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Theorem totbndbnd 32114
Description: A totally bounded metric space is bounded. This theorem fails for extended metrics - a bounded extended metric is a metric, but there are totally bounded extended metrics that are not metrics (if we were to weaken istotbnd 32094 to only require that M be an extended metric). A counterexample is the discrete extended metric (assigning distinct points distance +oo) on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
totbndbnd |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> M e. ( Bnd ` X ) )
Proof of Theorem totbndbnd
Dummy variables v d w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totbndmet 32097 . 2 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> M e. ( Met ` X ) )
2 1rp 11303 . . 3 |- 1 e. RR+
3 istotbnd3 32096 . . . 4 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X ) )
43simprbi 466 . . 3 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X )
5 oveq2 6296 . . . . . . 7 |- ( d = 1 -> ( x ( ball ` M ) d ) = ( x ( ball ` M ) 1 ) )
65iuneq2d 4304 . . . . . 6 |- ( d = 1 -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) )
76eqeq1d 2452 . . . . 5 |- ( d = 1 -> ( U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X <-> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) )
87rexbidv 2900 . . . 4 |- ( d = 1 -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X <-> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) )
98rspcv 3145 . . 3 |- ( 1 e. RR+ -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = X -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) )
102, 4, 9mpsyl 65 . 2 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X )
11 simplll 767 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> M e. ( Met ` X ) )
12 elfpw 7873 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) <-> ( v C_ X /\ v e. Fin ) )
1312simplbi 462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> v C_ X )
1413ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> v C_ X )
1514sselda 3431 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> z e. X )
16 simpllr 768 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> y e. X )
17 metcl 21340 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ z e. X /\ y e. X ) -> ( z M y ) e. RR )
1811, 15, 16, 17syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( z M y ) e. RR )
19 metge0 21353 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ z e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( z M y ) )
2011, 15, 16, 19syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> 0 <_ ( z M y ) )
2118, 20ge0p1rpd 11365 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( ( z M y ) + 1 ) e. RR+ )
22 eqid 2450 . . . . . . . . 9 |- ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) )
2321, 22fmptd 6044 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) : v --> RR+ )
24 frn 5733 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) : v --> RR+ -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR+ )
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR+ )
2612simprbi 466 . . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> v e. Fin )
27 mptfi 7870 . . . . . . . . . 10 |- ( v e. Fin -> ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
28 rnfi 7854 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
3029ad2antrl 733 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
31 simplr 761 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> y e. X )
32 simprr 765 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X )
3331, 32eleqtrrd 2531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> y e. U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) )
34 ne0i 3736 . . . . . . . . 9 |- ( y e. U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) =/= (/) )
35 dm0rn0 5050 . . . . . . . . . . 11 |- ( dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) <-> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) )
36 ovex 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z M y ) + 1 ) e. _V
3736, 22dmmpti 5705 . . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = v
3837eqeq1i 2455 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) <-> v = (/) )
39 iuneq1 4291 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = (/) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = U_ x e. (/) ( x ( ball ` M ) 1 ) )
4038, 39sylbi 199 . . . . . . . . . . . 12 |- ( dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = U_ x e. (/) ( x ( ball ` M ) 1 ) )
41 0iun 4334 . . . . . . . . . . . 12 |- U_ x e. (/) ( x ( ball ` M ) 1 ) = (/)
4240, 41syl6eq 2500 . . . . . . . . . . 11 |- ( dom ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = (/) )
4335, 42sylbir 217 . . . . . . . . . 10 |- ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) = (/) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = (/) )
4443necon3i 2655 . . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) =/= (/) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) )
4533, 34, 443syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) )
46 rpssre 11309 . . . . . . . . 9 |- RR+ C_ RR
4725, 46syl6ss 3443 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR )
48 ltso 9711 . . . . . . . . 9 |- < Or RR
49 fisupcl 7982 . . . . . . . . 9 |- ( ( < Or RR /\ ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
5048, 49mpan 675 . . . . . . . 8 |- ( ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
5130, 45, 47, 50syl3anc 1267 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
5225, 51sseldd 3432 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR+ )
53 metxmet 21342 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M e. ( *Met ` X ) )
5453ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
5554adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> M e. ( *Met ` X ) )
56 1red 9655 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> 1 e. RR )
5747, 51sseldd 3432 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR )
5857adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR )
5947adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR )
6045adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) )
6130adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin )
62 fimaxre2 10549 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) e. Fin ) -> E. d e. RR A. w e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) w <_ d )
6359, 61, 62syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> E. d e. RR A. w e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) w <_ d )
