Theorem totbndbnd 15944

Description: A totally bounded metric space is bounded.

Hypothesis

Ref	Expression
totbndbnd.1	|- X = dom dom M

Assertion

Ref	Expression
totbndbnd	|- (M e. TotBnd -> M e. Bnd)

Proof of Theorem totbndbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		totbndmet 15935	. 2 |- (M e. TotBnd -> M e. Met)
2		simplr 449	. . . . . . . . 9 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ v e. Fin) /\ (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1))) -> v e. Fin)
3		dmexg 4206	. . . . . . . . . . . . 13 |- (M e. Met -> dom M e. _V)
4		dmexg 4206	. . . . . . . . . . . . 13 |- (dom M e. _V -> dom dom M e. _V)
5	3, 4	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (M e. Met -> dom dom M e. _V)
6		totbndbnd.1	. . . . . . . . . . . 12 |- X = dom dom M
7	5, 6	syl5eqel 1975	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. Met -> X e. _V)
8	7	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. Met /\ y e. X) -> X e. _V)
9	8	ad2antrr 440	. . . . . . . . 9 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ v e. Fin) /\ (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1))) -> X e. _V)
10		simprr 451	. . . . . . . . 9 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ v e. Fin) /\ (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1))) -> A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1))
11		indexfi 10174	. . . . . . . . 9 |- ((v e. Fin /\ X e. _V /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1)) -> E.u e. Fin (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1)))
12	2, 9, 10, 11	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ v e. Fin) /\ (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1))) -> E.u e. Fin (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1)))
13		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> u e. Fin)
14		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (a = ((yMc) + 1) -> (a e. RR+ <-> ((yMc) + 1) e. RR+))
15		elrp 7233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((yMc) + 1) e. RR+ <-> (((yMc) + 1) e. RR /\ 0 < ((yMc) + 1)))
16		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (((yMc) e. RR /\ 1 e. RR) -> ((yMc) + 1) e. RR)
17	6	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ c e. X) -> (yMc) e. RR)
18		1re 6598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 1 e. RR
19	16, 17, 18	sylancl 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ c e. X) -> ((yMc) + 1) e. RR)
20	6	metge0 9096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ c e. X) -> 0 <_ (yMc))
21		lt01 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- 0 < 1
22	20, 21	jctir 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ c e. X) -> (0 <_ (yMc) /\ 0 < 1))
23		0re 6603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- 0 e. RR
24	23	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ c e. X) -> 0 e. RR)
25	18	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ c e. X) -> 1 e. RR)
26		leltadd 6830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (((0 e. RR /\ 0 e. RR) /\ ((yMc) e. RR /\ 1 e. RR)) -> ((0 <_ (yMc) /\ 0 < 1) -> (0 + 0) < ((yMc) + 1)))
27	24, 24, 17, 25, 26	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ c e. X) -> ((0 <_ (yMc) /\ 0 < 1) -> (0 + 0) < ((yMc) + 1)))
28	22, 27	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ c e. X) -> (0 + 0) < ((yMc) + 1))
29		0cn 6481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- 0 e. CC
30	29	addid1i 6483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (0 + 0) = 0
31	28, 30	syl5eqbrr 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ c e. X) -> 0 < ((yMc) + 1))
32	15, 19, 31	sylanbrc 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ c e. X) -> ((yMc) + 1) e. RR+)
33	32	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ c e. X) -> ((yMc) + 1) e. RR+)
34	14, 33	syl5cbir 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ c e. X) -> (a = ((yMc) + 1) -> a e. RR+))
35		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((u C_ X /\ c e. u) -> c e. X)
36	34, 35	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ (u C_ X /\ c e. u)) -> (a = ((yMc) + 1) -> a e. RR+))
37	36	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ u C_ X) /\ c e. u) -> (a = ((yMc) + 1) -> a e. RR+))
38	37	r19.23adva 2216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ u C_ X) -> (E.c e. u a = ((yMc) + 1) -> a e. RR+))
39	38	pm4.71rd 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ u C_ X) -> (E.c e. u a = ((yMc) + 1) <-> (a e. RR+ /\ E.c e. u a = ((yMc) + 1))))
40	39	abbidv 2008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ u C_ X) -> {a | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} = {a | (a e. RR+ /\ E.c e. u a = ((yMc) + 1))})
41	40	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u C_ X) -> {a | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} = {a | (a e. RR+ /\ E.c e. u a = ((yMc) + 1))})
