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Theorem tosglb 24145
Description: Same theorem as toslub 24144, for infinimum. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tosglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tosglb.l  |-  .<  =  ( lt `  K )
tosglb.1  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
tosglb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
tosglb.3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  B  ( A. b  e.  A  -.  b  .<  a  /\  A. b  e.  B  ( a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d 
.<  b ) ) )
Assertion
Ref Expression
tosglb  |-  ( ph  ->  ( ( glb `  K
) `  A )  =  sup ( A ,  B ,  `'  .<  ) )
Distinct variable groups:    a, b,
d,  .<    A, a, b, d    B, a, b, d    K, a, b    ph, a, b
Allowed substitution hints:    ph( d)    K( d)

Proof of Theorem tosglb
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tosglb.1 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
2 tosglb.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
3 tosglb.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 eqid 2404 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
5 eqid 2404 . . . 4  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
63, 4, 5glbval 14396 . . 3  |-  ( ( K  e. Toset  /\  A  C_  B )  ->  (
( glb `  K
) `  A )  =  ( iota_ a  e.  B ( A. b  e.  A  a ( le `  K ) b  /\  A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  c ( le `  K ) b  ->  c ( le
`  K ) a ) ) ) )
71, 2, 6syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( glb `  K
) `  A )  =  ( iota_ a  e.  B ( A. b  e.  A  a ( le `  K ) b  /\  A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  c ( le `  K ) b  ->  c ( le
`  K ) a ) ) ) )
81ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  K  e. Toset )
92adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  A  C_  B )
109sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  B )
11 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  a  e.  B )
12 tosglb.l . . . . . . . . . 10  |-  .<  =  ( lt `  K )
133, 4, 12tltnle 24143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e. Toset  /\  b  e.  B  /\  a  e.  B )  ->  (
b  .<  a  <->  -.  a
( le `  K
) b ) )
148, 10, 11, 13syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  (
b  .<  a  <->  -.  a
( le `  K
) b ) )
1514con2bid 320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  (
a ( le `  K ) b  <->  -.  b  .<  a ) )
1615ralbidva 2682 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  a ( le `  K ) b  <->  A. b  e.  A  -.  b  .<  a ) )
17 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  ph )
18 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  c  e.  B )
1917, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  A  C_  B )
20 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  A )
2119, 20sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  B )
223, 4, 12tltnle 24143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e. Toset  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  (
b  .<  c  <->  -.  c
( le `  K
) b ) )
231, 22syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  ->  ( b  .<  c  <->  -.  c ( le `  K ) b ) )
24233com23 1159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  b  e.  B
)  ->  ( b  .<  c  <->  -.  c ( le `  K ) b ) )
25243expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
b  .<  c  <->  -.  c
( le `  K
) b ) )
2625con2bid 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
c ( le `  K ) b  <->  -.  b  .<  c ) )
2717, 18, 21, 26syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  B )  /\  b  e.  A )  ->  (
c ( le `  K ) b  <->  -.  b  .<  c ) )
2827ralbidva 2682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  c ( le `  K ) b  <->  A. b  e.  A  -.  b  .<  c ) )
29 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  d  ->  (
b  .<  c  <->  d  .<  c ) )
3029notbid 286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  d  ->  ( -.  b  .<  c  <->  -.  d  .<  c ) )
