MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposf12 Structured version   Unicode version

Theorem tposf12 6983
Description: Condition for an injective transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposf12  |-  ( Rel 
A  ->  ( F : A -1-1-> B  -> tpos  F : `' A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem tposf12
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  ->  F : A -1-1-> B )
2 relcnv 5195 . . . . . . 7  |-  Rel  `' A
3 cnvf1o 6883 . . . . . . 7  |-  ( Rel  `' A  ->  ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-onto-> `' `' A )
4 f1of1 5798 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  `' A  |-> 
U. `' { x } ) : `' A
-1-1-onto-> `' `' A  ->  ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A )
52, 3, 4mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A
6 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  ->  Rel  A )
7 dfrel2 5274 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
A  <->  `' `' A  =  A
)
86, 7sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  ->  `' `' A  =  A
)
9 f1eq3 5761 . . . . . . 7  |-  ( `' `' A  =  A  ->  ( ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A  <->  ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A
) )
108, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> `' `' A  <->  ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A
) )
115, 10mpbii 211 . . . . 5  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )
12 f1dm 5768 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  dom  F  =  A )
131, 12syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  ->  dom  F  =  A )
1413cnveqd 4999 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  ->  `' dom  F  =  `' A )
15 mpteq1 4475 . . . . . 6  |-  ( `' dom  F  =  `' A  ->  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } )  =  ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) )
16 f1eq1 5759 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } )  =  ( x  e.  `' A  |-> 
U. `' { x } )  ->  (
( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A  <->  ( x  e.  `' A  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A
) )
1714, 15, 163syl 18 . . . . 5  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A  <->  ( x  e.  `' A  |-> 
U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A ) )
1811, 17mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )
19 f1co 5773 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) : `' A -1-1-> A )  -> 
( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B )
201, 18, 19syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B )
2112releqd 4908 . . . . 5  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( Rel  dom  F  <->  Rel  A ) )
2221biimparc 485 . . . 4  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  ->  Rel  dom  F )
23 dftpos2 6975 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) ) )
24 f1eq1 5759 . . . 4  |-  (tpos  F  =  ( F  o.  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) )  -> 
(tpos  F : `' A -1-1-> B  <->  ( F  o.  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B ) )
2522, 23, 243syl 18 . . 3  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  -> 
(tpos  F : `' A -1-1-> B  <->  ( F  o.  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) ) : `' A -1-1-> B ) )
2620, 25mpbird 232 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  F : A -1-1-> B )  -> tpos  F : `' A -1-1-> B
)
2726ex 432 1  |-  ( Rel 
A  ->  ( F : A -1-1-> B  -> tpos  F : `' A -1-1-> B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405   {csn 3972   U.cuni 4191    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822   dom cdm 4823    o. ccom 4827   Rel wrel 4828   -1-1->wf1 5566   -1-1-onto->wf1o 5568  tpos ctpos 6957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958
This theorem is referenced by:  tposf1o2  6984
  Copyright terms: Public domain W3C validator