42	41	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ u C_ X) -> {a | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} = {a | (a e. RR+ /\ E.c e. u a = ((yMc) + 1))})
43	42	3ad2antr1 1041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> {a | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} = {a | (a e. RR+ /\ E.c e. u a = ((yMc) + 1))})
44		rnopab2 4202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} = {a | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}
45		df-rab 2112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} = {a | (a e. RR+ /\ E.c e. u a = ((yMc) + 1))}
46	43, 44, 45	3eqtr4g 1953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> ran {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} = {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)})
47		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- u e. _V
48		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((yMc) + 1) e. _V
49		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} = {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))}
50	48, 49	fnopab2 4549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} Fn u
51		fnrndomg 5969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (u e. _V -> ({<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} Fn u -> ran {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} ~<_ u))
52	47, 50, 51	mp2 54	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ran {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} ~<_ u
53	46, 52	syl6eqbrr 3375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} ~<_ u)
54		domfi 5631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((u e. Fin /\ {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} ~<_ u) -> {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} e. Fin)
55	13, 53, 54	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} e. Fin)
56	48, 49	dmopab2 4550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- dom {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} = u
57	56	eqeq1i 1891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (dom {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} = (/) <-> u = (/))
58		dm0rn0 4175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (dom {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} = (/) <-> ran {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} = (/))
59	57, 58	bitr3i 192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (u = (/) <-> ran {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} = (/))
60		rex0 2888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- -. E.x e. (/) x = x
61		rexeq 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (u = (/) -> (E.x e. u x = x <-> E.x e. (/) x = x))
62	60, 61	mtbiri 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (u = (/) -> -. E.x e. u x = x)
63		r19.2z 2958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((v =/= (/) /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1)) -> E.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1))
64		eqidd 1885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (b = (x( ball ` M)1) -> x = x)
65	64	reximi 2198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (E.x e. u b = (x( ball ` M)1) -> E.x e. u x = x)
66	65	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (b e. v -> (E.x e. u b = (x( ball ` M)1) -> E.x e. u x = x))
67	66	r19.23aiv 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (E.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) -> E.x e. u x = x)
68	63, 67	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((v =/= (/) /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1)) -> E.x e. u x = x)
69		ne0i 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. X -> X =/= (/))
70		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (U.v = X -> (U.v = (/) <-> X = (/)))
71		unieq 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (v = (/) -> U.v = U.(/))
72		uni0 3205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- U.(/) = (/)
73	71, 72	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (v = (/) -> U.v = (/))
74	70, 73	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (U.v = X -> (v = (/) -> X = (/)))
75	74	necon3d 2041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (U.v = X -> (X =/= (/) -> v =/= (/)))
76	69, 75	mpan9 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. X /\ U.v = X) -> v =/= (/))
77	68, 76	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((y e. X /\ U.v = X) /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1)) -> E.x e. u x = x)
78	62, 77	nsyl 131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (u = (/) -> -. ((y e. X /\ U.v = X) /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1)))
79	59, 78	sylbir 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (ran {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} = (/) -> -. ((y e. X /\ U.v = X) /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1)))
