MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tpfi Structured version   Unicode version

Theorem tpfi 7586
Description: An unordered triple is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
tpfi  |-  { A ,  B ,  C }  e.  Fin

Proof of Theorem tpfi
StepHypRef Expression
1 df-tp 3881 . 2  |-  { A ,  B ,  C }  =  ( { A ,  B }  u.  { C } )
2 prfi 7585 . . 3  |-  { A ,  B }  e.  Fin
3 snfi 7389 . . 3  |-  { C }  e.  Fin
4 unfi 7578 . . 3  |-  ( ( { A ,  B }  e.  Fin  /\  { C }  e.  Fin )  ->  ( { A ,  B }  u.  { C } )  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 672 . 2  |-  ( { A ,  B }  u.  { C } )  e.  Fin
61, 5eqeltri 2512 1  |-  { A ,  B ,  C }  e.  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756    u. cun 3325   {csn 3876   {cpr 3878   {ctp 3880   Fincfn 7309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-fin 7313
This theorem is referenced by:  hashge3el3dif  12186  perfectlem2  22568
  Copyright terms: Public domain W3C validator