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Theorem toslublem 27892
Description: Lemma for toslub 27893 and xrsclat 27905. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
toslub.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
toslub.l  |-  .<  =  ( lt `  K )
toslub.1  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
toslub.2  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
toslub.e  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
toslublem  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  b  .<_  a  /\  A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  b  .<_  c  ->  a  .<_  c ) )  <->  ( A. b  e.  A  -.  a  .<  b  /\  A. b  e.  B  (
b  .<  a  ->  E. d  e.  A  b  .<  d ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d,  .<    A, a, b, c, d    B, a, b, c, d    K, a, b, c    ph, a,
b, c
Allowed substitution hints:    ph( d)    K( d)   
.<_ ( a, b, c, d)

Proof of Theorem toslublem
StepHypRef Expression
1 toslub.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
21ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  K  e. Toset )
3 simplr 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  a  e.  B )
4 toslub.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
54adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  A  C_  B )
65sselda 3489 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  B )
7 toslub.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 toslub.e . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 toslub.l . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  K )
107, 8, 9tltnle 27887 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Toset  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
a  .<  b  <->  -.  b  .<_  a ) )
112, 3, 6, 10syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  (
a  .<  b  <->  -.  b  .<_  a ) )
1211con2bid 327 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  (
b  .<_  a  <->  -.  a  .<  b ) )
1312ralbidva 2890 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  b  .<_  a  <->  A. b  e.  A  -.  a  .<  b ) )
144ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  A  C_  B )
15 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  A )
1614, 15sseldd 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  B )
177, 8, 9tltnle 27887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e. Toset  /\  c  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
c  .<  b  <->  -.  b  .<_  c ) )
181, 17syl3an1 1259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  b  e.  B
)  ->  ( c  .<  b  <->  -.  b  .<_  c ) )
19183expa 1194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
c  .<  b  <->  -.  b  .<_  c ) )
2019con2bid 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
b  .<_  c  <->  -.  c  .<  b ) )
2116, 20syldan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  (
b  .<_  c  <->  -.  c  .<  b ) )
2221ralbidva 2890 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  b  .<_  c  <->  A. b  e.  A  -.  c  .<  b ) )
23 breq2 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  d  ->  (
c  .<  b  <->  c  .<  d ) )
2423notbid 292 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  d  ->  ( -.  c  .<  b  <->  -.  c  .<  d ) )
2524cbvralv 3081 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  A  -.  c  .<  b  <->  A. d  e.  A  -.  c  .<  d )
26 ralnex 2900 . . . . . . . . 9  |-  ( A. d  e.  A  -.  c  .<  d  <->  -.  E. d  e.  A  c  .<  d )
2725, 26bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( A. b  e.  A  -.  c  .<  b  <->  -.  E. d  e.  A  c  .<  d )
2822, 27syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  b  .<_  c  <->  -.  E. d  e.  A  c  .<  d ) )
2928adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  b  .<_  c  <->  -.  E. d  e.  A  c  .<  d ) )
301ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  K  e. Toset )
31 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  c  e.  B )
32 simplr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  a  e.  B )
337, 8, 9tltnle 27887 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e. Toset  /\  c  e.  B  /\  a  e.  B )  ->  (
c  .<  a  <->  -.  a  .<_  c ) )
3430, 31, 32, 33syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
c  .<  a  <->  -.  a  .<_  c ) )
3534con2bid 327 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
a  .<_  c  <->  -.  c  .<  a ) )
3629, 35imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  b  .<_  c  -> 
a  .<_  c )  <->  ( -.  E. d  e.  A  c 
.<  d  ->  -.  c  .<  a ) ) )
37 con34b 290 . . . . 5  |-  ( ( c  .<  a  ->  E. d  e.  A  c 
.<  d )  <->  ( -.  E. d  e.  A  c 
.<  d  ->  -.  c  .<  a ) )
3836, 37syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  b  .<_  c  -> 
a  .<_  c )  <->  ( c  .<  a  ->  E. d  e.  A  c  .<  d ) ) )
3938ralbidva 2890 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  b  .<_  c  ->  a  .<_  c )  <->  A. c  e.  B  ( c  .<  a  ->  E. d  e.  A  c  .<  d ) ) )
40 breq1 4442 . . . . 5  |-  ( b  =  c  ->  (
b  .<  a  <->  c  .<  a ) )
41 breq1 4442 . . . . . 6  |-  ( b  =  c  ->  (
b  .<  d  <->  c  .<  d ) )
4241rexbidv 2965 . . . . 5  |-  ( b  =  c  ->  ( E. d  e.  A  b  .<  d  <->  E. d  e.  A  c  .<  d ) )
4340, 42imbi12d 318 . . . 4  |-  ( b  =  c  ->  (
( b  .<  a  ->  E. d  e.  A  b  .<  d )  <->  ( c  .<  a  ->  E. d  e.  A  c  .<  d ) ) )
4443cbvralv 3081 . . 3  |-  ( A. b  e.  B  (
b  .<  a  ->  E. d  e.  A  b  .<  d )  <->  A. c  e.  B  ( c  .<  a  ->  E. d  e.  A  c  .<  d ) )
4539, 44syl6bbr 263 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  b  .<_  c  ->  a  .<_  c )  <->  A. b  e.  B  ( b  .<  a  ->  E. d  e.  A  b  .<  d ) ) )
4613, 45anbi12d 708 1  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  b  .<_  a  /\  A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  b  .<_  c  ->  a  .<_  c ) )  <->  ( A. b  e.  A  -.  a  .<  b  /\  A. b  e.  B  (
b  .<  a  ->  E. d  e.  A  b  .<  d ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   Basecbs 14719   lecple 14794   ltcplt 15772  Tosetctos 15865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-preset 15759  df-poset 15777  df-plt 15790  df-toset 15866
This theorem is referenced by:  toslub  27893  xrsclat  27905
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