80	79	necon2ai 2051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((y e. X /\ U.v = X) /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1)) -> ran {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} =/= (/))
81	80	adantlll 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1)) -> ran {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} =/= (/))
82	81	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1)) -> ran {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} =/= (/))
83	82	3ad2antr2 1042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> ran {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} =/= (/))
84	46	neeq1d 2028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> (ran {<.c, a>. | (c e. u /\ a = ((yMc) + 1))} =/= (/) <-> {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} =/= (/)))
85	83, 84	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} =/= (/))
86		ssrab2 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} C_ RR+
87		rpssre 7239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- RR+ C_ RR
88	86, 87	sstri 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} C_ RR
89		ltso 6681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- < Or RR
90		soss 3606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ({a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} C_ RR -> ( < Or RR -> < Or {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}))
91	88, 89, 90	mp2 54	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- < Or {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}
92	91	fimax 15746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (({a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} e. Fin /\ {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} =/= (/)) -> E.r e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r))
93	55, 85, 92	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> E.r e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r))
94		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (U.v = X -> (z e. U.v <-> z e. X))
95		eluni2 3181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (z e. U.v <-> E.t e. v z e. t)
96	95	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (z e. U.v -> E.t e. v z e. t)
97	94, 96	syl6bir 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (U.v = X -> (z e. X -> E.t e. v z e. t))
98	97	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> (z e. X -> E.t e. v z e. t))
99	98	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) -> (z e. X -> E.t e. v z e. t))
100		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (b = t -> (b = (x( ball ` M)1) <-> t = (x( ball ` M)1)))
101	100	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (b = t -> (E.x e. u b = (x( ball ` M)1) <-> E.x e. u t = (x( ball ` M)1)))
102	101	rcla4cva 2379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ t e. v) -> E.x e. u t = (x( ball ` M)1))
103	102	3ad2antl2 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1)) /\ t e. v) -> E.x e. u t = (x( ball ` M)1))
104	103	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ t e. v) -> E.x e. u t = (x( ball ` M)1))
105	104	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ t e. v) -> E.x e. u t = (x( ball ` M)1))
106	105	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ t e. v) -> E.x e. u t = (x( ball ` M)1))
107		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) -> A.x((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X))
108		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (u C_ X -> A.x u C_ X)
109		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (b e. v -> A.x b e. v)
110		hbre1 2150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (E.x e. u b = (x( ball ` M)1) -> A.xE.x e. u b = (x( ball ` M)1))
111	109, 110	hbral 2146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) -> A.xA.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1))
112		hbra1 2147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1) -> A.xA.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))
113	108, 111, 112	hb3an 1359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1)) -> A.x(u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1)))
114	107, 113	hban 1356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> A.x(((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))))
115		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (r e. RR+ -> A.x r e. RR+)
116	114, 115	hban 1356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) -> A.x((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+))
117		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) -> A.xA.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r))
118	116, 117	hban 1356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) -> A.x(((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)))
