MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposexg Structured version   Unicode version

Theorem tposexg 6969
Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposexg  |-  ( F  e.  V  -> tpos  F  e. 
_V )

Proof of Theorem tposexg
StepHypRef Expression
1 tposssxp 6959 . 2  |- tpos  F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  X.  ran  F )
2 dmexg 6715 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  ->  dom  F  e.  _V )
3 cnvexg 6730 . . . . 5  |-  ( dom 
F  e.  _V  ->  `' dom  F  e.  _V )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  `' dom  F  e.  _V )
5 p0ex 4634 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
6 unexg 6585 . . . 4  |-  ( ( `' dom  F  e.  _V  /\ 
{ (/) }  e.  _V )  ->  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 662 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  e.  _V )
8 rnexg 6716 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ran  F  e.  _V )
9 xpexg 6586 . . 3  |-  ( ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  e. 
_V  /\  ran  F  e. 
_V )  ->  (
( `' dom  F  u.  { (/) } )  X. 
ran  F )  e. 
_V )
107, 8, 9syl2anc 661 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  (
( `' dom  F  u.  { (/) } )  X. 
ran  F )  e. 
_V )
11 ssexg 4593 . 2  |-  ( (tpos 
F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F )  /\  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F )  e.  _V )  -> tpos  F  e.  _V )
121, 10, 11sylancr 663 1  |-  ( F  e.  V  -> tpos  F  e. 
_V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000  tpos ctpos 6954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-tpos 6955
This theorem is referenced by:  tposex  6989  oftpos  18749
  Copyright terms: Public domain W3C validator