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Theorem totbndbnd 32185
Description: A totally bounded metric space is bounded. This theorem fails for extended metrics - a bounded extended metric is a metric, but there are totally bounded extended metrics that are not metrics (if we were to weaken istotbnd 32165 to only require that M be an extended metric). A counterexample is the discrete extended metric (assigning distinct points distance +oo) on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
totbndbnd |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> M e. ( Bnd ` X ) )
Proof of Theorem totbndbnd
Dummy variables v d w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totbndmet 32168 . 2 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> M e. ( Met ` X ) )
2 1rp 11329 . . 3 |- 1 e. RR+
3 istotbnd3 32167 . . . 4 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) )
43simprbi 471 . . 3 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X )
5 oveq2 6316 . . . . . . 7 |- ( d = 1 -> ( x ( ball ` M ) d ) = ( x ( ball ` M ) 1 ) )
65iuneq2d 4296 . . . . . 6 |- ( d = 1 -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) )
76eqeq1d 2473 . . . . 5 |- ( d = 1 -> ( U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X <-> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) )
87rexbidv 2892 . . . 4 |- ( d = 1 -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X <-> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) )
98rspcv 3132 . . 3 |- ( 1 e. RR+ -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) )
102, 4, 9mpsyl 64 . 2 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X )
11 simplll 776 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> M e. ( Met ` X ) )
12 elfpw 7894 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) <-> ( v C_ X /\ v e. Fin ) )
1312simplbi 467 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> v C_ X )
1413ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> v C_ X )
1514sselda 3418 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> z e. X )
16 simpllr 777 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> y e. X )
17 metcl 21425 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ z e. X /\ y e. X ) -> ( z M y ) e. RR )
1811, 15, 16, 17syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( z M y ) e. RR )
19 metge0 21438 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ z e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( z M y ) )
2011, 15, 16, 19syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> 0 <_ ( z M y ) )
2118, 20ge0p1rpd 11391 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( ( z M y ) + 1 ) e. RR+ )
22 eqid 2471 . . . . . . . . 9 |- ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) )
2321, 22fmptd 6061 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) : v --> RR+ )
24 frn 5747 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) : v --> RR+ -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR+ )
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR+ )
2612simprbi 471 . . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> v e. Fin )
27 mptfi 7891 . . . . . . . . . 10 |- ( v e. Fin -> ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
28 rnfi 7875 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
3029ad2antrl 742 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
31 simplr 770 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> y e. X )
32 simprr 774 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X )
3331, 32eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> y e. U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) )
34 ne0i 3728 . . . . . . . . 9 |- ( y e. U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) =/= (/) )
35 dm0rn0 5057 . . . . . . . . . . 11 |- ( dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) <-> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) )
36 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z M y ) + 1 ) e. _V
3736, 22dmmpti 5717 . . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = v
3837eqeq1i 2476 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) <-> v = (/) )
39 iuneq1 4283 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = (/) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = U_ x e. (/) ( x ( ball ` M ) 1 ) )
4038, 39sylbi 200 . . . . . . . . . . . 12 |- ( dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = U_ x e. (/) ( x ( ball ` M ) 1 ) )
41 0iun 4326 . . . . . . . . . . . 12 |- U_ x e. (/) ( x ( ball ` M ) 1 ) = (/)
4240, 41syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11 |- ( dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = (/) )
4335, 42sylbir 218 . . . . . . . . . 10 |- ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = (/) )
4443necon3i 2675 . . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) =/= (/) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) )
4533, 34, 443syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) )
46 rpssre 11335 . . . . . . . . 9 |- RR+ C_ RR
4725, 46syl6ss 3430 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR )
48 ltso 9732 . . . . . . . . 9 |- < Or RR
49 fisupcl 8003 . . . . . . . . 9 |- ( ( < Or RR /\ ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
5048, 49mpan 684 . . . . . . . 8 |- ( ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
5130, 45, 47, 50syl3anc 1292 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
5225, 51sseldd 3419 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR+ )
53 metxmet 21427 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M e. ( *Met ` X ) )
5453ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
5554adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> M e. ( *Met ` X ) )
56 1red 9676 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> 1 e. RR )
5747, 51sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR )
5857adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR )
5947adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR )
6045adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) )
6130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
62 fimaxre2 10574 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin ) -> E. d e. RR A. w e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) w <_ d )