119		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (t e. v -> A.x t e. v)
120	118, 119	hban 1356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ t e. v) -> A.x((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ t e. v))
121		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((z e. t -> z e. (y( ball ` M)r)) -> A.x(z e. t -> z e. (y( ball ` M)r)))
122		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- (s = ((yMx) + 1) -> (s <_ r <-> ((yMx) + 1) <_ r))
123	122	rcla4va 2378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ((((yMx) + 1) e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}s <_ r) -> ((yMx) + 1) <_ r)
124		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- (a = ((yMx) + 1) -> (a = ((yMc) + 1) <-> ((yMx) + 1) = ((yMc) + 1)))
125	124	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- (a = ((yMx) + 1) -> (E.c e. u a = ((yMc) + 1) <-> E.c e. u ((yMx) + 1) = ((yMc) + 1)))
126	125	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- (((yMx) + 1) e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} <-> (((yMx) + 1) e. RR+ /\ E.c e. u ((yMx) + 1) = ((yMc) + 1)))
127		elrp 7233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- (((yMx) + 1) e. RR+ <-> (((yMx) + 1) e. RR /\ 0 < ((yMx) + 1)))
128	6	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ x e. X) -> (yMx) e. RR)
129		peano2re 6599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ((yMx) e. RR -> ((yMx) + 1) e. RR)
130	128, 129	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ x e. X) -> ((yMx) + 1) e. RR)
131	6	metge0 9096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ x e. X) -> 0 <_ (yMx))
132	131, 21	jctir 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ x e. X) -> (0 <_ (yMx) /\ 0 < 1))
133	23	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ x e. X) -> 0 e. RR)
134	18	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ x e. X) -> 1 e. RR)
135		leltadd 6830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- (((0 e. RR /\ 0 e. RR) /\ ((yMx) e. RR /\ 1 e. RR)) -> ((0 <_ (yMx) /\ 0 < 1) -> (0 + 0) < ((yMx) + 1)))
136	133, 133, 128, 134, 135	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ x e. X) -> ((0 <_ (yMx) /\ 0 < 1) -> (0 + 0) < ((yMx) + 1)))
137	132, 136	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ x e. X) -> (0 + 0) < ((yMx) + 1))
138	137, 30	syl5eqbrr 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ x e. X) -> 0 < ((yMx) + 1))
139	127, 130, 138	sylanbrc 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ x e. X) -> ((yMx) + 1) e. RR+)
140	139	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) -> ((yMx) + 1) e. RR+)
141		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ((u C_ X /\ x e. u) -> x e. X)
142	140, 141	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ (u C_ X /\ x e. u)) -> ((yMx) + 1) e. RR+)
143	142	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ u C_ X) /\ x e. u) -> ((yMx) + 1) e. RR+)
144		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ((yMx) + 1) = ((yMx) + 1)
145		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- (c = x -> (yMc) = (yMx))
146	145	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- (c = x -> ((yMc) + 1) = ((yMx) + 1))
147	146	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- (c = x -> (((yMx) + 1) = ((yMc) + 1) <-> ((yMx) + 1) = ((yMx) + 1)))
148	147	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ((x e. u /\ ((yMx) + 1) = ((yMx) + 1)) -> E.c e. u ((yMx) + 1) = ((yMc) + 1))
149	144, 148	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- (x e. u -> E.c e. u ((yMx) + 1) = ((yMc) + 1))
150	149	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ u C_ X) /\ x e. u) -> E.c e. u ((yMx) + 1) = ((yMc) + 1))
151	126, 143, 150	sylanbrc 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ u C_ X) /\ x e. u) -> ((yMx) + 1) e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)})
152	123, 151	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ u C_ X) /\ x e. u) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}s <_ r) -> ((yMx) + 1) <_ r)
153	152	anasss 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ u C_ X) /\ (x e. u /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}s <_ r)) -> ((yMx) + 1) <_ r)
154	153	ancom2s 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ u C_ X) /\ (A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}s <_ r /\ x e. u)) -> ((yMx) + 1) <_ r)
155		rpre 7236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- (s e. RR+ -> s e. RR)
156		eqle 6746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ((s e. RR /\ s = r) -> s <_ r)
157	156	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- (s e. RR -> (s = r -> s <_ r))
158		equcom 1488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- (r = s <-> s = r)
159	157, 158	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- (s e. RR -> (r = s -> s <_ r))
