MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tosso Structured version   Unicode version

Theorem tosso 15990
Description: Write the totally ordered set structure predicate in terms of the proper class strict order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tosso.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tosso.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tosso.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
Assertion
Ref Expression
tosso  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e. Toset  <->  (  .<  Or  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) ) )

Proof of Theorem tosso
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tosso.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 tosso.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 tosso.s . . . . . . . . 9  |-  .<  =  ( lt `  K )
41, 2, 3pleval2 15919 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .<_  y  <->  ( x  .<  y  \/  x  =  y ) ) )
543expb 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  .<_  y  <->  ( x  .<  y  \/  x  =  y ) ) )
61, 2, 3pleval2 15919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  y  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  y  =  x ) ) )
7 equcom 1818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
87orbi2i 517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  .<  x  \/  y  =  x )  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y )
)
96, 8syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  y  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y ) ) )
1093com23 1203 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y ) ) )
11103expb 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y ) ) )
125, 11orbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) ) )
13 df-3or 975 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  y  .<  x )
)
14 or32 525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .<  y  \/  x  =  y
)  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y ) )
15 orordir 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y )  <->  ( ( x 
.<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) )
1614, 15bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .<  y  \/  x  =  y
)  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) )
1713, 16bitri 249 . . . . . 6  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) )
1812, 17syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
19182ralbidva 2846 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
2019pm5.32i 635 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) )  <->  ( K  e.  Poset  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
211, 2, 3pospo 15927 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e.  Poset  <->  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  ) ) )
2221anbi1d 703 . . 3  |-  ( K  e.  V  ->  (
( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )
)  <->  ( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) ) )
2320, 22syl5bb 257 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  (
( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
)  <->  ( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) ) )
241, 2istos 15989 . 2  |-  ( K  e. Toset 
<->  ( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
25 df-so 4745 . . . 4  |-  (  .<  Or  B  <->  (  .<  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )
) )
2625anbi1i 693 . . 3  |-  ( ( 
.<  Or  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  <->  ( (  .<  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) )  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )
27 an32 799 . . 3  |-  ( ( (  .<  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )
)  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  <-> 
( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
2826, 27bitri 249 . 2  |-  ( ( 
.<  Or  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  <->  ( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
2923, 24, 283bitr4g 288 1  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e. Toset  <->  (  .<  Or  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    \/ w3o 973    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754    C_ wss 3414   class class class wbr 4395    _I cid 4733    Po wpo 4742    Or wor 4743    |` cres 4825   ` cfv 5569   Basecbs 14841   lecple 14916   Posetcpo 15893   ltcplt 15894  Tosetctos 15987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-res 4835  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-toset 15988
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  18469  opsrso  18471  retos  18952  toslub  28108  tosglb  28110  orngsqr  28247
  Copyright terms: Public domain W3C validator