w }tpos  F
z )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  dom tpos  F  /\  <. y ,  x >.tpos  F z ) ) )
25 opex 4711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. y ,  x >.  e.  _V
26 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
2725, 26breldm 5207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
y ,  x >.tpos  F z  ->  <. y ,  x >.  e.  dom tpos  F )
2827pm4.71ri 633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
y ,  x >.tpos  F z  <->  ( <. y ,  x >.  e.  dom tpos  F  /\  <. y ,  x >.tpos  F z ) )
29 brtpos 6964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  _V  ->  ( <. y ,  x >.tpos  F z  <->  <. x ,  y
>. F z ) )
3026, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
y ,  x >.tpos  F z  <->  <. x ,  y
>. F z )
3128, 30bitr3i 251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. y ,  x >.  e. 
dom tpos  F  /\  <. y ,  x >.tpos  F z )  <->  <. x ,  y >. F z )
3224, 31syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( w  e.  `' dom tpos  F  /\  U. `' { w }tpos  F
z )  <->  <. x ,  y >. F z ) )
33 breq1 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( w F z  <->  <. x ,  y
>. F z ) )
3432, 33bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( w  e.  `' dom tpos  F  /\  U. `' { w }tpos  F
z )  <->  w F
z ) )
3534exlimivv 1699 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x E. y  w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( w  e.  `' dom tpos  F  /\  U. `' { w }tpos  F
z )  <->  w F
z ) )
3612, 35sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( _V  X.  _V )  ->  ( ( w  e.  `' dom tpos  F  /\  U. `' {
w }tpos  F z
)  <->  w F z ) )
37 iba 503 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( _V  X.  _V )  ->  ( w F z  <->  ( w F z  /\  w  e.  ( _V  X.  _V ) ) ) )
3836, 37bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( _V  X.  _V )  ->  ( ( w  e.  `' dom tpos  F  /\  U. `' {
w }tpos  F z
)  <->  ( w F z  /\  w  e.  ( _V  X.  _V ) ) ) )
3910, 11, 38pm5.21nii 353 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  `' dom tpos  F  /\  U. `' {
w }tpos  F z
)  <->  ( w F z  /\  w  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
40 elsni 4052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { (/) }  ->  w  =  (/) )
4140sneqd 4039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { (/) }  ->  { w }  =  { (/)
} )
4241cnveqd 5178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  { (/) }  ->  `' { w }  =  `' { (/) } )
43 cnvsn0 5476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' { (/)
}  =  (/)
4442, 43syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  { (/) }  ->  `' { w }  =  (/) )
4544unieqd 4255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  { (/) }  ->  U. `' { w }  =  U. (/) )
46 uni0 4272 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
4745, 46syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { (/) }  ->  U. `' { w }  =  (/) )
4847breq1d 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  { (/) }  ->  ( U. `' { w }tpos  F z  <->  (/)tpos  F z ) )
49 brtpos0 6962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  ( (/)tpos  F z  <->  (/) F z ) )
5026, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)tpos  F z  <->  (/) F z )
5148, 50syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  { (/) }  ->  ( U. `' { w }tpos  F z  <->  (/) F z ) )
5240breq1d 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  { (/) }  ->  ( w F z  <->  (/) F z ) )
5351, 52bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { (/) }  ->  ( U. `' { w }tpos  F z  <->  w F
z ) )
5453pm5.32i 637 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  { (/) }  /\  U. `' {
w }tpos  F z
)  <->  ( w  e. 
{ (/) }  /\  w F z ) )
55 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  { (/) }  /\  w F z )  <->  ( w F z  /\  w  e. 
{ (/) } ) )
5654, 55bitri 249 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  { (/) }  /\  U. `' {
w }tpos  F z
)  <->  ( w F z  /\  w  e. 
{ (/) } ) )
5739, 56orbi12i 521 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  `' dom tpos  F  /\  U. `' { w }tpos  F
z )  \/  (
w  e.  { (/) }  /\  U. `' {
w }tpos  F z
) )  <->  ( (
w F z  /\  w  e.  ( _V  X.  _V ) )  \/  ( w F z  /\  w  e.  { (/)
} ) ) )
58 andir 866 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  `' dom tpos  F  \/  w  e. 
{ (/) } )  /\  U. `' { w }tpos  F
z )  <->  ( (
w  e.  `' dom tpos  F  /\  U. `' {
w }tpos  F z
)  \/  ( w  e.  { (/) }  /\  U. `' { w }tpos  F
z ) ) )
59 andi 865 . . . . 5  |-  ( ( w F z  /\  ( w  e.  ( _V  X.  _V )  \/  w  e.  { (/) } ) )  <->  ( (
w F z  /\  w  e.  ( _V  X.  _V ) )  \/  ( w F z  /\  w  e.  { (/)
} ) ) )
6057, 58, 593bitr4i 277 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  `' dom tpos  F  \/  w  e. 
{ (/) } )  /\  U. `' { w }tpos  F
z )  <->  ( w F z  /\  (
w  e.  ( _V 
X.  _V )  \/  w  e.  { (/) } ) ) )
61 elun 3645 . . . . 5  |-  ( w  e.  ( `' dom tpos  F  u.  { (/) } )  <-> 
( w  e.  `' dom tpos  F  \/  w  e. 
{ (/) } ) )
6261anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( w  e.  ( `' dom tpos  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { w }tpos  F
z )  <->  ( (
w  e.  `' dom tpos  F  \/  w  e.  { (/)
} )  /\  U. `' { w }tpos  F
z ) )
63 brxp 5030 . . . . . . 7  |-  ( w ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) z  <->  ( w  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  z  e. 
_V ) )
6426, 63mpbiran2 917 . . . . . 6  |-  ( w ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) z  <->  w  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) )
65 elun 3645 . . . . . 6  |-  ( w  e.  ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  <->  ( w  e.  ( _V  X.  _V )  \/  w  e.  {
(/) } ) )
6664, 65bitri 249 . . . . 5  |-  ( w ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) z  <->  ( w  e.  ( _V  X.  _V )  \/  w  e.  {
(/) } ) )
6766anbi2i 694 . . . 4  |-  ( ( w F z  /\  w ( ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X. 
_V ) z )  <-> 
( w F z  /\  ( w  e.  ( _V  X.  _V )  \/  w  e.  {
(/) } ) ) )
6860, 62, 673bitr4i 277 . . 3  |-  ( ( w  e.  ( `' dom tpos  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { w }tpos  F
z )  <->  ( w F z  /\  w
( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) z ) )
69 brtpos2 6961 . . . 4  |-  ( z  e.  _V  ->  (
wtpos tpos  F z  <->  ( w  e.  ( `' dom tpos  F  u.  {
(/) } )  /\  U. `' { w }tpos  F
z ) ) )
7026, 69ax-mp 5 . . 3  |-  ( wtpos tpos  F z  <->  ( w  e.  ( `' dom tpos  F  u.  {
(/) } )  /\  U. `' { w }tpos  F
z ) )
71 brin 4496 . . 3  |-  ( w ( F  i^i  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
) z  <->  ( w F z  /\  w
( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) z ) )
7268, 70, 713bitr4i 277 . 2  |-  ( wtpos tpos  F z  <->  w ( F  i^i  ( ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X. 
_V ) ) z )
731, 5, 72eqbrriv 5098 1  |- tpos tpos  F  =  ( F  i^i  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   Rel wrel 5004  tpos ctpos 6954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-fv 5596  df-tpos 6955
This theorem is referenced by:  tpostpos2  6976
  Copyright terms: Public domain W3C validator