6422elrnmpt1 5082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. v /\ ( ( z M y ) + 1 ) e. _V ) -> ( ( z M y ) + 1 ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
6536, 64mpan2 676 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. v -> ( ( z M y ) + 1 ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
6665adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( ( z M y ) + 1 ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) )
67 suprub 10567 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) C_ RR /\ ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) =/= (/) /\ E. d e. RR A. w e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) w <_ d ) /\ ( ( z M y ) + 1 ) e. ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) ) -> ( ( z M y ) + 1 ) <_ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
6859, 60, 63, 66, 67syl31anc 1270 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( ( z M y ) + 1 ) <_ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
69 leaddsub 10087 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z M y ) e. RR /\ 1 e. RR /\ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR ) -> ( ( ( z M y ) + 1 ) <_ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) <-> ( z M y ) <_ ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) - 1 ) ) )
7018, 56, 58, 69syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( ( ( z M y ) + 1 ) <_ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) <-> ( z M y ) <_ ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) - 1 ) ) )
7168, 70mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( z M y ) <_ ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) - 1 ) )
72 blss2 21412 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ z e. X /\ y e. X ) /\ ( 1 e. RR /\ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR /\ ( z M y ) <_ ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) - 1 ) ) ) -> ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
7355, 15, 16, 56, 58, 71, 72syl33anc 1282 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) /\ z e. v ) -> ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
7473ralrimiva 2801 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> A. z e. v ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
75 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ z ( x ( ball ` M ) 1 )
76 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ z y
77 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ z ( ball ` M )
78 nfmpt1 4491 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ z ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) )
7978nfrn 5076 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ z ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) )
80 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ z RR
81 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ z <
8279, 80, 81nfsup 7962 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ z sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < )
8376, 77, 82nfov 6314 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ z ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
8475, 83nfss 3424 . . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
85 nfv 1760 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) )
86 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( x ( ball ` M ) 1 ) = ( z ( ball ` M ) 1 ) )
8786sseq1d 3458 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) <-> ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) ) )
8884, 85, 87cbvral 3014 . . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) <-> A. z e. v ( z ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
8974, 88sylibr 216 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> A. x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
90 iunss 4318 . . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) <-> A. x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
9189, 90sylibr 216 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
9232, 91eqsstr3d 3466 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> X C_ ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
9352rpxrd 11339 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR* )
94 blssm 21426 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) C_ X )
9554, 31, 93, 94syl3anc 1267 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) C_ X )
9692, 95eqssd 3448 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
97 oveq2 6296 . . . . . . . 8 |- ( d = sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) -> ( y ( ball ` M ) d ) = ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) )
9897eqeq2d 2460 . . . . . . 7 |- ( d = sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) d ) <-> X = ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) ) )
9998rspcev 3149 . . . . . 6 |- ( ( sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) e. RR+ /\ X = ( y ( ball ` M ) sup ( ran ( z e. v |-> ( ( z M y ) + 1 ) ) , RR , < ) ) ) -> E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) )
10052, 96, 99syl2anc 666 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X ) ) -> E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) )
101100rexlimdvaa 2879 . . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X -> E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) ) )
102101ralrimdva 2805 . . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X -> A. y e. X E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) ) )
103 isbnd 32105 . . . 4 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) ) )
104103baib 913 . . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( M e. ( Bnd ` X ) <-> A. y e. X E. d e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) d ) ) )
105102, 104sylibrd 238 . 2 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` M ) 1 ) = X -> M e. ( Bnd ` X ) ) )
1061, 10, 105sylc 62 1 |- ( M e. ( TotBnd ` X ) -> M e. ( Bnd ` X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   U_ciun 4277   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   Or wor 4753   dom cdm 4833   ran crn 4834   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   supcsup 7951   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   RR+crp 11299   *Metcxmt 18948   Metcme 18949   ballcbl 18950   TotBndctotbnd 32091   Bndcbnd 32092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-2 10665  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-totbnd 32093  df-bnd 32104
This theorem is referenced by:  equivbnd2  32117  prdsbnd2  32120  cntotbnd  32121  cnpwstotbnd  32122
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