160	155, 159	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- (s e. RR+ -> (r = s -> s <_ r))
161	160	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ((r e. RR+ /\ s e. RR+) -> (r = s -> s <_ r))
162		idd 75	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ((r e. RR+ /\ s e. RR+) -> (r = s -> r = s))
163	162	necon3bd 2039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ((r e. RR+ /\ s e. RR+) -> (-. r = s -> r =/= s))
164		ltle 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ((s e. RR /\ r e. RR) -> (s < r -> s <_ r))
165		rpre 7236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- (r e. RR+ -> r e. RR)
166	164, 155, 165	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ((s e. RR+ /\ r e. RR+) -> (s < r -> s <_ r))
167	166	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ((r e. RR+ /\ s e. RR+) -> (s < r -> s <_ r))
168	163, 167	imim12d 69	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ((r e. RR+ /\ s e. RR+) -> ((r =/= s -> s < r) -> (-. r = s -> s <_ r)))
169		pm2.61 139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ((r = s -> s <_ r) -> ((-. r = s -> s <_ r) -> s <_ r))
170	161, 168, 169	sylsyld 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ((r e. RR+ /\ s e. RR+) -> ((r =/= s -> s < r) -> s <_ r))
171		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- (a = s -> (a = ((yMc) + 1) <-> s = ((yMc) + 1)))
172	171	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- (a = s -> (E.c e. u a = ((yMc) + 1) <-> E.c e. u s = ((yMc) + 1)))
173	172	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- (s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} <-> (s e. RR+ /\ E.c e. u s = ((yMc) + 1)))
174	173	simplbi 349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- (s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} -> s e. RR+)
175	170, 174	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ((r e. RR+ /\ s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}) -> ((r =/= s -> s < r) -> s <_ r))
176	175	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- (r e. RR+ -> (A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) -> A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}s <_ r))
177	176	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ((r e. RR+ /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) -> A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}s <_ r)
178	177	anim1i 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- (((r e. RR+ /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ x e. u) -> (A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}s <_ r /\ x e. u))
179	178	anasss 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ((r e. RR+ /\ (A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) /\ x e. u)) -> (A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}s <_ r /\ x e. u))
180	154, 179	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ u C_ X) /\ (r e. RR+ /\ (A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) /\ x e. u))) -> ((yMx) + 1) <_ r)
181	180	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ u C_ X) -> ((r e. RR+ /\ (A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) /\ x e. u)) -> ((yMx) + 1) <_ r))
182	181	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u C_ X) -> ((r e. RR+ /\ (A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) /\ x e. u)) -> ((yMx) + 1) <_ r))
183	182	3ad2antr1 1041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> ((r e. RR+ /\ (A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) /\ x e. u)) -> ((yMx) + 1) <_ r))
184	183	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ (r e. RR+ /\ (A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) /\ x e. u))) -> ((yMx) + 1) <_ r)
185	184	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ (A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) /\ x e. u)) -> ((yMx) + 1) <_ r)
186	185	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ x e. u) -> ((yMx) + 1) <_ r)
187	6	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ((M e. Met /\ x e. X /\ z e. X) -> (xMz) e. RR)
188	187	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- (((M e. Met /\ x e. X) /\ z e. X) -> (xMz) e. RR)
189	188	adantllr 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ z e. X) -> (xMz) e. RR)
190	18	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ z e. X) -> 1 e. RR)
191	128	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) -> (yMx) e. RR)
192	191	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ z e. X) -> (yMx) e. RR)
193		ltadd2 6807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- (((xMz) e. RR /\ 1 e. RR /\ (yMx) e. RR) -> ((xMz) < 1 <-> ((yMx) + (xMz)) < ((yMx) + 1)))
194	189, 190, 192, 193	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ z e. X) -> ((xMz) < 1 <-> ((yMx) + (xMz)) < ((yMx) + 1)))
