Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  totbndbnd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem totbndbnd 32185
 Description: A totally bounded metric space is bounded. This theorem fails for extended metrics - a bounded extended metric is a metric, but there are totally bounded extended metrics that are not metrics (if we were to weaken istotbnd 32165 to only require that be an extended metric). A counterexample is the discrete extended metric (assigning distinct points distance ) on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
totbndbnd

Proof of Theorem totbndbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totbndmet 32168 . 2
2 1rp 11329 . . 3
3 istotbnd3 32167 . . . 4
43simprbi 471 . . 3
5 oveq2 6316 . . . . . . 7
65iuneq2d 4296 . . . . . 6
76eqeq1d 2473 . . . . 5
87rexbidv 2892 . . . 4
98rspcv 3132 . . 3
102, 4, 9mpsyl 64 . 2
11 simplll 776 . . . . . . . . . . 11
12 elfpw 7894 . . . . . . . . . . . . . 14
1312simplbi 467 . . . . . . . . . . . . 13
1413ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12
1514sselda 3418 . . . . . . . . . . 11
16 simpllr 777 . . . . . . . . . . 11
17 metcl 21425 . . . . . . . . . . 11
1811, 15, 16, 17syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
19 metge0 21438 . . . . . . . . . . 11
2011, 15, 16, 19syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
2118, 20ge0p1rpd 11391 . . . . . . . . 9
22 eqid 2471 . . . . . . . . 9
2321, 22fmptd 6061 . . . . . . . 8
24 frn 5747 . . . . . . . 8
2523, 24syl 17 . . . . . . 7
2612simprbi 471 . . . . . . . . . 10
27 mptfi 7891 . . . . . . . . . 10
28 rnfi 7875 . . . . . . . . . 10
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9
3029ad2antrl 742 . . . . . . . 8
31 simplr 770 . . . . . . . . . 10
32 simprr 774 . . . . . . . . . 10
3331, 32eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9
34 ne0i 3728 . . . . . . . . 9
35 dm0rn0 5057 . . . . . . . . . . 11
36 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736, 22dmmpti 5717 . . . . . . . . . . . . . 14
3837eqeq1i 2476 . . . . . . . . . . . . 13
39 iuneq1 4283 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39sylbi 200 . . . . . . . . . . . 12
41 0iun 4326 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11
4335, 42sylbir 218 . . . . . . . . . 10
4443necon3i 2675 . . . . . . . . 9
4533, 34, 443syl 18 . . . . . . . 8
46 rpssre 11335 . . . . . . . . 9
4725, 46syl6ss 3430 . . . . . . . 8
48 ltso 9732 . . . . . . . . 9
49 fisupcl 8003 . . . . . . . . 9
5048, 49mpan 684 . . . . . . . 8
5130, 45, 47, 50syl3anc 1292 . . . . . . 7
5225, 51sseldd 3419 . . . . . 6
53 metxmet 21427 . . . . . . . . . . . . . 14
5453ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
5554adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
56 1red 9676 . . . . . . . . . . . 12
5747, 51sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . 13
5857adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
5947adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
6045adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
6130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
62 fimaxre2 10574 . . . . . . . . . . . . . . 15
6359, 61, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
6422elrnmpt1 5089 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6536, 64mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
67 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . 14
6859, 60, 63, 66, 67syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . 13
69 leaddsub 10111 . . . . . . . . . . . . . 14
7018, 56, 58, 69syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
7168, 70mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
72 blss2 21497 . . . . . . . . . . . 12
7355, 15, 16, 56, 58, 71, 72syl33anc 1307 . . . . . . . . . . 11
7473ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10
75 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
76 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13
77 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13
78 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . 15
7978nfrn 5083 . . . . . . . . . . . . . 14
80 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
81 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
8279, 80, 81nfsup 7983 . . . . . . . . . . . . 13
8376, 77, 82nfov 6334 . . . . . . . . . . . 12
8475, 83nfss 3411 . . . . . . . . . . 11
85 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11
86 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . 12
8786sseq1d 3445 . . . . . . . . . . 11
8884, 85, 87cbvral 3001 . . . . . . . . . 10
8974, 88sylibr 217 . . . . . . . . 9
90 iunss 4310 . . . . . . . . 9
9189, 90sylibr 217 . . . . . . . 8
9232, 91eqsstr3d 3453 . . . . . . 7
9352rpxrd 11365 . . . . . . . 8
94 blssm 21511 . . . . . . . 8
9554, 31, 93, 94syl3anc 1292 . . . . . . 7
9692, 95eqssd 3435 . . . . . 6
97 oveq2 6316 . . . . . . . 8
9897eqeq2d 2481 . . . . . . 7
9998rspcev 3136 . . . . . 6
10052, 96, 99syl2anc 673 . . . . 5
101100rexlimdvaa 2872 . . . 4
102101ralrimdva 2812 . . 3
103 isbnd 32176 . . . 4
104103baib 919 . . 3
105102, 104sylibrd 242 . 2
1061, 10, 105sylc 61 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   wor 4759   cdm 4839   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  csup 7972  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  crp 11325  cxmt 19032  cme 19033  cbl 19034  ctotbnd 32162  cbnd 32163 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-totbnd 32164  df-bnd 32175 This theorem is referenced by:  equivbnd2  32188  prdsbnd2  32191  cntotbnd  32192  cnpwstotbnd  32193
 Copyright terms: Public domain W3C validator