3130cbvralv 2892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. b  e.  A  -.  b  .<  c  <->  A. d  e.  A  -.  d  .<  c )
32 ralnex 2676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. d  e.  A  -.  d  .<  c  <->  -.  E. d  e.  A  d  .<  c )
3331, 32bitri 241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. b  e.  A  -.  b  .<  c  <->  -.  E. d  e.  A  d  .<  c )
3428, 33syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  c ( le `  K ) b  <->  -.  E. d  e.  A  d  .<  c ) )
3534adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  ( A. b  e.  A  c ( le `  K ) b  <->  -.  E. d  e.  A  d  .<  c ) )
361ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  K  e. Toset )
37 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  a  e.  B )
38 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  c  e.  B )
393, 4, 12tltnle 24143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e. Toset  /\  a  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  (
a  .<  c  <->  -.  c
( le `  K
) a ) )
4036, 37, 38, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
a  .<  c  <->  -.  c
( le `  K
) a ) )
4140con2bid 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
c ( le `  K ) a  <->  -.  a  .<  c ) )
4235, 41imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  c ( le
`  K ) b  ->  c ( le
`  K ) a )  <->  ( -.  E. d  e.  A  d  .<  c  ->  -.  a  .<  c ) ) )
43 con34b 284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  .<  c  ->  E. d  e.  A  d 
.<  c )  <->  ( -.  E. d  e.  A  d 
.<  c  ->  -.  a  .<  c ) )
4442, 43syl6bbr 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  c  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  c ( le
`  K ) b  ->  c ( le
`  K ) a )  <->  ( a  .< 
c  ->  E. d  e.  A  d  .<  c ) ) )
4544ralbidva 2682 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  c ( le `  K ) b  -> 
c ( le `  K ) a )  <->  A. c  e.  B  ( a  .<  c  ->  E. d  e.  A  d  .<  c ) ) )
46 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  c  ->  (
a  .<  b  <->  a  .<  c ) )
47 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  c  ->  (
d  .<  b  <->  d  .<  c ) )
4847rexbidv 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  c  ->  ( E. d  e.  A  d  .<  b  <->  E. d  e.  A  d  .<  c ) )
4946, 48imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  c  ->  (
( a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d  .<  b )  <->  ( a  .<  c  ->  E. d  e.  A  d  .<  c ) ) )
5049cbvralv 2892 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  B  (
a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d  .<  b )  <->  A. c  e.  B  ( a  .<  c  ->  E. d  e.  A  d  .<  c ) )
5145, 50syl6bbr 255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  c ( le `  K ) b  -> 
c ( le `  K ) a )  <->  A. b  e.  B  ( a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d  .<  b ) ) )
5216, 51anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  a ( le
`  K ) b  /\  A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  c ( le `  K ) b  ->  c ( le
`  K ) a ) )  <->  ( A. b  e.  A  -.  b  .<  a  /\  A. b  e.  B  (
a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d  .<  b ) ) ) )
53 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  a  e. 
_V
54 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
55 brcnvg 5012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )  ->  ( a `'  .<  b  <-> 
b  .<  a ) )
5653, 54, 55mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( a `'  .<  b  <->  b  .<  a )
5756notbii 288 . . . . . . 7  |-  ( -.  a `'  .<  b  <->  -.  b  .<  a )
5857ralbii 2690 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  A  -.  a `'  .<  b  <->  A. b  e.  A  -.  b  .<  a )
59 brcnvg 5012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  _V  /\  a  e.  _V )  ->  ( b `'  .<  a  <-> 
a  .<  b ) )
6054, 53, 59mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( b `'  .<  a  <->  a  .<  b )
61 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  d  e. 