195	194	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ z e. X) -> ((xMz) < 1 -> ((yMx) + (xMz)) < ((yMx) + 1)))
196	195	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> ((xMz) < 1 -> ((yMx) + (xMz)) < ((yMx) + 1)))
197	191	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> (yMx) e. RR)
198	189	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> (xMz) e. RR)
199		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- (((yMx) e. RR /\ (xMz) e. RR) -> ((yMx) + (xMz)) e. RR)
200	197, 198, 199	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> ((yMx) + (xMz)) e. RR)
201		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- (((yMx) e. RR /\ 1 e. RR) -> ((yMx) + 1) e. RR)
202	201, 192, 18	sylancl 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ z e. X) -> ((yMx) + 1) e. RR)
203	202	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> ((yMx) + 1) e. RR)
204	165	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> r e. RR)
205		ltletr 6694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ((((yMx) + (xMz)) e. RR /\ ((yMx) + 1) e. RR /\ r e. RR) -> ((((yMx) + (xMz)) < ((yMx) + 1) /\ ((yMx) + 1) <_ r) -> ((yMx) + (xMz)) < r))
206	200, 203, 204, 205	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> ((((yMx) + (xMz)) < ((yMx) + 1) /\ ((yMx) + 1) <_ r) -> ((yMx) + (xMz)) < r))
207	6	mettri 9094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ((M e. Met /\ (y e. X /\ z e. X /\ x e. X)) -> (yMz) <_ ((yMx) + (xMz)))
208	207	3exp2 1086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- (M e. Met -> (y e. X -> (z e. X -> (x e. X -> (yMz) <_ ((yMx) + (xMz))))))
209	208	imp41 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ z e. X) /\ x e. X) -> (yMz) <_ ((yMx) + (xMz)))
210	209	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ z e. X) -> (yMz) <_ ((yMx) + (xMz)))
211	210	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> (yMz) <_ ((yMx) + (xMz)))
212	6	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ((M e. Met /\ y e. X /\ z e. X) -> (yMz) e. RR)
213	212	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ z e. X) -> (yMz) e. RR)
214	213	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ z e. X) -> (yMz) e. RR)
215	214	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> (yMz) e. RR)
216		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- (((yMz) e. RR /\ ((yMx) + (xMz)) e. RR /\ r e. RR) -> (((yMz) <_ ((yMx) + (xMz)) /\ ((yMx) + (xMz)) < r) -> (yMz) < r))
217	215, 200, 204, 216	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> (((yMz) <_ ((yMx) + (xMz)) /\ ((yMx) + (xMz)) < r) -> (yMz) < r))
218	211, 217	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> (((yMx) + (xMz)) < r -> (yMz) < r))
219	206, 218	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> ((((yMx) + (xMz)) < ((yMx) + 1) /\ ((yMx) + 1) <_ r) -> (yMz) < r))
220	219	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> (((yMx) + (xMz)) < ((yMx) + 1) -> (((yMx) + 1) <_ r -> (yMz) < r)))
221	196, 220	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> ((xMz) < 1 -> (((yMx) + 1) <_ r -> (yMz) < r)))
222	221	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) /\ z e. X) -> (((yMx) + 1) <_ r -> ((xMz) < 1 -> (yMz) < r)))
223	222	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) -> (z e. X -> (((yMx) + 1) <_ r -> ((xMz) < 1 -> (yMz) < r))))
224	223	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) -> (((yMx) + 1) <_ r -> (z e. X -> ((xMz) < 1 -> (yMz) < r))))
225	224	adantllr 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ x e. X) /\ r e. RR+) -> (((yMx) + 1) <_ r -> (z e. X -> ((xMz) < 1 -> (yMz) < r))))
226	141	3ad2antl1 1038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (((u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1)) /\ x e. u) -> x e. X)
227	226	anim2i 362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ ((u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1)) /\ x e. u)) -> (((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ x e. X))
228	227	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ x e. u) -> (((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ x e. X))
229	225, 228	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ x e. u) /\ r e. RR+) -> (((yMx) + 1) <_ r -> (z e. X -> ((xMz) < 1 -> (yMz) < r))))
230	229	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ x e. u) -> (((yMx) + 1) <_ r -> (z e. X -> ((xMz) < 1 -> (yMz) < r))))
231	230	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ x e. u) -> (((yMx) + 1) <_ r -> (z e. X -> ((xMz) < 1 -> (yMz) < r))))
232	186, 231	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ x e. u) -> (z e. X -> ((xMz) < 1 -> (yMz) < r)))
233	232	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ t e. v) /\ x e. u) -> (z e. X -> ((xMz) < 1 -> (yMz) < r)))
234	233	imdistand 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ t e. v) /\ x e. u) -> ((z e. X /\ (xMz) < 1) -> (z e. X /\ (yMz) < r)))
