Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  totbndss Structured version   Unicode version

Theorem totbndss 31803
Description: A subset of a totally bounded metric space is totally bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
totbndss  |-  ( ( M  e.  ( TotBnd `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( M  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( TotBnd `  S )
)

Proof of Theorem totbndss
Dummy variables  b 
d  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istotbnd 31795 . . . 4  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
21simprbi 465 . . 3  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
3 sseq2 3492 . . . . . . 7  |-  ( U. v  =  X  ->  ( S  C_  U. v  <->  S 
C_  X ) )
43biimprcd 228 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  X  ->  ( U. v  =  X  ->  S  C_  U. v
) )
54anim1d 566 . . . . 5  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )  ->  ( S  C_ 
U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )
65reximdv 2906 . . . 4  |-  ( S 
C_  X  ->  ( E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  E. v  e.  Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) ) )
76ralimdv 2842 . . 3  |-  ( S 
C_  X  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
82, 7mpan9 471 . 2  |-  ( ( M  e.  ( TotBnd `  X )  /\  S  C_  X )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
9 totbndmet 31798 . . 3  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
10 eqid 2429 . . . 4  |-  ( M  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( M  |`  ( S  X.  S ) )
1110sstotbnd 31801 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X )  ->  (
( M  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( TotBnd `  S
)  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )
129, 11sylan 473 . 2  |-  ( ( M  e.  ( TotBnd `  X )  /\  S  C_  X )  ->  (
( M  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( TotBnd `  S
)  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( S  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )
138, 12mpbird 235 1  |-  ( ( M  e.  ( TotBnd `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( M  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( TotBnd `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   U.cuni 4222    X. cxp 4852    |` cres 4856   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   RR+crp 11302   Metcme 18882   ballcbl 18883   TotBndctotbnd 31792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-2 10668  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-psmet 18888  df-xmet 18889  df-met 18890  df-bl 18891  df-totbnd 31794
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  31821
  Copyright terms: Public domain W3C validator