MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposfun Structured version   Unicode version

Theorem tposfun 6973
Description: The transposition of a function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposfun  |-  ( Fun 
F  ->  Fun tpos  F )

Proof of Theorem tposfun
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5604 . . 3  |-  Fun  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )
2 funco 5606 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )  ->  Fun  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) )
31, 2mpan2 669 . 2  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) )
4 df-tpos 6957 . . 3  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
54funeqi 5588 . 2  |-  ( Fun tpos  F 
<->  Fun  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
63, 5sylibr 212 1  |-  ( Fun 
F  ->  Fun tpos  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    u. cun 3411   (/)c0 3737   {csn 3971   U.cuni 4190    |-> cmpt 4452   `'ccnv 4821   dom cdm 4822    o. ccom 4826   Fun wfun 5562  tpos ctpos 6956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-fun 5570  df-tpos 6957
This theorem is referenced by:  tposfn2  6979
  Copyright terms: Public domain W3C validator