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Theorem torsubg 16325
Description: The set of all elements of finite order forms a subgroup of any abelian group, called the torsion subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
torsubg.1  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
torsubg  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( `' O " NN )  e.  (SubGrp `  G
) )

Proof of Theorem torsubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5182 . . . 4  |-  ( `' O " NN ) 
C_  dom  O
2 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3 torsubg.1 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
42, 3odf 16029 . . . . 5  |-  O :
( Base `  G ) --> NN0
54fdmi 5557 . . . 4  |-  dom  O  =  ( Base `  G
)
61, 5sseqtri 3381 . . 3  |-  ( `' O " NN ) 
C_  ( Base `  G
)
76a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( `' O " NN ) 
C_  ( Base `  G
) )
8 ablgrp 16271 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
9 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
102, 9grpidcl 15555 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
118, 10syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( 0g
`  G )  e.  ( Base `  G
) )
123, 9od1 16049 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( O `  ( 0g `  G ) )  =  1 )
138, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( O `
 ( 0g `  G ) )  =  1 )
14 1nn 10325 . . . . 5  |-  1  e.  NN
1513, 14syl6eqel 2525 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( O `
 ( 0g `  G ) )  e.  NN )
16 ffn 5552 . . . . . 6  |-  ( O : ( Base `  G
) --> NN0  ->  O  Fn  ( Base `  G )
)
174, 16ax-mp 5 . . . . 5  |-  O  Fn  ( Base `  G )
18 elpreima 5816 . . . . 5  |-  ( O  Fn  ( Base `  G
)  ->  ( ( 0g `  G )  e.  ( `' O " NN )  <->  ( ( 0g
`  G )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  ( 0g `  G
) )  e.  NN ) ) )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  ( `' O " NN )  <->  ( ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  ( 0g `  G
) )  e.  NN ) )
2011, 15, 19sylanbrc 664 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( 0g
`  G )  e.  ( `' O " NN ) )
21 ne0i 3636 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  ( `' O " NN )  ->  ( `' O " NN )  =/=  (/) )
2220, 21syl 16 . 2  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( `' O " NN )  =/=  (/) )
238ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  G  e.  Grp )
246sseli 3345 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' O " NN )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
2524ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
266sseli 3345 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( `' O " NN )  ->  y  e.  ( Base `  G
) )
2726adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  y  e.  ( Base `  G
) )
28 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
292, 28grpcl 15540 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
3023, 25, 27, 29syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
31 0nnn 10345 . . . . . . . . 9  |-  -.  0  e.  NN
322, 3odcl 16028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( Base `  G
)  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
3325, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
3433nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  x )  e.  ZZ )
352, 3odcl 16028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( Base `  G
)  ->  ( O `  y )  e.  NN0 )
3627, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  y )  e.  NN0 )
3736nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  y )  e.  ZZ )
3834, 37gcdcld 13694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( O `  x
)  gcd  ( O `  y ) )  e. 
NN0 )
3938nn0cnd 10630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( O `  x
)  gcd  ( O `  y ) )  e.  CC )
4039mul02d 9559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
0  x.  ( ( O `  x )  gcd  ( O `  y ) ) )  =  0 )
4140breq1d 4295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( 0  x.  (
( O `  x
)  gcd  ( O `  y ) ) ) 
||  ( ( O `
 x )  x.  ( O `  y
) )  <->  0  ||  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y )
) ) )
4234, 37zmulcld 10745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( O `  x
)  x.  ( O `
 y ) )  e.  ZZ )
43 0dvds 13545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O `  x
)  x.  ( O `
 y ) )  e.  ZZ  ->  (
0  ||  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y
) )  <->  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y
) )  =  0 ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
0  ||  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y
) )  <->  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y
) )  =  0 ) )
4541, 44bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( 0  x.  (
( O `  x
)  gcd  ( O `  y ) ) ) 
||  ( ( O `
 x )  x.  ( O `  y
) )  <->  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y
) )  =  0 ) )
46 elpreima 5816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( O  Fn  ( Base `  G
)  ->  ( x  e.  ( `' O " NN )  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  x )  e.  NN ) ) )
4717, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( `' O " NN )  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  x )  e.  NN ) )
4847simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( `' O " NN )  ->  ( O `  x )  e.  NN )
4948ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  x )  e.  NN )
50 elpreima 5816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( O  Fn  ( Base `  G
)  ->  ( y  e.  ( `' O " NN )  <->  ( y  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  y )  e.  NN ) ) )
5117, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' O " NN )  <->  ( y  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  y )  e.  NN ) )
5251simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( `' O " NN )  ->  ( O `  y )  e.  NN )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  y )  e.  NN )
5449, 53nnmulcld 10361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( O `  x
)  x.  ( O `
 y ) )  e.  NN )
55 eleq1 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  x
)  x.  ( O `
 y ) )  =  0  ->  (
( ( O `  x )  x.  ( O `  y )
)  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
5654, 55syl5ibcom 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( ( O `  x )  x.  ( O `  y )
)  =  0  -> 
0  e.  NN ) )
5745, 56sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( 0  x.  (
