Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  totbndss Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem totbndss 32109
Description: A subset of a totally bounded metric space is totally bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
totbndss  |-  ( ( M  e.  ( TotBnd `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( M  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( TotBnd `  S )
)

Proof of Theorem totbndss
Dummy variables  b 
d  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istotbnd 32101 . . . 4  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
21simprbi 466 . . 3  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
3 sseq2 3454 . . . . . . 7  |-  ( U. v  =  X  ->  ( S  C_  U. v  <->  S 
C_  X ) )
43biimprcd 229 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  X  ->  ( U. v  =  X  ->  S  C_  U. v
) )
54anim1d 568 . . . . 5  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )  ->  ( S  C_ 
U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )
65reximdv 2861 . . . 4  |-  ( S 
C_  X  ->  ( E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  E. v  e.  Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) ) )
76ralimdv 2798 . . 3  |-  ( S 
C_  X  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
82, 7mpan9 472 . 2  |-  ( ( M  e.  ( TotBnd `  X )  /\  S  C_  X )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
9 totbndmet 32104 . . 3  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
10 eqid 2451 . . . 4  |-  ( M  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( M  |`  ( S  X.  S ) )
1110sstotbnd 32107 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X )  ->  (
( M  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( TotBnd `  S
)  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )
129, 11sylan 474 . 2  |-  ( ( M  e.  ( TotBnd `  X )  /\  S  C_  X )  ->  (
( M  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( TotBnd `  S
)  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )
138, 12mpbird 236 1  |-  ( ( M  e.  ( TotBnd `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( M  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( TotBnd `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3404   U.cuni 4198    X. cxp 4832    |` cres 4836   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   RR+crp 11302   Metcme 18956   ballcbl 18957   TotBndctotbnd 32098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-2 10668  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-totbnd 32100
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  32127
  Copyright terms: Public domain W3C validator