235	6	elbl 9115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (((M e. Met /\ x e. X) /\ (1 e. RR /\ 0 < 1)) -> (z e. (x( ball ` M)1) <-> (z e. X /\ (xMz) < 1)))
236	18, 21, 235	mpanr12 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ((M e. Met /\ x e. X) -> (z e. (x( ball ` M)1) <-> (z e. X /\ (xMz) < 1)))
237	236	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ x e. X) -> (z e. (x( ball ` M)1) <-> (z e. X /\ (xMz) < 1)))
238	237	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ x e. X) -> (z e. (x( ball ` M)1) <-> (z e. X /\ (xMz) < 1)))
239	238, 226	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ ((u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1)) /\ x e. u)) -> (z e. (x( ball ` M)1) <-> (z e. X /\ (xMz) < 1)))
240	239	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ x e. u) -> (z e. (x( ball ` M)1) <-> (z e. X /\ (xMz) < 1)))
241	240	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ x e. u) -> (z e. (x( ball ` M)1) <-> (z e. X /\ (xMz) < 1)))
242	241	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ x e. u) -> (z e. (x( ball ` M)1) <-> (z e. X /\ (xMz) < 1)))
243	242	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ t e. v) /\ x e. u) -> (z e. (x( ball ` M)1) <-> (z e. X /\ (xMz) < 1)))
244	6	elbl 9115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> (z e. (y( ball ` M)r) <-> (z e. X /\ (yMz) < r)))
245		elrp 7233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (r e. RR+ <-> (r e. RR /\ 0 < r))
246	244, 245	sylan2b 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ r e. RR+) -> (z e. (y( ball ` M)r) <-> (z e. X /\ (yMz) < r)))
247	246	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ r e. RR+) -> (z e. (y( ball ` M)r) <-> (z e. X /\ (yMz) < r)))
248	247	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) -> (z e. (y( ball ` M)r) <-> (z e. X /\ (yMz) < r)))
249	248	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) -> (z e. (y( ball ` M)r) <-> (z e. X /\ (yMz) < r)))
250	249	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ t e. v) /\ x e. u) -> (z e. (y( ball ` M)r) <-> (z e. X /\ (yMz) < r)))
251	234, 243, 250	3imtr4d 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ t e. v) /\ x e. u) -> (z e. (x( ball ` M)1) -> z e. (y( ball ` M)r)))
252		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (t = (x( ball ` M)1) -> (z e. t <-> z e. (x( ball ` M)1)))
253	252	biimpa 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((t = (x( ball ` M)1) /\ z e. t) -> z e. (x( ball ` M)1))
254	251, 253	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ t e. v) /\ x e. u) -> ((t = (x( ball ` M)1) /\ z e. t) -> z e. (y( ball ` M)r)))
255	254	exp4b 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ t e. v) -> (x e. u -> (t = (x( ball ` M)1) -> (z e. t -> z e. (y( ball ` M)r)))))
256	120, 121, 255	r19.23ad 2213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ t e. v) -> (E.x e. u t = (x( ball ` M)1) -> (z e. t -> z e. (y( ball ` M)r))))
257	106, 256	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) /\ t e. v) -> (z e. t -> z e. (y( ball ` M)r)))
258	257	r19.23adva 2216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) -> (E.t e. v z e. t -> z e. (y( ball ` M)r)))
259	99, 258	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) -> (z e. X -> z e. (y( ball ` M)r)))
260	6	blssm 9127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> (y( ball ` M)r) C_ X)
261	260, 245	sylan2b 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ r e. RR+) -> (y( ball ` M)r) C_ X)
262	261	sseld 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ r e. RR+) -> (z e. (y( ball ` M)r) -> z e. X))
263	262	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ r e. RR+) -> (z e. (y( ball ` M)r) -> z e. X))
264	263	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) -> (z e. (y( ball ` M)r) -> z e. X))
265	264	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) -> (z e. (y( ball ` M)r) -> z e. X))
266	259, 265	impbid 574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) -> (z e. X <-> z e. (y( ball ` M)r)))
267	266	eqrdv 1882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) /\ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)) -> X = (y( ball ` M)r))
268	267	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) -> (A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) -> X = (y( ball ` M)r)))
269	268	adantllr 433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) /\ r e. RR+) -> (A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) -> X = (y( ball ` M)r)))
270	269	reximdva 2203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> (E.r e. RR+ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) -> E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)))
271		ssrexv 2673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} C_ RR+ -> (E.r e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) -> E.r e. RR+ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r)))
