MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposco Structured version   Unicode version

Theorem tposco 6878
Description: Transposition of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposco  |- tpos  ( F  o.  G )  =  ( F  o. tpos  G
)

Proof of Theorem tposco
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coass 5456 . 2  |-  ( ( F  o.  G )  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  =  ( F  o.  ( G  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) )
2 dftpos4 6866 . 2  |- tpos  ( F  o.  G )  =  ( ( F  o.  G )  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
3 dftpos4 6866 . . 3  |- tpos  G  =  ( G  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
43coeq2i 5100 . 2  |-  ( F  o. tpos  G )  =  ( F  o.  ( G  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) )
51, 2, 43eqtr4i 2490 1  |- tpos  ( F  o.  G )  =  ( F  o. tpos  G
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370   _Vcvv 3070    u. cun 3426   (/)c0 3737   {csn 3977   U.cuni 4191    |-> cmpt 4450    X. cxp 4938   `'ccnv 4939    o. ccom 4944  tpos ctpos 6846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-fv 5526  df-tpos 6847
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator