Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  totprobd Structured version   Unicode version

Theorem totprobd 26809
Description: Law of total probability, deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
totprobd.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
totprobd.2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  P
)
totprobd.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P dom  P )
totprobd.4  |-  ( ph  ->  U. B  =  U. dom  P )
totprobd.5  |-  ( ph  ->  B  ~<_  om )
totprobd.6  |-  ( ph  -> Disj  b  e.  B  b
)
Assertion
Ref Expression
totprobd  |-  ( ph  ->  ( P `  A
)  = Σ* b  e.  B
( P `  (
b  i^i  A )
) )
Distinct variable groups:    A, b    B, b    P, b    ph, b

Proof of Theorem totprobd
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totprobd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  P
)
2 elssuni 4121 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  P  ->  A  C_  U. dom  P
)
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  U. dom  P
)
4 totprobd.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  =  U. dom  P )
53, 4sseqtr4d 3393 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  U. B )
6 dfss1 3555 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. B  <->  ( U. B  i^i  A )  =  A )
75, 6sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. B  i^i  A )  =  A )
87fveq2d 5695 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  ( U. B  i^i  A ) )  =  ( P `
 A ) )
9 totprobd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
10 domprobmeas 26793 . . . . . 6  |-  ( P  e. Prob  ->  P  e.  (measures `  dom  P ) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  (measures `  dom  P ) )
12 measinb 26635 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  (measures `  dom  P )  /\  A  e. 
dom  P )  -> 
( c  e.  dom  P 
|->  ( P `  (
c  i^i  A )
) )  e.  (measures `  dom  P ) )
1311, 1, 12syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( c  e.  dom  P 
|->  ( P `  (
c  i^i  A )
) )  e.  (measures `  dom  P ) )
14 totprobd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P dom  P )
15 totprobd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  ~<_  om )
16 totprobd.6 . . . 4  |-  ( ph  -> Disj  b  e.  B  b
)
17 measvun 26623 . . . 4  |-  ( ( ( c  e.  dom  P 
|->  ( P `  (
c  i^i  A )
) )  e.  (measures `  dom  P )  /\  B  e.  ~P dom  P  /\  ( B  ~<_  om 
/\ Disj  b  e.  B  b ) )  ->  (
( c  e.  dom  P 
|->  ( P `  (
c  i^i  A )
) ) `  U. B )  = Σ* b  e.  B ( ( c  e.  dom  P  |->  ( P `  ( c  i^i  A ) ) ) `  b ) )
1813, 14, 15, 16, 17syl112anc 1222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( c  e. 
dom  P  |->  ( P `
 ( c  i^i 
A ) ) ) `
 U. B )  = Σ* b  e.  B ( ( c  e.  dom  P 
|->  ( P `  (
c  i^i  A )
) ) `  b
) )
19 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( c  e.  dom  P 
|->  ( P `  (
c  i^i  A )
) )  =  ( c  e.  dom  P  |->  ( P `  (
c  i^i  A )
) ) )
20 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  =  U. B )  ->  c  =  U. B )
2120ineq1d 3551 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  =  U. B )  ->  (
c  i^i  A )  =  ( U. B  i^i  A ) )
2221fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  =  U. B )  ->  ( P `  ( c  i^i  A ) )  =  ( P `  ( U. B  i^i  A ) ) )
23 domprobsiga 26794 . . . . . 6  |-  ( P  e. Prob  ->  dom  P  e.  U.
ran sigAlgebra )
249, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  P  e.  U. ran sigAlgebra )
25 sigaclcu 26560 . . . . 5  |-  ( ( dom  P  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  ~P dom  P  /\  B  ~<_  om )  ->  U. B  e. 
dom  P )
2624, 14, 15, 25syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  e.  dom  P )
27 inelsiga 26578 . . . . . 6  |-  ( ( dom  P  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. B  e.  dom  P  /\  A  e.  dom  P )  ->  ( U. B  i^i  A )  e. 
dom  P )
2824, 26, 1, 27syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. B  i^i  A )  e.  dom  P
)
29 prob01 26796 . . . . 5  |-  ( ( P  e. Prob  /\  ( U. B  i^i  A )  e.  dom  P )  ->  ( P `  ( U. B  i^i  A
) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
309, 28, 29syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  ( U. B  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
3119, 22, 26, 30fvmptd 5779 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( c  e. 
dom  P  |->  ( P `
 ( c  i^i 
A ) ) ) `
 U. B )  =  ( P `  ( U. B  i^i  A
) ) )
32 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  (
c  e.  dom  P  |->  ( P `  (
c  i^i  A )
) )  =  ( c  e.  dom  P  |->  ( P `  (
c  i^i  A )
) ) )
33 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  B )  /\  c  =  b )  -> 
c  =  b )
3433ineq1d 3551 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  B )  /\  c  =  b )  -> 
( c  i^i  A
)  =  ( b  i^i  A ) )
3534fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  B )  /\  c  =  b )  -> 
( P `  (
c  i^i  A )
)  =  ( P `
 ( b  i^i 
A ) ) )
36 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  B )
3714adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  B  e.  ~P dom  P )
38 elelpwi 3871 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  B  /\  B  e.  ~P dom  P )  ->  b  e.  dom  P )
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  dom  P )
409adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  P  e. Prob )
4124adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  dom  P  e.  U. ran sigAlgebra )
421adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  A  e.  dom  P )
43 inelsiga 26578 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  P  e.  U. ran sigAlgebra  /\  b  e.  dom  P  /\  A  e.  dom  P )  ->  ( b  i^i  A )  e.  dom  P )
4441, 39, 42, 43syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  (
b  i^i  A )  e.  dom  P )
45 prob01 26796 . . . . . 6  |-  ( ( P  e. Prob  /\  (
b  i^i  A )  e.  dom  P )  -> 
( P `  (
b  i^i  A )
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4640, 44, 45syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  ( P `  ( b  i^i  A ) )  e.  ( 0 [,] 1
) )
4732, 35, 39, 46fvmptd 5779 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  (
( c  e.  dom  P 
|->  ( P `  (
c  i^i  A )
) ) `  b
)  =  ( P `
 ( b  i^i 
A ) ) )
4847esumeq2dv 26494 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* b  e.  B ( ( c  e.  dom  P  |->  ( P `  (
c  i^i  A )
) ) `  b
)  = Σ* b  e.  B
( P `  (
b  i^i  A )
) )
4918, 31, 483eqtr3d 2483 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  ( U. B  i^i  A ) )  = Σ* b  e.  B
( P `  (
b  i^i  A )
) )
508, 49eqtr3d 2477 1  |-  ( ph  ->  ( P `  A
)  = Σ* b  e.  B
( P `  (
b  i^i  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091  Disj wdisj 4262   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   dom cdm 4840   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   omcom 6476    ~<_ cdom 7308   0cc0 9282   1c1 9283   [,]cicc 11303  Σ*cesum 26483  sigAlgebracsiga 26550  measurescmeas 26609  Probcprb 26790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-ac2 8632  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-ac 8286  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-ordt 14439  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-ps 15370  df-tsr 15371  df-mnd 15415  df-plusf 15416  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-subrg 16863  df-abv 16902  df-lmod 16950  df-scaf 16951  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-tmd 19643  df-tgp 19644  df-tsms 19697  df-trg 19734  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-nm 20175  df-ngp 20176  df-nrg 20178  df-nlm 20179  df-ii 20453  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008  df-esum 26484  df-siga 26551  df-meas 26610  df-prob 26791
This theorem is referenced by:  totprob  26810
  Copyright terms: Public domain W3C validator