272	86, 271	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.r e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) -> E.r e. RR+ A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r))
273	270, 272	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> (E.r e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)}A.s e. {a e. RR+ | E.c e. u a = ((yMc) + 1)} (r =/= s -> s < r) -> E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)))
274	93, 273	mpd 29	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) /\ (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r))
275	274	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ u e. Fin) -> ((u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1)) -> E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)))
276	275	r19.23adva 2216	. . . . . . . . . . 11 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) -> (E.u e. Fin (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1)) -> E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)))
277	276	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ U.v = X) /\ E.u e. Fin (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r))
278	277	adantllr 433	. . . . . . . . 9 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ v e. Fin) /\ U.v = X) /\ E.u e. Fin (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r))
279	278	adantlrr 435	. . . . . . . 8 |- (((((M e. Met /\ y e. X) /\ v e. Fin) /\ (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1))) /\ E.u e. Fin (u C_ X /\ A.b e. v E.x e. u b = (x( ball ` M)1) /\ A.x e. u E.b e. v b = (x( ball ` M)1))) -> E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r))
280	12, 279	mpdan 768	. . . . . . 7 |- ((((M e. Met /\ y e. X) /\ v e. Fin) /\ (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1))) -> E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r))
281	280	ex 402	. . . . . 6 |- (((M e. Met /\ y e. X) /\ v e. Fin) -> ((U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1)) -> E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)))
282	281	r19.23adva 2216	. . . . 5 |- ((M e. Met /\ y e. X) -> (E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1)) -> E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)))
283		1rp 7235	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
284		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- (d = 1 -> (x( ball ` M)d) = (x( ball ` M)1))
285	284	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . 11 |- (d = 1 -> (b = (x( ball ` M)d) <-> b = (x( ball ` M)1)))
286	285	rexbidv 2124	. . . . . . . . . 10 |- (d = 1 -> (E.x e. X b = (x( ball ` M)d) <-> E.x e. X b = (x( ball ` M)1)))
287	286	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (d = 1 -> (A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d) <-> A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1)))
288	287	anbi2d 678	. . . . . . . 8 |- (d = 1 -> ((U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d)) <-> (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1))))
289	288	rexbidv 2124	. . . . . . 7 |- (d = 1 -> (E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d)) <-> E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1))))
290	289	rcla4v 2376	. . . . . 6 |- (1 e. RR+ -> (A.d e. RR+ E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d)) -> E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1))))
291	283, 290	ax-mp 7	. . . . 5 |- (A.d e. RR+ E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d)) -> E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)1)))
292	282, 291	syl5 20	. . . 4 |- ((M e. Met /\ y e. X) -> (A.d e. RR+ E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d)) -> E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)))
293	292	r19.21adva 2182	. . 3 |- (M e. Met -> (A.d e. RR+ E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d)) -> A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)))
294	6	istotbnd2 15934	. . 3 |- (M e. Met -> (M e. TotBnd <-> A.d e. RR+ E.v e. Fin (U.v = X /\ A.b e. v E.x e. X b = (x( ball ` M)d))))
295	6	isbnd2 15940	. . 3 |- (M e. Met -> (M e. Bnd <-> A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)))
296	293, 294, 295	3imtr4d 602	. 2 |- (M e. Met -> (M e. TotBnd -> M e. Bnd))
297	1, 296	mpcom 60	1 |- (M e. TotBnd -> M e. Bnd)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  {copab 3395   Or wor 3590  dom cdm 3986  ran crn 3987   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   ~<_ cdom 5424  Fincfn 5426  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  RR+crp 6453   < clt 6653  Metcme 9066   ball cbl 9068  TotBndctotbnd 15930  Bndcbnd 15931

This theorem is referenced by:  heiborlem41 15995  rrntotbnd 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-2 7154  df-rp 7232  df-met 9070  df-bl 9072  df-totbnd 15932  df-bnd 15938

Copyright terms: Public domain