( O `  x
)  gcd  ( O `  y ) ) ) 
||  ( ( O `
 x )  x.  ( O `  y
) )  ->  0  e.  NN ) )
5831, 57mtoi 178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  -.  ( 0  x.  (
( O `  x
)  gcd  ( O `  y ) ) ) 
||  ( ( O `
 x )  x.  ( O `  y
) ) )
59 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  G  e.  Abel )
603, 2, 28odadd1 16319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( ( O `  ( x
( +g  `  G ) y ) )  x.  ( ( O `  x )  gcd  ( O `  y )
) )  ||  (
( O `  x
)  x.  ( O `
 y ) ) )
6159, 25, 27, 60syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( O `  (
x ( +g  `  G
) y ) )  x.  ( ( O `
 x )  gcd  ( O `  y
) ) )  ||  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y )
) )
62 oveq1 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O `  ( x ( +g  `  G
) y ) )  =  0  ->  (
( O `  (
x ( +g  `  G
) y ) )  x.  ( ( O `
 x )  gcd  ( O `  y
) ) )  =  ( 0  x.  (
( O `  x
)  gcd  ( O `  y ) ) ) )
6362breq1d 4295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O `  ( x ( +g  `  G
) y ) )  =  0  ->  (
( ( O `  ( x ( +g  `  G ) y ) )  x.  ( ( O `  x )  gcd  ( O `  y ) ) ) 
||  ( ( O `
 x )  x.  ( O `  y
) )  <->  ( 0  x.  ( ( O `
 x )  gcd  ( O `  y
) ) )  ||  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y )
) ) )
6461, 63syl5ibcom 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( O `  (
x ( +g  `  G
) y ) )  =  0  ->  (
0  x.  ( ( O `  x )  gcd  ( O `  y ) ) ) 
||  ( ( O `
 x )  x.  ( O `  y
) ) ) )
6558, 64mtod 177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  -.  ( O `  ( x ( +g  `  G
) y ) )  =  0 )
662, 3odcl 16028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  ->  ( O `  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  NN0 )
6730, 66syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  ( x
( +g  `  G ) y ) )  e. 
NN0 )
68 elnn0 10573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O `  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  NN0  <->  ( ( O `
 ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  NN  \/  ( O `
 ( x ( +g  `  G ) y ) )  =  0 ) )
6967, 68sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( O `  (
x ( +g  `  G
) y ) )  e.  NN  \/  ( O `  ( x
( +g  `  G ) y ) )  =  0 ) )
7069ord 377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( -.  ( O `  (
x ( +g  `  G
) y ) )  e.  NN  ->  ( O `  ( x
( +g  `  G ) y ) )  =  0 ) )
7165, 70mt3d 125 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  ( x
( +g  `  G ) y ) )  e.  NN )
72 elpreima 5816 . . . . . . 7  |-  ( O  Fn  ( Base `  G
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( `' O " NN )  <->  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  NN ) ) )
7317, 72ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( `' O " NN )  <->  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  NN ) )
7430, 71, 73sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( `' O " NN ) )
7574ralrimiva 2793 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  ->  A. y  e.  ( `' O " NN ) ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( `' O " NN ) )
76 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
772, 76grpinvcl 15572 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  ( Base `  G ) )
788, 24, 77syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( invg `  G ) `  x
)  e.  ( Base `  G ) )
793, 76, 2odinv 16051 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( O `  (
( invg `  G ) `  x
) )  =  ( O `  x ) )
808, 24, 79syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  ( ( invg `  G ) `
 x ) )  =  ( O `  x ) )
8148adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  x )  e.  NN )
8280, 81eqeltrd 2511 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  ( ( invg `  G ) `
 x ) )  e.  NN )
83 elpreima 5816 . . . . . 6  |-  ( O  Fn  ( Base `  G
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  x
)  e.  ( `' O " NN )  <-> 
( ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  ( ( invg `  G ) `  x
) )  e.  NN ) ) )
8417, 83ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  ( `' O " NN )  <-> 
( ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  ( ( invg `  G ) `  x
) )  e.  NN ) )
8578, 82, 84sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( invg `  G ) `  x
)  e.  ( `' O " NN ) )
8675, 85jca 532 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( A. y  e.  ( `' O " NN ) ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( `' O " NN )  /\  (
( invg `  G ) `  x
)  e.  ( `' O " NN ) ) )
8786ralrimiva 2793 . 2  |-  ( G  e.  Abel  ->  A. x  e.  ( `' O " NN ) ( A. y  e.  ( `' O " NN ) ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( `' O " NN )  /\  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  ( `' O " NN ) ) )
882, 28, 76issubg2 15685 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( `' O " NN )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( `' O " NN ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( `' O " NN )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( `' O " NN ) ( A. y  e.  ( `' O " NN ) ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( `' O " NN )  /\  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  ( `' O " NN ) ) ) ) )
898, 88syl 16 . 2  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( ( `' O " NN )  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( ( `' O " NN ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( `' O " NN )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( `' O " NN ) ( A. y  e.  ( `' O " NN ) ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( `' O " NN )  /\  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  ( `' O " NN ) ) ) ) )
907, 22, 87, 89mpbir3and 1171 1  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( `' O " NN )  e.  (SubGrp `  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2600   A.wral 2709    C_ wss 3321   (/)c0 3630   class class class wbr 4285   `'ccnv 4831   dom cdm 4832   "cima 4835    Fn wfn 5406   -->wf 5407   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638    || cdivides 13527    gcd cgcd 13682   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   0gc0g 14370   Grpcgrp 15402   invgcminusg 15403  SubGrpcsubg 15664   odcod 16017   Abelcabel 16267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15534  df-minusg 15535  df-sbg 15536  df-mulg 15537  df-subg 15667  df-od 16021  df-cmn 16268  df-abl 16269
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