MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposexg Structured version   Unicode version

Theorem tposexg 6995
Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposexg  |-  ( F  e.  V  -> tpos  F  e. 
_V )

Proof of Theorem tposexg
StepHypRef Expression
1 tposssxp 6985 . 2  |- tpos  F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  X.  ran  F )
2 dmexg 6738 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  ->  dom  F  e.  _V )
3 cnvexg 6753 . . . . 5  |-  ( dom 
F  e.  _V  ->  `' dom  F  e.  _V )
42, 3syl 17 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  `' dom  F  e.  _V )
5 p0ex 4612 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
6 unexg 6606 . . . 4  |-  ( ( `' dom  F  e.  _V  /\ 
{ (/) }  e.  _V )  ->  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 666 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  e.  _V )
8 rnexg 6739 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ran  F  e.  _V )
9 xpexg 6607 . . 3  |-  ( ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  e. 
_V  /\  ran  F  e. 
_V )  ->  (
( `' dom  F  u.  { (/) } )  X. 
ran  F )  e. 
_V )
107, 8, 9syl2anc 665 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  (
( `' dom  F  u.  { (/) } )  X. 
ran  F )  e. 
_V )
11 ssexg 4571 . 2  |-  ( (tpos 
F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F )  /\  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F )  e.  _V )  -> tpos  F  e.  _V )
121, 10, 11sylancr 667 1  |-  ( F  e.  V  -> tpos  F  e. 
_V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    u. cun 3440    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002    X. cxp 4852   `'ccnv 4853   dom cdm 4854   ran crn 4855  tpos ctpos 6980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-tpos 6981
This theorem is referenced by:  tposex  7015  oftpos  19408
  Copyright terms: Public domain W3C validator