_V
62 brcnvg 5012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  _V  /\  d  e.  _V )  ->  ( b `'  .<  d  <-> 
d  .<  b ) )
6354, 61, 62mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( b `'  .<  d  <->  d  .<  b )
6463rexbii 2691 . . . . . . . 8  |-  ( E. d  e.  A  b `'  .<  d  <->  E. d  e.  A  d  .<  b )
6560, 64imbi12i 317 . . . . . . 7  |-  ( ( b `'  .<  a  ->  E. d  e.  A  b `'  .<  d )  <-> 
( a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d  .<  b ) )
6665ralbii 2690 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  B  (
b `'  .<  a  ->  E. d  e.  A  b `'  .<  d )  <->  A. b  e.  B  ( a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d  .<  b ) )
6758, 66anbi12i 679 . . . . 5  |-  ( ( A. b  e.  A  -.  a `'  .<  b  /\  A. b  e.  B  ( b `'  .<  a  ->  E. d  e.  A  b `'  .<  d ) )  <->  ( A. b  e.  A  -.  b  .<  a  /\  A. b  e.  B  ( a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d  .<  b ) ) )
6852, 67syl6bbr 255 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( A. b  e.  A  a ( le
`  K ) b  /\  A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  c ( le `  K ) b  ->  c ( le
`  K ) a ) )  <->  ( A. b  e.  A  -.  a `'  .<  b  /\  A. b  e.  B  ( b `'  .<  a  ->  E. d  e.  A  b `'  .<  d ) ) ) )
6968riotabidva 6525 . . 3  |-  ( ph  ->  ( iota_ a  e.  B
( A. b  e.  A  a ( le
`  K ) b  /\  A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  c ( le `  K ) b  ->  c ( le
`  K ) a ) ) )  =  ( iota_ a  e.  B
( A. b  e.  A  -.  a `' 
.<  b  /\  A. b  e.  B  ( b `'  .<  a  ->  E. d  e.  A  b `'  .<  d ) ) ) )
703, 4, 12tosso 14420 . . . . . . . 8  |-  ( K  e. Toset  ->  ( K  e. Toset  <->  ( 
.<  Or  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  ( le `  K ) ) ) )
7170ibi 233 . . . . . . 7  |-  ( K  e. Toset  ->  (  .<  Or  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  ( le `  K ) ) )
7271simpld 446 . . . . . 6  |-  ( K  e. Toset  ->  .<  Or  B )
73 cnvso 5370 . . . . . 6  |-  (  .<  Or  B  <->  `'  .<  Or  B
)
7472, 73sylib 189 . . . . 5  |-  ( K  e. Toset  ->  `'  .<  Or  B
)
751, 74syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  `'  .<  Or  B )
76 tosglb.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. a  e.  B  ( A. b  e.  A  -.  b  .<  a  /\  A. b  e.  B  ( a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d 
.<  b ) ) )
7767rexbii 2691 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  B  ( A. b  e.  A  -.  a `'  .<  b  /\  A. b  e.  B  ( b `'  .<  a  ->  E. d  e.  A  b `'  .<  d ) )  <->  E. a  e.  B  ( A. b  e.  A  -.  b  .<  a  /\  A. b  e.  B  ( a  .<  b  ->  E. d  e.  A  d 
.<  b ) ) )
7876, 77sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  e.  B  ( A. b  e.  A  -.  a `'  .<  b  /\  A. b  e.  B  ( b `'  .<  a  ->  E. d  e.  A  b `'  .<  d ) ) )
7975, 78supval2 7416 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  B ,  `'  .<  )  =  ( iota_ a  e.  B ( A. b  e.  A  -.  a `'  .<  b  /\  A. b  e.  B  (
b `'  .<  a  ->  E. d  e.  A  b `'  .<  d ) ) ) )
8069, 79eqtr4d 2439 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ a  e.  B
( A. b  e.  A  a ( le
`  K ) b  /\  A. c  e.  B  ( A. b  e.  A  c ( le `  K ) b  ->  c ( le
`  K ) a ) ) )  =  sup ( A ,  B ,  `'  .<  ) )
817, 80eqtrd 2436 1  |-  ( ph  ->  ( ( glb `  K
) `  A )  =  sup ( A ,  B ,  `'  .<  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    _I cid 4453    Or wor 4462   `'ccnv 4836    |` cres 4839   ` cfv 5413   iota_crio 6501   supcsup 7403   Basecbs 13424   lecple 13491   ltcplt 14353   glbcglb 14355  Tosetctos 14417
This theorem is referenced by:  xrsclat  24155  xrsp0  24156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6508  df-sup 7404  df-poset 14358  df-plt 14370  df-glb 14387  df-toset 14418
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