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Theorem totbndbnd 32114
Description: A totally bounded metric space is bounded. This theorem fails for extended metrics - a bounded extended metric is a metric, but there are totally bounded extended metrics that are not metrics (if we were to weaken istotbnd 32094 to only require that  M be an extended metric). A counterexample is the discrete extended metric (assigning distinct points distance +oo) on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
totbndbnd  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )

Proof of Theorem totbndbnd
Dummy variables  v 
d  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totbndmet 32097 . 2  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
2 1rp 11303 . . 3  |-  1  e.  RR+
3 istotbnd3 32096 . . . 4  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
43simprbi 466 . . 3  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X )
5 oveq2 6296 . . . . . . 7  |-  ( d  =  1  ->  (
x ( ball `  M
) d )  =  ( x ( ball `  M ) 1 ) )
65iuneq2d 4304 . . . . . 6  |-  ( d  =  1  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  =  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 ) )
76eqeq1d 2452 . . . . 5  |-  ( d  =  1  ->  ( U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  X  <->  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
1 )  =  X ) )
87rexbidv 2900 . . . 4  |-  ( d  =  1  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  X  <->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
1 )  =  X ) )
98rspcv 3145 . . 3  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )
102, 4, 9mpsyl 65 . 2  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
1 )  =  X )
11 simplll 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
12 elfpw 7873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  X  /\  v  e. 
Fin ) )
1312simplbi 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  C_  X )
1413ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  v  C_  X )
1514sselda 3431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  z  e.  X )
16 simpllr 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  y  e.  X )
17 metcl 21340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
z M y )  e.  RR )
1811, 15, 16, 17syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( z M y )  e.  RR )
19 metge0 21353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( z M y ) )
2011, 15, 16, 19syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  0  <_  ( z M y ) )
2118, 20ge0p1rpd 11365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( (
z M y )  +  1 )  e.  RR+ )
22 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )
2321, 22fmptd 6044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) : v --> RR+ )
24 frn 5733 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) : v --> RR+  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR+ )
2523, 24syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR+ )
2612simprbi 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  e.  Fin )
27 mptfi 7870 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  Fin  ->  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
28 rnfi 7854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
3029ad2antrl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
31 simplr 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  y  e.  X )
32 simprr 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X )
3331, 32eleqtrrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  y  e.  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 ) )
34 ne0i 3736 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
1 )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =/=  (/) )
35 dm0rn0 5050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  <->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/) )
36 ovex 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z M y )  +  1 )  e. 
_V
3736, 22dmmpti 5705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  v
3837eqeq1i 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  <->  v  =  (/) )
39 iuneq1 4291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  (/)  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  U_ x  e.  (/)  ( x ( ball `  M
) 1 ) )
4038, 39sylbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  U_ x  e.  (/)  ( x ( ball `  M ) 1 ) )
41 0iun 4334 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  (/)  ( x (
ball `  M )
1 )  =  (/)
4240, 41syl6eq 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  (/) )
4335, 42sylbir 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  (/) )
4443necon3i 2655 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  =/=  (/)  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/) )
4533, 34, 443syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/) )
46 rpssre 11309 . . . . . . . . 9  |-  RR+  C_  RR
4725, 46syl6ss 3443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR )
48 ltso 9711 . . . . . . . . 9  |-  <  Or  RR
49 fisupcl 7982 . . . . . . . . 9  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e. 
Fin  /\  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/)  /\  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
5048, 49mpan 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e. 
Fin  /\  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/)  /\  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR )  ->  sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
5130, 45, 47, 50syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
5225, 51sseldd 3432 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR+ )
53 metxmet 21342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
5453ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
5554adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
56 1red 9655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  1  e.  RR )
5747, 51sseldd 3432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5857adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5947adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) 
C_  RR )
6045adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/) )
6130adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
62 fimaxre2 10549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR  /\  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )  ->  E. d  e.  RR  A. w  e.  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) w  <_  d
)
6359, 61, 62syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  E. d  e.  RR  A. w  e. 
ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) w  <_  d )
6422elrnmpt1 5082 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  v  /\  ( ( z M y )  +  1 )  e.  _V )  ->  ( ( z M y )  +  1 )  e.  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
6536, 64mpan2 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  v  ->  (
( z M y )  +  1 )  e.  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
6665adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( (
z M y )  +  1 )  e. 
ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
67 suprub 10567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/)  /\  E. d  e.  RR  A. w  e.  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) w  <_  d )  /\  ( ( z M y )  +  1 )  e.  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )  ->  (
( z M y )  +  1 )  <_  sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
6859, 60, 63, 66, 67syl31anc 1270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( (
z M y )  +  1 )  <_  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
69 leaddsub 10087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z M y )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  (
( ( z M y )  +  1 )  <_  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  <->  ( z M y )  <_ 
( sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  -  1 ) ) )
7018, 56, 58, 69syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( (
( z M y )  +  1 )  <_  sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  <->  ( z M y )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  -  1 ) ) )
7168, 70mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( z M y )  <_ 
( sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  -  1 ) )
72 blss2 21412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( 1  e.  RR  /\  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  ( z M y )  <_ 
( sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  -  1 ) ) )  -> 
( z ( ball `  M ) 1 ) 
C_  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
7355, 15, 16, 56, 58, 71, 72syl33anc 1282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( z
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
7473ralrimiva 2801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  A. z  e.  v  ( z
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
75 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ z
( x ( ball `  M ) 1 )
76 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ z
y
77 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ z
( ball `  M )
78 nfmpt1 4491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ z
( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )
7978nfrn 5076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ z ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )
80 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ z RR
81 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ z  <
8279, 80, 81nfsup 7962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ z sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )
8376, 77, 82nfov 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ z
( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
8475, 83nfss 3424 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( x ( ball `  M ) 1 ) 
C_  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
85 nfv 1760 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( z ( ball `  M ) 1 ) 
C_  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
86 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x ( ball `  M
) 1 )  =  ( z ( ball `  M ) 1 ) )
8786sseq1d 3458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( x ( ball `  M ) 1 ) 
C_  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  <->  ( z (
ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
8884, 85, 87cbvral 3014 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  C_  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  <->  A. z  e.  v  ( z
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
8974, 88sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  A. x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
90 iunss 4318 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  C_  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  <->  A. x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
9189, 90sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
9232, 91eqsstr3d 3466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  X  C_  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
9352rpxrd 11339 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
94 blssm 21426 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  C_  X )
9554, 31, 93, 94syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  C_  X )
9692, 95eqssd 3448 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  X  =  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
97 oveq2 6296 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  ->  (
y ( ball `  M
) d )  =  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
9897eqeq2d 2460 . . . . . . 7  |-  ( d  =  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
d )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
9998rspcev 3149 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  X  =  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) )
10052, 96, 99syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) )
101100rexlimdvaa 2879 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) 1 )  =  X  ->  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) ) )
102101ralrimdva 2805 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  =  X  ->  A. y  e.  X  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) ) )
103 isbnd 32105 . . . 4  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. y  e.  X  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) ) )
104103baib 913 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  A. y  e.  X  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) d ) ) )
105102, 104sylibrd 238 . 2  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  =  X  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) ) )
1061, 10, 105sylc 62 1  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   U_ciun 4277   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460    Or wor 4753   dom cdm 4833   ran crn 4834   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   supcsup 7951   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   RR+crp 11299   *Metcxmt 18948   Metcme 18949   ballcbl 18950   TotBndctotbnd 32091   Bndcbnd 32092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-2 10665  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-totbnd 32093  df-bnd 32104
This theorem is referenced by:  equivbnd2  32117  prdsbnd2  32120  cntotbnd  32121  cnpwstotbnd  32122
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