Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  totbndss Structured version   Unicode version

Theorem totbndss 29876
Description: A subset of a totally bounded metric space is totally bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
totbndss  |-  ( ( M  e.  ( TotBnd `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( M  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( TotBnd `  S )
)

Proof of Theorem totbndss
Dummy variables  b 
d  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istotbnd 29868 . . . 4  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
21simprbi 464 . . 3  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
3 sseq2 3526 . . . . . . 7  |-  ( U. v  =  X  ->  ( S  C_  U. v  <->  S 
C_  X ) )
43biimprcd 225 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  X  ->  ( U. v  =  X  ->  S  C_  U. v
) )
54anim1d 564 . . . . 5  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )  ->  ( S  C_ 
U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )
65reximdv 2937 . . . 4  |-  ( S 
C_  X  ->  ( E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  E. v  e.  Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) ) )
76ralimdv 2874 . . 3  |-  ( S 
C_  X  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
82, 7mpan9 469 . 2  |-  ( ( M  e.  ( TotBnd `  X )  /\  S  C_  X )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
9 totbndmet 29871 . . 3  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
10 eqid 2467 . . . 4  |-  ( M  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( M  |`  ( S  X.  S ) )
1110sstotbnd 29874 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X )  ->  (
( M  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( TotBnd `  S
)  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )
129, 11sylan 471 . 2  |-  ( ( M  e.  ( TotBnd `  X )  /\  S  C_  X )  ->  (
( M  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( TotBnd `  S
)  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )
138, 12mpbird 232 1  |-  ( ( M  e.  ( TotBnd `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( M  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( TotBnd `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   U.cuni 4245    X. cxp 4997    |` cres 5001   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   RR+crp 11216   Metcme 18175   ballcbl 18176   TotBndctotbnd 29865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-2 10590  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-totbnd 29867
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  29894
  Copyright terms: Public domain W3C validator