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Theorem toslublem 27479
Description: Lemma for toslub 27480 and xrsclat 27492. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
toslub.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
toslub.l  |-  .<  =  ( lt `  K )
toslub.1  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
toslub.2  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
toslub.e  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
toslublem  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  b  .<_  a  /\  A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  b  .<_  c  ->  a  .<_  c ) )  <->  ( A. b  e.  A  -.  a  .<  b  /\  A. b  e.  B  (
b  .<  a  ->  E. d  e.  A  b  .<  d ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d,  .<    A, a, b, c, d    B, a, b, c, d    K, a, b, c    ph, a,
b, c
Allowed substitution hints:    ph( d)    K( d)   
.<_ ( a, b, c, d)

Proof of Theorem toslublem
StepHypRef Expression
1 toslub.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
21ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  K  e. Toset )
3 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  a  e.  B )
4 toslub.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  A  C_  B )
65sselda 3509 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  B )
7 toslub.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 toslub.e . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 toslub.l . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  K )
107, 8, 9tltnle 27474 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Toset  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
a  .<  b  <->  -.  b  .<_  a ) )
112, 3, 6, 10syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  (
a  .<  b  <->  -.  b  .<_  a ) )
1211con2bid 329 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  (
b  .<_  a  <->  -.  a  .<  b ) )
1312ralbidva 2903 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  b  .<_  a  <->  A. b  e.  A  -.  a  .<  b ) )
14 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  ph )
15 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  c  e.  B )
1614, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  A  C_  B )
17 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  A )
1816, 17sseldd 3510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  B )
197, 8, 9tltnle 27474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e. Toset  /\  c  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
c  .<  b  <->  -.  b  .<_  c ) )
201, 19syl3an1 1261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  b  e.  B
)  ->  ( c  .<  b  <->  -.  b  .<_  c ) )
21203expa 1196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
c  .<  b  <->  -.  b  .<_  c ) )
2221con2bid 329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
b  .<_  c  <->  -.  c  .<  b ) )
2314, 15, 18, 22syl21anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  (
b  .<_  c  <->  -.  c  .<  b ) )
2423ralbidva 2903 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  b  .<_  c  <->  A. b  e.  A  -.  c  .<  b ) )
25 breq2 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  d  ->  (
c  .<  b  <->  c  .<  d ) )
2625notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  d  ->  ( -.  c  .<  b  <->  -.  c  .<  d ) )
2726cbvralv 3093 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  A  -.  c  .<  b  <->  A. d  e.  A  -.  c  .<  d )
28 ralnex 2913 . . . . . . . . 9  |-  ( A. d  e.  A  -.  c  .<  d  <->  -.  E. d  e.  A  c  .<  d )
2927, 28bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( A. b  e.  A  -.  c  .<  b  <->  -.  E. d  e.  A  c  .<  d )
3024, 29syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  b  .<_  c  <->  -.  E. d  e.  A  c  .<  d ) )
3130adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  b  .<_  c  <->  -.  E. d  e.  A  c  .<  d ) )
321ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  K  e. Toset )
33 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  c  e.  B )
34 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  a  e.  B )
357, 8, 9tltnle 27474 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e. Toset  /\  c  e.  B  /\  a  e.  B )  ->  (
c  .<  a  <->  -.  a  .<_  c ) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
c  .<  a  <->  -.  a  .<_  c ) )
3736con2bid 329 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
a  .<_  c  <->  -.  c  .<  a ) )
3831, 37imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  b  .<_  c  -> 
a  .<_  c )  <->  ( -.  E. d  e.  A  c 
.<  d  ->  -.  c  .<  a ) ) )
39 con34b 292 . . . . 5  |-  ( ( c  .<  a  ->  E. d  e.  A  c 
.<  d )  <->  ( -.  E. d  e.  A  c 
.<  d  ->  -.  c  .<  a ) )
4038, 39syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  b  .<_  c  -> 
a  .<_  c )  <->  ( c  .<  a  ->  E. d  e.  A  c  .<  d ) ) )
4140ralbidva 2903 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  b  .<_  c  ->  a  .<_  c )  <->  A. c  e.  B  ( c  .<  a  ->  E. d  e.  A  c  .<  d ) ) )
42 breq1 4456 . . . . 5  |-  ( b  =  c  ->  (
b  .<  a  <->  c  .<  a ) )
43 breq1 4456 . . . . . 6  |-  ( b  =  c  ->  (
b  .<  d  <->  c  .<  d ) )
4443rexbidv 2978 . . . . 5  |-  ( b  =  c  ->  ( E. d  e.  A  b  .<  d  <->  E. d  e.  A  c  .<  d ) )
4542, 44imbi12d 320 . . . 4  |-  ( b  =  c  ->  (
( b  .<  a  ->  E. d  e.  A  b  .<  d )  <->  ( c  .<  a  ->  E. d  e.  A  c  .<  d ) ) )
4645cbvralv 3093 . . 3  |-  ( A. b  e.  B  (
b  .<  a  ->  E. d  e.  A  b  .<  d )  <->  A. c  e.  B  ( c  .<  a  ->  E. d  e.  A  c  .<  d ) )
4741, 46syl6bbr 263 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  b  .<_  c  ->  a  .<_  c )  <->  A. b  e.  B  ( b  .<  a  ->  E. d  e.  A  b  .<  d ) ) )
4813, 47anbi12d 710 1  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  b  .<_  a  /\  A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  b  .<_  c  ->  a  .<_  c ) )  <->  ( A. b  e.  A  -.  a  .<  b  /\  A. b  e.  B  (
b  .<  a  ->  E. d  e.  A  b  .<  d ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594   Basecbs 14507   lecple 14579   ltcplt 15445  Tosetctos 15537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-poset 15450  df-plt 15462  df-toset 15538
This theorem is referenced by:  toslub  27480  xrsclat  27492
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