Theorem tostos 14637

Description: Any subset of a totally ordered set is totally ordered.

Assertion

Ref	Expression
tostos	|- (R e. Toset -> (R i^i (A X. A)) e. Toset )

Proof of Theorem tostos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . 5 |- U.U.R = U.U.R
2	1	istoset 10209	. . . 4 |- (R e. Toset -> (R e. Toset <-> (R e. Poset /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx))))
3	2	biimpd 170	. . 3 |- (R e. Toset -> (R e. Toset -> (R e. Poset /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx))))
4		pospos 14635	. . . . . . 7 |- (R e. Poset -> (R i^i (A X. A)) e. Poset)
5		uuniin 14405	. . . . . . . . . 10 |- U.U.(R i^i (A X. A)) C_ (U.U.R i^i U.U.(A X. A))
6		ssel2 2616	. . . . . . . . . . 11 |- ((U.U.(R i^i (A X. A)) C_ (U.U.R i^i U.U.(A X. A)) /\ x e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> x e. (U.U.R i^i U.U.(A X. A)))
7		elin 2786	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. (U.U.R i^i U.U.(A X. A)) <-> (x e. U.U.R /\ x e. U.U.(A X. A)))
8		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. U.U.R -> A.y x e. U.U.R)
9		hbra1 2147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx) -> A.yA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx))
10	8, 9	hbim 1354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> A.y(x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)))
11		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. U.U.(A X. A) -> A.y x e. U.U.(A X. A))
12	8, 10, 11	hb3an 1359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) -> A.y(x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)))
13		pm2.27 76	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (x e. U.U.R -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)))
14		ra4 2155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx) -> (y e. U.U.R -> (xRy \/ yRx)))
15	14	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx) -> (x e. U.U.(A X. A) -> (y e. U.U.R -> (xRy \/ yRx))))
16	13, 15	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x e. U.U.R -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> (x e. U.U.(A X. A) -> (y e. U.U.R -> (xRy \/ yRx)))))
17	16	3imp 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) -> (y e. U.U.R -> (xRy \/ yRx)))
18	5	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. U.U.(R i^i (A X. A)) -> y e. (U.U.R i^i U.U.(A X. A)))
19		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (y e. (U.U.R i^i U.U.(A X. A)) <-> (y e. U.U.R /\ y e. U.U.(A X. A)))
20	19	simplbi 349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. (U.U.R i^i U.U.(A X. A)) -> y e. U.U.R)
21	18, 20	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (y e. U.U.(R i^i (A X. A)) -> y e. U.U.R)
22	17, 21	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) -> (y e. U.U.(R i^i (A X. A)) -> (xRy \/ yRx)))
23	22	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) /\ y e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> (xRy \/ yRx))
24		fldsqcp2 14378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- U.U.(A X. A) = A
25	24	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (x e. U.U.(A X. A) <-> x e. A)
26	25	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x e. U.U.(A X. A) -> x e. A)
27	26	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) -> x e. A)
28	24	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (y e. U.U.(A X. A) <-> y e. A)
29	28	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (y e. U.U.(A X. A) -> y e. A)
30	29	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((y e. U.U.R /\ y e. U.U.(A X. A)) -> y e. A)
31	19, 30	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. (U.U.R i^i U.U.(A X. A)) -> y e. A)
32	18, 31	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (y e. U.U.(R i^i (A X. A)) -> y e. A)
33	27, 32	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) /\ y e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> (x e. A /\ y e. A))
34		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- y e. _V
35	34	brxp 4038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x(A X. A)y <-> (x e. A /\ y e. A))
36	33, 35	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) /\ y e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> x(A X. A)y)
37	23, 36	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) /\ y e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> ((xRy \/ yRx) /\ x(A X. A)y))
38		andir 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((xRy \/ yRx) /\ x(A X. A)y) <-> ((xRy /\ x(A X. A)y) \/ (yRx /\ x(A X. A)y)))
39	37, 38	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) /\ y e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> ((xRy /\ x(A X. A)y) \/ (yRx /\ x(A X. A)y)))