6359, 61, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> E. d e. RR A. w e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) w <_ d )
6422elrnmpt1 5089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. v /\ ( ( z M y ) + 1 ) e. _V ) -> ( ( z M y ) + 1 ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
6536, 64mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. v -> ( ( z M y ) + 1 ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( ( z M y ) + 1 ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
67 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) /\ E. d e. RR A. w e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) w <_ d ) /\ ( ( z M y ) + 1 ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) ) -> ( ( z M y ) + 1 ) <_ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
6859, 60, 63, 66, 67syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( ( z M y ) + 1 ) <_ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
69 leaddsub 10111 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z M y ) e. RR /\ 1 e. RR /\ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR ) -> ( ( ( z M y ) + 1 ) <_ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) <-> ( z M y ) <_ ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) - 1 ) ) )
7018, 56, 58, 69syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( ( ( z M y ) + 1 ) <_ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) <-> ( z M y ) <_ ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) - 1 ) ) )
7168, 70mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( z M y ) <_ ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) - 1 ) )
72 blss2 21497 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ z e. X /\ y e. X ) /\ ( 1 e. RR /\ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR /\ ( z M y ) <_ ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) - 1 ) ) ) -> ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
7355, 15, 16, 56, 58, 71, 72syl33anc 1307 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
7473ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> A. z e. v ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
75 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ z ( x ( ball ` M ) 1 )
76 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ z y
77 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ z ( ball ` M )
78 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ z ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) )
7978nfrn 5083 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ z ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) )
80 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ z RR
81 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ z <
8279, 80, 81nfsup 7983 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ z sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < )
8376, 77, 82nfov 6334 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ z ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
8475, 83nfss 3411 . . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
85 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
86 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( x ( ball ` M ) 1 ) = ( z ( ball ` M ) 1 ) )
8786sseq1d 3445 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) <-> ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) ) )
8884, 85, 87cbvral 3001 . . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) <-> A. z e. v ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
8974, 88sylibr 217 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> A. x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
90 iunss 4310 . . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) <-> A. x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
9189, 90sylibr 217 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
9232, 91eqsstr3d 3453 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> X C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
9352rpxrd 11365 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR* )
94 blssm 21511 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) C_ X )
9554, 31, 93, 94syl3anc 1292 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) C_ X )
9692, 95eqssd 3435 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
97 oveq2 6316 . . . . . . . 8 |- ( d = sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) -> ( y ( ball ` M ) d ) = ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
9897eqeq2d 2481 . . . . . . 7 |- ( d = sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) d ) <-> X = ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) ) )
9998rspcev 3136 . . . . . 6 |- ( ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR+ /\ X = ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) ) -> E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) )
10052, 96, 99syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) )
101100rexlimdvaa 2872 . . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X -> E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) ) )
102101ralrimdva 2812 . . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X -> A. y e. X E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) ) )
103 isbnd 32176 . . . 4 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) ) )
104103baib 919 . . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( M e. ( Bnd ` X ) <-> A. y e. X E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) ) )
105102, 104sylibrd 242 . 2 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X -> M e. ( Bnd ` X ) ) )
1061, 10, 105sylc 61 1 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> M e. ( Bnd ` X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   Or wor 4759   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   RR+crp 11325   *Metcxmt 19032   Metcme 19033   ballcbl 19034   TotBndctotbnd 32162   Bndcbnd 32163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-totbnd 32164  df-bnd 32175
This theorem is referenced by:  equivbnd2  32188  prdsbnd2  32191  cntotbnd  32192  cnpwstotbnd  32193
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