40		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- x e. _V
41		sqpeq 14383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- Er (A X. A)
42	40, 34, 41	ersymb 5331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x(A X. A)y <-> y(A X. A)x)
43	42	anbi2i 538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((yRx /\ x(A X. A)y) <-> (yRx /\ y(A X. A)x))
44	43	orbi2i 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((xRy /\ x(A X. A)y) \/ (yRx /\ x(A X. A)y)) <-> ((xRy /\ x(A X. A)y) \/ (yRx /\ y(A X. A)x)))
45	39, 44	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) /\ y e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> ((xRy /\ x(A X. A)y) \/ (yRx /\ y(A X. A)x)))
46		brin 3388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x(R i^i (A X. A))y <-> (xRy /\ x(A X. A)y))
47		brin 3388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y(R i^i (A X. A))x <-> (yRx /\ y(A X. A)x))
48	46, 47	orbi12i 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x) <-> ((xRy /\ x(A X. A)y) \/ (yRx /\ y(A X. A)x)))
49	45, 48	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) /\ y e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> (x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x))
50	49	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) -> (y e. U.U.(R i^i (A X. A)) -> (x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
51	12, 50	r19.21ai 2174	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x))
52	51	3exp 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. U.U.R -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> (x e. U.U.(A X. A) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x))))
53	52	com23 36	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. U.U.R -> (x e. U.U.(A X. A) -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x))))
54	53	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. U.U.R /\ x e. U.U.(A X. A)) -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
55	7, 54	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. (U.U.R i^i U.U.(A X. A)) -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
56	6, 55	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((U.U.(R i^i (A X. A)) C_ (U.U.R i^i U.U.(A X. A)) /\ x e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
57	5, 56	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- (x e. U.U.(R i^i (A X. A)) -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
58	57	com12 14	. . . . . . . 8 |- ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> (x e. U.U.(R i^i (A X. A)) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
59	58	ralimi2 2165	. . . . . . 7 |- (A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx) -> A.x e. U.U.(R i^i (A X. A))A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x))
60	4, 59	anim12i 360	. . . . . 6 |- ((R e. Poset /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> ((R i^i (A X. A)) e. Poset /\ A.x e. U.U.(R i^i (A X. A))A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
61	60	adantr 425	. . . . 5 |- (((R e. Poset /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ R e. Toset ) -> ((R i^i (A X. A)) e. Poset /\ A.x e. U.U.(R i^i (A X. A))A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
62		inex1g 3454	. . . . . . 7 |- (R e. Poset -> (R i^i (A X. A)) e. _V)
63	62	ad2antrr 440	. . . . . 6 |- (((R e. Poset /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ R e. Toset ) -> (R i^i (A X. A)) e. _V)
64		eqid 1884	. . . . . . 7 |- U.U.(R i^i (A X. A)) = U.U.(R i^i (A X. A))
65	64	istoset 10209	. . . . . 6 |- ((R i^i (A X. A)) e. _V -> ((R i^i (A X. A)) e. Toset <-> ((R i^i (A X. A)) e. Poset /\ A.x e. U.U.(R i^i (A X. A))A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x))))
66	63, 65	syl 12	. . . . 5 |- (((R e. Poset /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ R e. Toset ) -> ((R i^i (A X. A)) e. Toset <-> ((R i^i (A X. A)) e. Poset /\ A.x e. U.U.(R i^i (A X. A))A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x))))
67	61, 66	mpbird 213	. . . 4 |- (((R e. Poset /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ R e. Toset ) -> (R i^i (A X. A)) e. Toset )
68	67	ex 402	. . 3 |- ((R e. Poset /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> (R e. Toset -> (R i^i (A X. A)) e. Toset ))
69	3, 68	syli 65	. 2 |- (R e. Toset -> (R e. Toset -> (R i^i (A X. A)) e. Toset ))
70	69	pm2.43i 78	1 |- (R e. Toset -> (R i^i (A X. A)) e. Toset )

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  Posetcps 9980   Toset ccha 10207

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-er 5318  df-ps 9984  df-toset 10208

Copyright terms: Public domain